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第6课时:《圆》(1)——圆的基本概念

第6课时:《圆》(1)——圆的基本概念


第 6 课时: 《圆》 (1)
——圆的基本概念 【知识点拨】 一、圆的定义 1、圆的定义:在一个个平面内,线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周,另一个 端点 A 随之旋转所形成的图形叫做圆,固定的端点 O 叫做圆心,线段 OA 叫做半径。 2、圆的几何表示:以点 O 为圆心的圆记作“⊙O”,读作“圆 O” [例题 1]1、确定一个圆的要素有两个,? 即_______,? _______;? ______? 决定圆的 位置,_______决定圆的大小. 2、如图,点 C 在以 AB 为直径的半圆上,∠BAC=20° ,则∠BOC 等于( A.20° C.40° B.30° D.50° ) 第 2 题图

3、如图所示,线段 AD 过圆心 O 交⊙O 于 D,C 两点,∠EOD=78° ,AE 交⊙O 于 B,? 且 AB=OC, 求∠A 的度数.

E B D O C A

二、弦、弧等与圆有关的定义 (1)弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦。 (如图中的 AB) (2)直径:经过圆心的弦叫做直径。直径是最长的弦;直径等于半径的 2 倍。 (3)半圆:圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧都叫做半圆。 (4)弧、优弧、劣弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。 弧用符号“⌒”表示,以 A,B 为端点的弧记作“AB”,读作“圆弧 AB”或“弧 AB”。 大于半圆的弧叫做优弧(多用三个字母表示) ;小于半圆的弧叫做劣弧(多用 两个字母表示) [例题 2] 1、如图所示,图中_______是直径,_______为弦,以 E 为端点的劣 弧有_____,以 A 为端点的优弧有_______. 2、在以下所给的命题中,正确的个数为( ) . ①直径是弦;②弦是直径;③半圆是弧,但弧不一定是半圆;④半径相 等的两个半圆是等弧;⑤长度相等的弧是等弧. A.1 B.2 C.3 D.4

C E A D F
第 1 题图

O

B

3、下面四个判断中正确的是( ) . A.过圆内一点的无数条弦中,有最长的弦,没有最短的弦;
1

B.过圆内一点的无数条弦中,有最短的弦,没有最长的弦; C.过圆内一点的无数条弦中,有且只有一条最长的弦,也有且只有一条最短的弦; D.过圆内一点的无数条弦中,既没有最长的弦,也没有最短的弦 4、下列语句中正确的个数是( ) . ①矩形的四边中点在同一个圆上;②菱形的四边中点在同一个圆上; ③等腰梯形的四边中点在同一个圆上;④平行四边形的四边中点在同一个圆上 A.1 B.2 C.3 D.4

三、垂径定理及其推论 1、垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧。 2、推论 1: (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。 (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧。 (3)平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧。 3、推论 2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。 4、垂径定理及其推论可概括为:

?过圆心 ? ?垂直于弦 ? 直径 ?平分弦 ?平分弦所对的优弧 ? ? ?平分弦所对的劣弧

? ? ? ? ? 知二推三 ? ? ? ?

[例题 3]1、如图所示,AB 是⊙O 的直径,CD 为弦,CD⊥AB 于 E,则下列结论中不一定成立的是( ) . A.∠COE=∠DOE B.CE=DE C.OE=BE D.AB=BD

第 1 题图

第 2 题图

第 5 题图

2、如图所示,在⊙O 中,OD⊥AB 于 P,AP=4cm,PD=2cm,则 OP 的长等于( ) . A.9cm B.6cm C.3cm D.1cm

3、 在⊙O 中, CD 为直径, AB 为弦, 且 CD 平分 AB 于 E, OE=3cm, AB=8cm, 则⊙O? 的半径为________. 4、在⊙O 中,直径 AB 垂直于弦 CD 于 E,∠COD=100° ,则∠COE=_______. 5、如图所示,已知 AB 是⊙O 的直径,弦 CD 与 AB 相交于点 E,当___________________________时, CD? ⊥AB. (填写一个你认为适当的条件) 6、如图所示,圆弧形桥拱的跨度 AB=12m,拱高 CD=4m,则拱桥的直径为( A.6.5m B.9m C.13m D.15m ) .

2

第 6 题图

第 7 题图

7、 如图, 在直径为 10m 的圆柱形油槽内装入一些油后, 油面宽 AB=8m, ? 那么油的最大深度是_________.

