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山东省实验中学2013届高三数学第二次(6月)模拟考试试题 文 新人教B版

山东省实验中学2013届高三数学第二次(6月)模拟考试试题 文 新人教B版


山东省实验中学 2010 级第二次模拟考试 数学试题(文科)
注意事项:本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题) ,共 4 页。两卷合计 150 分,考试时间为 120 分钟。选择题答案填涂在答题卡上;填空题、解答题答在答题纸上. 第Ⅰ卷(选择题 60 分) 一.选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. 已 知 集 合 A ? {1,3,5} , 集 合 B ? {2, a, b} , 若 A ? B ? {1,3} , 则 a ? b 的 值 是 ( )

A. 10
2 . 复 数 1? ( )

B. 9

C. 7

D. 4

1 (i 为 虚 数 单 位 ) 的 共 轭 复 数 在 复 平 面 上 对 应 的 点 的 坐 标 是 i3

A. (1,1)
3. 2 “
a

B. (1, ?1)

C . ( ?1,1)

D. (?1, ?1)
( )

是 的 ? 2b ”“ log 2 a ? log 2 b ”

A. 充分不必要条件 C . 充要条件

B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
( )

l m 4. 直线 l, m 与平面 ? , ? , ? , 满足 l ? ? ? ? , // ? , ? ? , ? ? , 则必有 m

A. ? ? ? 且 l ? m

B. ? ? ? 且 m // ?

C . m // ? 且 l ? m

D. ? // ? 且

? ??
5. 在 等 比 数 列

?an ?





a5 ?

a1 3?1 ,

a ?3

a a 则1 , 3 15 ? 4? a5





A .3
6. (

B.

1 3

C .3 或

1 3

D . ?3 或 ?

1 3

已 知 某 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示 . 则 该 几 何 体 的 体 积 是 )

A.

2 3 3

B.

4 3
2

C.
2

8 3

D .4

7.以点 (2,?2) 为圆心并且与圆 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 1 ? 0

-1-

相外切的圆的方程是





A . ( x ? 2) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 9

B . ( x ? 2) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 9 D . ( x ? 2) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 16
x2 ? y2 的 最 小 值 为

C . ( x ? 2) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 16

?x ? 1 ? 8. 已 知 x, y 满 足 约 束 条 件 ? x ? y ? 1 ? 0 , 则 ?? 2 x ? y ? 2 ? 0 ?
( )

A. 5

B.

2 5 5

C .1
? ? 3? ? , ? 内的图像是 ?2 2 ?
y
x
O -2 π 2 3π π 2

D.

5 2

9. 函数 y ? tan x ? sin x? | tan x ? sin x | 在区间 ?
y
2
O

y

π 2

3π π 2

y
2

O

π 2

π 3π 2

x

O

x

π 2

π

3π 2

x

-2

??? 1 ??? ???? ? ? 10. P 是 ?ABC 内的一点, AP ? ( AB ? AC ) ,则 ?ABC 的面积与 ?ABP 的面积之比为 3
( )

A.

B.

C.

D.

A.3

B .6

C .2

D.

3 2

11. 在区间 [1,5] 和 [2,4] 分别取一个数,记为 a , b , 则方程

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 x 轴上且 a 2 b2
圆 的 概 率 为

离 (

心 )







3 2





A.

1 2
2

B.

31 32

C.

17 32

D.

15 32

12. 函数 f ( x) ? x ? bx ? a 的图象如图所示,则函数

g ( x) ? ln x ? f ?( x) 的零点所在的区间是





1 1 A.( , ) 4 2

1 B . ( ,1) 2

C . (1,2)

D . (2,3)

-2-

第 II 卷(非选择题

90 分)

二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分.将答案填在题中横线上. 13.已知 f (x ) 是奇函数, g ( x) ? f ( x) ? 4 , g (1) ? 2 , 则 f (?1) 的
开始

值是

. 输入 n

14.阅读右图程序框图. 若输入 n ? 5 ,则输出 k 的值为 ___________. 15.在 ?ABC 中,若 b ? 1 , c ?

3 , ?C ?

