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湖南省长沙一中2012届高三上学期第一次月考试卷(数学文)

湖南省长沙一中2012届高三上学期第一次月考试卷(数学文)


届高三上学期第一次月考试卷(数学文) 湖南省长沙一中 2012 届高三上学期第一次月考试卷(数学文)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1.已知集合 M={1,2,3,4},M∩N={2,3},则集合 N 可以为 A.{1,2,3} 答案:D 答案 2.在等比数列{an}中,已知 a2=4,a4=8,则 a6= A.16 答案:A 答案 3.在复平面内,复数 i(i-1)对应的点在 A.第一象限 答案:C 答案 4.为得到函数 y = sin(2 x + A.向左平移 C.向左平移 答案:A 答案 5.△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 c = A. 6 答案:C 答案 6.命题“若 a>b,则 a-1>b-1”的否命题是 A.若 a>b,则 a-1≤b-1 C.若 a≤b,则 a-1≤b-1 答案:C 答案 7.在△ABC 中, AB = (cos 23o ,sin 23o ), AC = (2 cos 68o , 2sin 68o ) ,则△ABC 的面积为 B.若 a≥b,则 a-1<b-1 D.若 a<b,则 a-1<b-1 B.2 C. 3 D. 2 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 B.16 或-16 C.32 D.32 或-32 B.{1,3,4} C.{1,2,4} D.{2,3,5}

π
3

) 的图象,只需将函数 y=sin2x 的图象
B.向右平移 D.向右平移

π π
6 3

个长度单位 个长度单位

π π
6 3

个长度单位 个长度单位

3, b = 3, B = 120o ,则 a 等于

uuu r

uuur

A. 2 2 答案:B 答案

B.

2 2

C. 2

D.

2 3

8.已知函数 f(x)=log2(a-2 )+x-2,若 f(x)存在零点,则实数 a 的取值范围是 A.(-∞,-4]∪[4,+∞) C.[2,+∞) 答案:D 答案 二、填空题:本大题共 8 个小题,考生作答 7 小题,每小题 5 分,共 35 分. (一)选做题(请在第 9、10 两题中任选一题作答,如果全做,则按前一题计分) 9.从 1=1,1-4=-(1+2),1-4+9=1+2+3,1-4+9-16=-(1+2+3+4),…,推广到第 n 个等式 为
2 2

x

B.[1,+∞) D.[4,+∞)


2 2 n+1

答案:1 -2 +3 -4 +…+(-1) 答案

·n =(-1)

2

n+1

·(1+2+3+4+…+n)
2

10.在平面几何里有射影定理:设△ABC 的两边 AB⊥AC,D 是 A 点在 BC 上的射影,则 AB =BD·BC.拓展到空间, 在四面体 A—BCD 中,DA⊥面 ABC,点 O 是 A 在面 BCD 内的射影,且 O 在面 BCD 内,类比平面三角形射影定理, △ABC,△BOC,△BDC 三者面积之间关系为 答案:(S△ABC) =S△BOC·S△BDC 答案 11.函数 f(x)=log2(1-x )的定义域为 答案:(-1,1) 答案 12.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2an-2,则 a2= 答案:4 答案 13.曲线 C:y=3x +2x 在 x=1 处的切线与直线 ax-y+1=0 互相平行,则实数 a 的值为 答案:8 答案 14.如图所示的程序框图输出的结果为 .
2 2 2









答案: 答案

1 2 1 2

15.设向量 a = ( , cos x ), b = (sin x,1), x ∈ [0,

π
2

] ,若 a∥b,则 a·b= b b



答案: 答案

3 2 4

16.在数学中“所有”一词,叫做全称量词,用符号“ ? ”表示; “存在”一词,叫做存在量词,用符号“ ? ” 表示.设 f ( x) =

x 2 ? 3x + 8 ( x ≥ 2), g ( x) = a x (a > 1, x > 2) . 2
. .