四、圆的对称性 1、圆的轴对称性:圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。 2、圆的中心对称性:圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 [例题 4] 1、两个同心圆的对称轴( ) . A.仅有 1 条 B.仅有 2 条 C.有无数条 D.仅有有限条

五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理 1、圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角。 2、弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距。 3、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理: 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦想等,所对的弦的弦心距相等。 4、推论:在同圆或等圆中,如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等, 那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 (知一推三) [例题 5] 1、弦 AB 分圆为 1:5 两部分,则劣弧 AB 所对的圆心角等于______. 2、在⊙O 中,AB 是弦,∠OAB=50° ,则弦 AB 所对的圆心角的度数是_______,弦 AB 所对的两条弧的 度数是_______. 3、如图所示,⊙O 中,AB,AC 为两条弦,且∠BAC=120° ,AB=AC=3cm,求⊙O 的直径.

4、如图所示,已知在⊙O 中,半径 OC 垂直弦 AB 于 D,证明:AC=BC.

3

5.如图所示,在⊙O 中,AB=CD,∠AOC=100° ,求∠BOD 的度数.

六、圆周角定理及其推论 1、圆周角:顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 2、圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 3、推论 1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等。 4、推论 2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90° 的圆周角所对的弦是直径。 5、推论 3:如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。 6、圆内接四边形性质:圆内接四边形对角互补。 [例题 6]1、 如图所示, AB 为⊙O 的直径, C 点在⊙O 上 (与 A, B 不重合) , 则图中的特殊三角形是________, 它们分别是_______三角形.

第 1 题图

第 2 题图

第 3 题图

第 4 题图

第 5 题图

2、如图所示,若∠A=40° ,则∠OBC=________. 3、如图所示,已知圆心角∠AOB=100° ,则圆周角∠ACB 的度数为( ) . A.80° B.100° C.120° D.130° 4、如图所示,AB 是⊙O 的直径,点 C 在圆上,若∠CAB= ? ,则∠B 等于( ) . A. 90 ? ?
?

B. 90 ? ?
?

C. 100 ? ?
?

D. 100 ? ?
?

5、如图所示,AB 是半圆 O 的直径,C,D 是半圆上两点,∠BAC=20° ,AD=CD,则∠BAD 的度数是 ( ) . A.35° B.45° C.55° D.70°

6、若圆的一条弦把圆周角分度数的比为 1:3 的两条弧,则劣弧所对的圆周角等于( ) . A.45° B.90° C.135° D.270°

7、下列说法中正确的是( ) . A.顶点在圆周上的角叫圆周角; C.平分弦的直径垂直于这条弦; B.圆周角等于圆心角的一半 D.弦所对的圆周角有无数个
4

8、如图所示,AB 是⊙O 的直径,弦 CD⊥ AB 于 P,已知 CD=8cm,∠ B=30° ,求⊙ O 的半径.

9、如图所示,AB 是⊙ O 的直径,AB=AC,D,E 在⊙ O 上,说明 BD=DE.

10、如图所示,⊙ O 的直径 AB 为 10cm,弦 AC 为 6cm,∠ ACB 的平分线交⊙ O 于 D,求 BC,AD,BD 的长.

【基础练习】 一、弦、弧等与圆有关的定义 1、确定一个圆的条件是_________和________. 2、已知⊙ O 中最长的弦为 16cm,则⊙ O 的半径为________cm. 3、过圆内一点可以作出圆的最长弦_____条. 4、以已知点 O 为圆心,已知线段 a 为半径作圆,可以作( A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.无数个 )

5、下列语句中,不正确的个数是( ) ① 直径是弦;② 弧是半圆;③ 长度相等的弧是等弧; ④ 经过圆内一定点可以作无数条直径. A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

6、下列语句中,不正确的是( ) A.圆既是中心对称图形,又是旋转对称图形 B.圆既是轴对称图形,又是中心对称图形 C.当圆绕它的圆心旋转 89°57′时,不会与原来的圆重合 D.圆的对称轴有无数条,对称中心只有一个

5

7、等于

2 圆周的弧叫做( ) 3
B.半圆 C.优弧 D.圆

B A

E D C

A.劣弧

8、如图,⊙ O 中,点 A、O、D 以及点 B、O、C 分别在一条直线上, 图中弦的条数有(? ) A.2 条 B.3 条 C.4 条 D.5 条

O

第 8 题图

9、如图,CD 是⊙ O 的直径,∠ EOD=84° ,AE 交⊙ O 于点 B,且 AB=OC,求∠ A 的度数.