2? ,则 3

k ?0
=3

S ?ABC ? _______________.
16.设 f1 ( x) ? cos x ,定义 f n?1 ( x) 为 f n (x) 的导数,即 k=k+1 否 .

n ? 3n ? 1

f n?1 ( x) ? f ' n ( x) , n ? N * ,若 ?ABC 的内角 A 满足
1 f1 ( A) ? f 2 ( A) ? ? ? f 2013 ( A) ? ,则 sin 2 A 的值是 3
n ? 150 ?
是 输出 k

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证 明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分)已知函数

3 (? ? 0 ) ,直线 x ? x1 , f ( x) ? sin ? x ? cos ? x ? 3 cos ? x ? 2
2

结束

x ? x 2 是 y ? f (x) 图象的任意两条对称轴,且 | x1 ? x2 | 的最小值为
(1)求 f ( x) 的表达式; (2)将函数 f ( x) 的图象向右平移

? . 4

? 个单位后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来 8
? ?? ? 2? ?

的 2 倍, 纵坐标不变, 得到函数 y ? g ( x) 的图象, 若关于 x 的方程 g ( x) ? k ? 0 , 在区间 ?0, 上有解,求实数 k 的取值范围.

18.(本小题满分 12 分) 2013 年“五一”期间,高速公路车辆较多。某调查公司在一服务区 从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔 50 辆就抽取一辆的抽样方法抽取 40 名驾驶 员进行询问调查,将他们在某段高速公路的车速( km / t )分成六段: [60, 65), [65, 70),

-3-

[70, 75), [75,80), [80,85), [85,90) 后得到如图 5 的频率分布直方图.
(1)求这 40 辆小型车辆车速的众数及平均车速. (2)若从车速在 [60, 70) 的车辆中任抽取 2 辆,求车速在 [65, 70) 的车辆至少有一辆的概率. 19.(本小题满分 12 分)在如图所示的几何体中, 平面 ACE ? 平面 ABCD ,四边形 ABCD 为平行四边形,

?ACB ? 90? , EF // BC , AC ? BC ? 2 , AE ? EC ? 1 .
(1)求证: AE ? 平面 BCEF ; (2)求三棱锥 D ? ACF 的体积. 20.(本小题满分 12 分)已知数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , 对一切正整数 n ,点 Pn (n, S n ) 都在函数 f ( x) ? x ? 2 x 的图像上,且过点 Pn (n, S n ) 的切线
2

的斜率为 k n . (1)求数列 {a n } 的通项公式. (2)若 bn

? 2 kn an ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn .

21. (本 小题 13 分 )已知 椭圆 C :

1 x2 y2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的 离心 率 e ? , 且经 过点 2 2 a b

3 A ( ?1,? ) . 2
(1)求椭圆 E 的标准方程; (2)如果斜率为

1 的直线 EF 与椭圆交于两个不同的点 E、F ,试判断直线 AE、AF 的斜 2
1 2 x ? ax ? ?a ? 1? ln x. 2

率之和是否为定值,若是请求出此定值;若不是,请说明理由. 22.(本小题 13 分)已知函数 f ? x ? ?

(1)若曲线 f ?x ? 在点 ?2, f ?2?? 处的切线与直线 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 垂直,求 a 的值; (2)若 f ?x ? 在区间 (0,??) 单调递增,求 a 的取值范围; (3)若 ? 1 ? a ? 3 ,证明:对任意 x1 , x 2 ? ?0,???, x1 ? x2 , 都有

f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? 1 成立. x1 ? x2

山东省实验中学 2010 级第二次模拟考试文科数学参考答案 一.选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1. D 2. A 7. A 8. B 3. B 9. C 4. A 10. A 5. C 11. D 6. B 12. B

二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分.将答案填在题中横线上.
-4-

13.

2
4 2 9

14. 3

15.

3 4

16.

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17、解: f ( x) ? sin ? x ? cos ? x ? 3 cos
2

?x ?

3 1 cos2?x ? 1 3 ? sin 2?x ? 3 ? 2 2 2 2

1 3 ? ? sin 2?x ? cos2?x ? sin(2?x ? ) ???????????? 4 分 2 2 3
(1) 直线 x ? x1 ,x ? x 2 是 y ? f (x) 图象的任意两条对称轴, | x1 ? x2 | 的最小值为 且 ?