(1)若 ? x0 ∈ [2, +∞) 使 f(x0)=m 成立,则实数 m 的取值范围是

(2)若 ? x1 ∈ [2, +∞), ? x2 ∈ (2, +∞) 使得 f(x1)=g(x2),则实数 a 的取值范围是 答案: 答案 (1)[3,+∞) (2) (1, 3)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 17. (本小题满分 12 分) 已知等差数列{an}中,a3=11,前 9 项和 S9=153. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若从数列{an}中依次取出第 2,4,8,…,2 ,…项,按原来的顺序排成一个新的数列,试求新数列的前 n 项和 An. 解析: 解析 (1)数列{an}为等差数列,a3=11,S9=153.
n

?a1 + 2d = 11 ? a1 = 5 ? ∴? ,解之得 ? . 9×8 ?d = 3 ?9a1 + 2 d = 153 ?
an=5+(n-1)×3=3n+2. 6分
n

(2)新数列的前 n 项和 An = a2 + a4 + a8 + L + a2n = 3(2 + 4 + 8 + L + 2 ) + 2n

2(1 ? 2n ) = 3? + 2n = 6(2n ? 1) + 2n 1? 2
18. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) = cos

12 分

x x x ( 3 sin + cos ) . 2 2 2

(1)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间;

(2)若 f(x)=1,求 cos( 解: (1) f ( x ) = cos

2π ? 2 x) 的值. 3

x x x 3 1 π 1 ( 3 sin + cos ) = sin x + (1 + cos x ) = sin( x + ) + . 2 分 2 2 2 2 2 6 2
4分

所以函数 f(x)的最小正周期为 T=2π. 令 2kπ ?

π
2

≤ x+

π
6

≤ 2k π +

π
2

, k ∈ Z ,得 2k π ?

函数 y=f(x)的单调递增区间为 [2kπ ? (2) f ( x ) = sin( x +

2π π , 2k π + ], ( k ∈ Z) . 3 3

2π π ≤ x ≤ 2k π + , k ∈ Z 3 3
6分

π
6

)+

1 π 1 = 1, 即 sin( x + ) = 2 6 2,
12 分

cos(

2π π π π 1 ? 2 x ) = cos 2( ? x ) = 2 cos 2 ( ? x ) ? 1 = 2sin 2 ( x + ) ? 1 = ? 3 3 3 6 2

19. (本小题满分 12 分) 已知向量 a=(1,2),b=(cos α,sin α),设 m=a+tb(t 为实数). b a b (1)若 α =

π
4

,求当|m|取最小值时实数 t 的值; m

(2)若 a⊥b,问:是否存在实数 t,使得向量 a-b 和向量 m 的夹角为 b b 明理由. 解: (1)因为 α =

π
4

,若存在,请求出 t;若不存在,请说

π
4

,b = (

2 2 3 3 , ), a ? b = 2 2 2

则m =

(a + tb) 2 = 5 + t 2 + 2ta ? b = t 2 + 3 2t + 5 = (t + 3 2 2 时,|m|取得最小值,最小值为 m 2 2 .

3 2 2 1 ) + 2 2
6分

所以当 t = ?

由条件得 cos

π
4

=

( a ? b ) ? ( a + tb ) a ? b a + tb

又因为 a ? b = ,

(a ? b ) 2 = 6



a + tb = (a + tb) 2 = 5 + t 2 , (a ? b) ? (a + tb) = 5 ? t
则有

5?t 6 5 + t2

=

2 , 且 t<5,整理得 t2+5t-5=0, 2
12 分

所以存在 t =

?5 ± 3 5 满足条件. 2

20. (本小题满分 13 分) 在奥运会垒球比赛前,C 国教练布置战术时,要求击球手以与连结本垒及游击手的直线成 15°的方向把球击出, 根据经验及测速仪的显示, 通常情况下球速为游 的 4 倍,问按这样的布置,游击手能不能接着 解析:设游击手能接着球,接球点为 B,而游击 解析 出,本垒为 O 点(如图所示). 设从击出球到接着球的时间为 t,球速为 v, 则 ∠AOB = 15°, OB = vt , AB ≤ 击手最大跑速 球? 手从点 A 跑

v ?t 4 OB AB 在△AOB 中,由正弦定理,得 = , sin ∠OAB sin15°

sin ∠OAB =


OA vt 6? 2 sin15° ≥ ? = 6? 2 vt AB 4 4

而 ( 6 ? 2) 2 = 8 ? 4 3 > 8 ? 4 × 1.74 > 1, 即 sin ∠OAB > 1, 这样的∠OAB 不存在,因此,游击手不能接着球. 21. (本小题满分 13 分) 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且(a-1)Sn=a(an-1)(a>0,n∈N*). N (1)求证数列{an}是等比数列,并求 an; (2)已知集合 A={x | x +a≤(a+1)x},问是否存在实数 a,使得对于任意的 n∈N*都有 Sn∈A?若存在,求出 N a 的取值范围;若不存在,请说明理由. 解析: 解析 (1)当 n=1 时,∵(a-1)S1=a(a1-1),∴a1=a(a>0); 1分
2