E B D O C A

二、垂径定理及其推论 1、已知⊙ O? 中,? 弦 AB? 的长是 8cm,? 圆心 O? 到 AB? 的距离为 3cm,? 则⊙ O? 的直径是_____cm. 2、如图,已知⊙ O 的半径为 5,弦 AB=8,P 是弦 AB 上任意一点,则 OP? 的取值范围是_______.

A
E C D

O A P
第 2 题图

O

B

C B

E

D

A

www.czsx.com.cn 第 5 题图

O

B

第 3 题图 3、如图,⊙ O 的直径 AB 垂直于弦 CD,垂足为 E,若∠ COD=120° ,OE=3 厘米,则 OD=? ___cm. 4、半径为 5 的⊙ O 内有一点 P,且 OP=4,则过点 P 的最短弦长是_______,最长的弦长_______. 5、如图,AB 是半圆的直径,O 是圆心,C 是半圆上一点,E 是弧 AC 的中点,OE 交弦 AC 于 D,若 AC =8cm,DE=2cm,则 OD 的长为________cm. 6、下列命题中错误的命题有( ) (1)弦的垂直平分线经过圆心; (2)平分弦的直径垂直于弦; (3)? 梯形的对角线互相平分; (4)圆的 对称轴是直径. A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

7、如图 4,同心圆中,大圆的弦 AB 交小圆于 C、D,已知 AB=4,CD=2,AB? 的弦心距等于 1,那么 两个同心圆的半径之比为( A.3:2 B. 5 :2 ) C. 5 : 2 D.5:4

6

A
A C O D B

O C B
第 8 题图

O
D

F N

E

E M
第 9 题图 )

第 7 题图

8、如图,AB 是⊙ O 的直径,CD 为弦,CD⊥ AB 于 E,则下列结论中错误的是( A.∠ COE=∠ DOE B.CE=DE C.AE=BE D.BD=BC

9、如图,EF 是⊙ O 的直径,OE=5,弦 MN=8,则 E、F 两点到直线 MN 的距离之和( ) A.3 B.6 C.8 D.12

10、如图,在以 O 为圆心的两个同心圆的圆中,大圆弦 AB 交小圆于 C、D 两点,? 试判断 AC 与 BD 的 大小关系,并说明理由.

O A C D B

11、如图所示,在⊙ O 中,CD 是直径,AB 是弦,AB⊥ CD 于 M,CD=15cm,OM:OC=3:5,求弦 AB 的长.

C

O A M D B

三、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理 1、如图, AB、 CE 是⊙ O 的直径,∠ COD=60° ,且 AD=BC,? 那么与∠ AOE? 相等的角有_____,与∠ AOC 相等的角有_________.

D A E
第 1 题图

C O B
A O

C

A M
B

C N O D

D
第 4 题图

B

第 5 题图

2、一条弦把圆分成 1:3 两部分,则弦所对的圆心角为________.
7

3、弦心距是弦的一半时,弦与直径的比是________,弦所对的圆心角是_____. 4、如图,AB 为圆 O 的直径,BC=BD,∠ A=25° ,则∠ BOD=______. 5、如图,AB、CD 是⊙ O 的两条弦,M、N 分别为 AB、CD 的中点,且∠ AMN=∠ CNM,? AB=6,则 CD=_______. 6、如果两条弦相等,那么( ) B.这两条弦所对的圆心角相等 D.以上答案都不对

A.这两条弦所对的弧相等 C.这两条弦的弦心距相等

7、如图,在圆 O 中,直径 MN⊥ AB,垂足为 C,则下列结论中错误的是( ) A.AC=BC B.AN=BN C.AM=BM D.OC=CN

M
A B

A
O

O
O

A

C N
第 7 题图

B
第 9 题图

C

E B
第 10 题图

D

8、在⊙ O 中,圆心角∠ AOB=90° ,点 O 到弦 AB 的距离为 4,则⊙ O 的直径的长为( ) A.4 2 B.8 2 C.24 D.16

9 、如图,在半径为 2cm 的圆 O 内有长为 2 3 cm 的弦 AB ,则此弦所对的圆心角∠ AOB 为( ? ) A.60° B.90° C.120° D.150°