?

y ? f (x) 的最小正周期 T ?

? f ( x) ? sin( 4 x ?

?
3

2? ? ? ,? ? ? 2. 2? 2

? . 4

??????????7 分

). ????????????????????????8 分

( 2 ) 将 函 数 f ( x) 的 图 象 向 右 平 移

y ? sin[ 4( x ?

?
8

)?

?
3

] ? sin( 4 x ?

?
6

? 个 单 位 后 得 函 数 解 析 式 为 8

) ????????????????????9 分

再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍,纵坐标不变,得到函数

y ? g ( x) ? sin( 2 x ?
? ?? ? x ? ?0, ? ? 2?

?
6

) ,?????????????????????????10 分 1 ? k ? [?1, ] .????????12 分 2

1 ? g ( x) ? ? k ? [? ,1] , 2

18.解: (1)众数的估计值为最高的矩形的中点,即众数的估计值等于 77.5 ????2 分 这 40 辆小型车辆的平均车速为:

2 ? 62.5 ? 4 ? 67.5 ? 8 ? 72.5 ? 12 ? 77.5 ? 10 ? 82.5 ? 4 ? 87.5 ? 77 ( km / t )??5 分 40
(2)从图中可知,车速在 [60, 65) 的车辆数为: m1 ? 0.01? 5 ? 40 ? 2 (辆)????6 分 车速在 [65, 70) 的车辆数为: m2 ? 0.02 ? 5 ? 40 ? 4 (辆)??????????7 分 设车速在 [60, 65) 的车辆设为 a , b , 车速在 [65, 70) 的车辆设为 c, d , e, f , 则所有基本事 件有:

-5-

(a, b), (a, c), (a, d ), (a, e), ( a, f ) (b, c), (b, d ), (b, e), (b, f ) (c, d ), (c, e), (c, f ) (d , e), (d , f ) (e, f )
其中车速在 [65, 70) 的车辆至少有一辆的事件有: 共 15 种????9 分

(a, c), (a, d ), (a, e), (a, f ), (b, c), (b, d ), (b, e), (b, f ) (c, d ), (c, e), (c, f ), (d , e), (d , f ), (e, f )
所以,车速在 [65, 70) 的车辆至少有一辆的概率为 P ?

共 14 种 ???????11 分

14 . ???????????12 分 15 19. 解: (1)∵平面 ACE ? 平面 ABCD ,且平面 ACE ? 平面 ABCD ? AC ? BC ? AC BC ? 平面 BCEF ? BC ? 平面 AEC . ???????????2 分 ? BC ? AE ,??????????????????????3 分 AE ? 平面 AEC
又 AC ?

2 , AE ? EC ? 1

? AC 2 ? AE 2 ? CE 2

? AE ? EC

??????????????????4 分

且 BC ? EC ? C ,? AE ? 平面 ECBF.????????????????????6 分 ? EG ? AC ?????????7 (2)设 AC 的中点为 G ,连接 EG ,? AE ? CE 分 ∵平面 ACE ? 平面 ABCD ,且平面 ACE ? 平面 ABCD ? AC ,? EG ? 平面 ABCD ?8 分

? BC ? EG ,?????? (法二:由(1)可知 BC ? 平面 AEC ,? EG ? 平面 AEC 7分 ? EG ? 平面 ABCD . ????????????????8 分 又 AC ? BC ? C ? EF // BC ,EF ? 平面 ABCD , 所以点 F 到平面 ABCD 的距离就等于点 E 到平面 ABCD ?
的 距 离 , 即 点 F 到 平 面 A 长 ???????????????????9 分

B

C的 D 距





EG



1 ?VD ? ACF ? VF ? ACD ? VE ? ACD ? S ?ACD ? EG 3

? S ?ACD ?

1 1 AC ? AD ? ? 2 ? 2 ? 1 2 2

EG ?