13 分

当 n≥2 时,∵(a-1)Sn=a(an-1)( a>0),∴(a-1)Sn-1=a(an-1-1)( a>0), ∴(a-1) an=a(an-an-1),变形得:

an = a ( n ≥ 2), an ?1
n

4分

∴数列是以 a1=a 为首项,a 为公比的等比数列,an=a .

6分 8分

(2)当 a=1 时,A={1},Sn=n,只有 n=1 时,Sn∈A,∴a=1 不合题意; 当 a>1 时,A={x | 1≤x≤a},S2=a+a >a,∴S2?A, ∴a>1 时不存在满足条件得实数 a; 当 0<a<1 时,A={x | a≤x≤1}, 10 分
2

Sn = a + a 2 + a3 + L + a n =

a a (1 ? a n ) ∈ [ a, ) 1? a 1? a ,

11 分

?0 < a < 1 1 ? 因此对任意的 n∈N*,要使 Sn∈A,只需 ? a , 解 得0 < a ≤ , N 2 ?1 ? a ≤ 1 ?
综上得实数 a 的取值范围是 (0, ]. 22. (本小题满分 13 分) 已知函数 f(x)=lnx, g ( x ) =

1 2

13 分

1 2 ax + bx(a ≠ 0) . 2

(1)若 a=-2 时,函数 h(x)=f(x)-g(x)在其定义域上是增函数,求 b 的取值范围; (2)设函数 f(x)的图象 C1 与函数 g(x)的图象 C2 交于 P、Q,过线段 PQ 的中点 R 作 x 轴的垂线分别交 C1、C2 于点 M、N,问是否存在点 R,使 C1 在 M 处的切线与 C2 在 N 处的切线平行?若存在,求出 R 的横坐标;若不存在,请说 明理由. 解析: 解析 (1)依题意:h(x)=lnx+x -bx. 因为 h(x)在(0,+∞)上是增函数,
2

1 + 2 x ? b ≥ 0 对 x∈(0,+∞)恒成立, x 1 1 ∴ b ≤ + 2 x.Q x > 0, 则 + 2 x ≥ 2 2. ∴b 的取值范围为 ( ?∞, 2 2]. x x
∴ h′( x ) = (2)设点 P、Q 的坐标是(x1,y1),(x2,y2),且 0<x1<x2. 则点 M、N 的横坐标为 x =

2分 4分

x1 + x2 . 2
a ( x1 + x2 ) 2 . C2 在点 N 处的切线斜率为 k 2 = + b. x x1 + x2

C1 在 M 处的切线斜率为 k1 =

假设 C1 在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线平行,则 k1=k2,

a ( x1 + x2 ) 2 = + b. x1 + x2 2 即

2 2( x2 ? x1 ) a( x2 ? x12 ) a 2 a = + b( x2 ? x1 ) = ( x2 + bx2 ) ? ( x12 + bx1 ) x1 + x2 2 2 2

= y2 ? y1 = ln x2 ? ln x1 = ln

x2 , x1

x2 ? 1) x2 2( x2 ? x1 ) x1 . ∴ ln = = x x1 x1 + x2 1+ 2 x1 2(
设u =

x2 2(u ? 1) > 1, 则 ln u = ,u > 1 1+ u x1



令 r (u ) = ln u ?

1 4 (u ? 1)2 2(u ? 1) . = , u > 1, 则 r ′(u ) = ? 1+ u u (u + 1) 2 u (u + 1) 2
2(u ? 1) u +1
13 分

∵u>1∴r ′(u)>0. 所以 r(u)在[1,+∞)上单调递增,故 r(u)>r(1)=0,则 ln u >

这与①矛盾,假设不成立,故 C1 在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线不平行.


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