10、如图,AB 是⊙ O 的直径,CD 为弦,CD⊥ AB 于 E,则下列结论中不一定成立 的是( ? ) ..... A.∠ COE=∠ DOE B.CE=DE C.OE=BE D.BD=BC

11、已知如图,在⊙ O 中,AD 是直径,BC 是弦,D 为 BC 的中点,由这些条件你能推出哪些结论?(要 求:不添加辅助线,不添加字母,不写推理过程,写出六条以上结论)

A O B E C

D www.czsx.com.cn

四、圆周角定理及其推论 1、在⊙ O 中,若弦 AB 分圆周成两部分,其中一部分是另一部分的 4 倍,则劣弧 AB? 所对圆周角等于 ________. 2、 如图, 等腰△ ABC 的底边 BC 的长为 a , 以腰 AB 为直径的⊙ O 交 BC 于 D 点, 则 BD? 的长为________.

8

A O
A O
D O C A B

B O C D
第 5 题图

A E

B

D
第 2 题图

C

B C
第 3 题图

第 4 题图

3、如图,已知圆心角∠ AOB 的度数为 100° ,则圆周角∠ ACB 等于________(度) . 4、如图,ABCD 是⊙ O 的内接四边形,∠ B=130° ,则∠ AOC 的度数是________. 5、如图,∠ ACD=15° ,且 AB=BC=CD,则∠ BEC=_______. 6、下列说法正确的是( ) A.顶点在圆上的角是圆周角 C.圆心角是圆周角的 2 倍 B.两边都和圆相交的角是圆周角 D.圆周角度数等于它所对圆心角度数的一半

7、已知△ ABC 内接于⊙ O,OD⊥ AC,垂足为 D 点,∠ COD=60° ,那么∠ B 的度数为( ) A.18° B.36° C.72° D.144°

8、如图,AB 是半圆 O 的直径,∠ BAC=30° ,D 是 AC 上任意一点,那么∠ D 的度数是( ? ) A.150° B.120° D.100° D.90°

P
C A O
第 8 题图

D

A O
B

D

D

A O

B
第 9 题图

C

C

B

第 10 题图

9、如图中正方形 ABCD 内接于⊙ O,P 是劣弧 AD 上任意一点,则∠ ABP+∠ DCP 等于( ? ) A.90° B.60° C.45° D.30°

10、如图所示,以平行四边形 ABCD 的一边 AB 为直径⊙ O 过点 C,若∠ AOC=110° ,那么∠ BAD 的度数 是( ) A.125° B.135° C.140° D.145°

11、如图,AB 是⊙ O 的直径,C 是⊙ O 上的点,AC=6cm,BC=8cm,∠ ACB? 的平分线交⊙ O 于 D,求 AB 和 BD 的长.

C

A

O

B

D www.czsx.com.cn
9

12、如图,AD 是⊙ O 直径,BC=CD,∠ A=30° ,求∠ B 的度数.

D O A B C

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【中考演练】 1、 (2012 湘潭)如图,在⊙ O 中,弦 AB∥ CD,若∠ ABC=40° ,则∠ BOD=( A.20° 【答案】D. B.40° C.50° ) D.80°

第 1 题图

第 2 题图

第 3 题图 )

第 4 题图

2、 (2012 德阳)已知 AB、CD 是⊙ O 的两条直径,∠ ABC=30° ,那么∠ BAD=( A.45° 【答案】D. B.60° C.90°

D.30°

3、 (2012 泰州)如图,△ ABC 内接于⊙ O,OD⊥BC 于 D,∠ A=50° ,则∠ OCD 的度数是【 A.40° 【答案】A。 4、 (2012 泰安)如图,AB 是⊙ O 的直径,弦 CD⊥ AB,垂足为 M,下列结论不成立的是( A.CM=DM 【答案】D 5、 (2012 攀枝花)下列四个命题: ① 等边三角形是中心对称图形;② 在同圆或等圆中,相等的弦所对的圆周角相等; ③ 三角形有且只有一个外接圆;④ 垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧. 其中真命题的个数有( A. 1 个 【答案】B. ) B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 B.CB=DB C.∠ ACD=∠ ADC D.OM=MD B.45° C.50° D.60°





6、 (2012 苏州)如图,已知 BD 是⊙ O 的直径,点 A、C 在⊙ O 上,AB=BC,∠ AOB=60° ,则∠ BDC 的 度数是( A. 20° 【答案】C.
10

) B. 25° C. 30° D. 40°

A

B

C

O

第 6 题图

第 7 题图

第 8 题图

第 9 题图

7、 (2012 恩施州)如图,两个同心圆的半径分别为 4cm 和 5cm,大圆的一条弦 AB 与小圆相切,则弦 AB 的长为( A.3cm 【答案】C. 8、 (2012 南通)如图,在⊙ O 中,∠ AOB=46? ,则∠ ACB= 【答案】23. 9、 (2012 益阳)如图,点 A、B、C 在圆 O 上,∠ A=60° ,则∠ BOC= 【答案】120. 10、 (2012 嘉兴)如图,在⊙ O 中,直径 AB 丄弦 CD 于点 M, AM=18,BM=8,则 CD 的长为 24 . 【答案】24. 11、 (2011 年长沙)如图,在⊙ O 中,直径 AB 与弦 CD 相交于点 P,∠ CAB=40° ,∠ APD=65° . (1)求∠ B 的大小; (2)已知圆心 O 到 BD 的距离为 3,求 AD 的长. 第 10 题图 度. ? . ) B.4cm C.6cm D.8cm

【培优训练】 1、 (CJKT 九 53)如图,两正方形彼此相邻且内接于半圆,若小正方形的面积为 16 cm ,则该半圆的半径 为( ) B. 9cm C. 4 5cm D. 6 2cm
2

A. (4 ? 5 )cm

第 1 题图

第 2 题图 第 3 题图 )
11

2、 (CJKT 九 53)如图,等腰梯形 ABCD 内接于半圆 O,且 AB=1,BC=2,OA=(

A.

1? 3 2

B.

2

C.

3? 2 3

D.

1? 5 2

3、 (CJKT 九 57)如图,点 A,B,P 在⊙O 上,且∠APB=50°,若点 M 是⊙O 上的动点,要使△ABM 为等腰三角,则所有符合条件的点 M 有( A. 1 个 B. 2 个 ) D. 4 个

C. 3 个

4、 (CJKT 九 53)如图所示,若⊙O 的半径为 13cm,点 P 是弦 AB 上一动点,且到圆心的最短距离为 5cm, 则弦 AB 的长为____________cm.

第 4 题图

第 5 题图

第 6 题图

第 7 题图

5、 (CJKT 九 53)如图,AB,AC 都是⊙O 的弦,OM⊥AB,ON⊥AC,垂足分别为 M,N,如果 MN=3, 那么 BC=___________。 6、 (CJKT 九 53)如图,以原点 O 为圆心的圆交 x 轴于点 A,B 两点,交 y 轴的正半轴于点 C,D 为第一 象限内⊙O 上的点,若∠DAB=20°,则∠OCD=___________。 7、 (CJKT 九 53)如图,已知 O 是四边形 ABCD 内一点,OA=OB=OC,∠ABC=∠ADC=70°,则 ∠DAO+∠DCO 的大小是____________。 8、 如图, AB 为⊙ O 的直径, 点 P 为其半圆上任意一点 (不含 A、 B) , 点 Q? 为另一半圆上一定点, 若∠ POA 为 x ,∠ PQB 为 y ? ,则 y 与 x 的函数关系是________. 【答案】
?

y D C B

第 8 题图

O A x www.czsx.com.cn 第 9 题图

第 10 题图

9、如图所示,⊙C 经过原点,并与两坐标轴交于 A、D 两点,已知∠OBA=30° ,? 点 D 的坐标为(0,2) , 则点 A 的坐标为_____________,圆心 C 的坐标为____________。 10、 (CJKT 九 53)如图,⊙O 的直径 AB 与弦 CD 相交于点 E,AE=1,EB=5,∠DEB=60°,则 CD
12

的长为___________. 11、如图:⊙ O1 和⊙ O2 是等圆,P 是 O1O2 的中点,过 P 作直线 AD 交⊙ O1 于 A、B,交⊙ O2 于 C、D,求 证:AB=CD.

D C O1 A P B www.czsx.com.cn O2

12、 (CJKT 九 58)如图,在锐角△ABC 中,AC 是最短边,以 AC 中点为圆心,AC 为直径作⊙O,交 BC 于点 E,过点 O 作 OD∥BC 交⊙O 于点 D,连接 AE,AD,DC. (1)求证:D 是 AE 的中点. (2)求证:∠DAO=∠B+∠BAD

13


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