1 2 AC ? 2 2

????????11 分

1 2 2 ? VD ? ACF ? ?1? ? 2 6 3

即三棱锥 D ? ACF 的体积为

2 . ??????12 分 6

20、解: (1)? 点 Pn (n, S n ) 都在函数 f ( x) ? x ? 2 x 的图像上,? Sn ? n2 ? 2n(n ? N * ) ,
2

当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 2n ? 1.

-6-

当n=1 时, a1 ? S1 ? 3 满足上式,所以数列 {a n } 的通项公式为 an ? 2n ? 1. ????5 分 (2)由 f ( x) ? x ? 2 x 求导可得 f‘ ( x) ? 2 x ? 2
2

? 过点 Pn (n, S n ) 的切线的斜率为 k n ,? kn ? 2n ? 2 .

?bn ? 2kn an=4 ? (2n ? 1) ? 4n . ? Tn ? 4 ? 3 ? 41 ? 4 ? 5 ? 42 ? 4 ? 7 ? 43 ? ???+4 ? 2n ? 1) ? 4n ① (
由①×4,得 4Tn ? 4 ? 3 ? 42 ? 4 ? 5 ? 43 ? 4 ? 7 ? 4 4 ? ??? +4? 2 n? 1) ? 4 n?1 ② ( ①-②得: ?3Tn ? 4 ?3 ? 4 ? 2 ? 4 ? 4 ? ? ? ?+4

?

?

2

3

n

? -(2n ? 1) ? 4

n ?1

? ?

2 ? ? 4( ? 4n?1) 1 ? 4 ?3 ? 4 ? 2 ? -(2n ? 1) ? 4n?1 ? 1? 4 ? ?

6n ? 1 n ? 2 16 ? 4 ? ?????????????????????????12 分 9 9 c 1 21、解: (1)由题意, e ? ? , a 2 ? Tn ?

? 3? ?? ? 2 3 (?1) 2 椭圆 C 经过点 A ( ?1,? ) ,? 2 ? ? 2 ? ? 1 , 2 a b
2 2 2 2 又 a ? b ? c ,解得 b ? 3 , a ? 4
2

2

x2 y2 ? ? 1 . ???????????????????????4 分 所以椭圆方程为 4 3
(2)设直线 EF 的方程为: y ?

1 x2 y2 x ? m ,代入 ? ?1 2 4 3

得 x ? mx ? m ? 3 ? 0 .????????????????????????5 分
2 2

? x ? x ? ?m ;????????????????8 分 ? ? m2 ? 4(m2 ? 3) ? 0 且 ? 1 2 2 ? x1 x2 ? m ? 3
设 A( x0 , y0 ) ,由题意, k AE ?

y ? y0 y1 ? y0 , k AF ? 2 ;??????????9 分 x1 ? x0 x2 ? x0

? k AE ? k AF ?

y1 ? x0 y2 ? x0 ( y1 ? x0 )(x2 ? x0 ) ? ( y2 ? x0 )(x1 ? x0 ) ? ? x1 ? x0 x2 ? x0 ( x1 ? x0 )(x2 ? x0 )
-7-

分子为: t 又 y1 ?

? y1x2 ? y2 x1 ? x0 ( y1 ? y2 ) ? y0 ( x1 ? x2 ) ? 2 x0 y0

1 1 x1 ? m , y2 ? x2 ? m , 2 2

?t ? ( x1 ? x2 )( y1 ? y2 ) ? x1 y1 ? x2 y2 ? x0 ( y1 ? y2 ) ? y0 ( x1 ? x2 ) ? 2x0 y0
? (m ? 2)(x1 ? x2 ) ? x1x2 ? 2m ? 3

? (m ? 2)(?m) ? m2 ? 3 ? 2m ? 3 ? 0
? k AE ? k AF ? 0 .???????????????????????????12 分
即,直线 AE、AF 的斜率之和是为定值 0 .?????????????????13 分 22、解:(1)? f ( x ) ? x ? a ?
/

2 a ?1 ,直线 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 的斜率为 ? , 3 x 3 所以,曲线 f (x ) 在点 (2, f (2)) 处的切线斜率为 ,???????2 分 2 a ?1 3 / ? , ? a ? 2. ??????????4 分 即: f (2) ? 2 ? a ? 2 2
/

a ? 1 x 2 ? ax ? a ? 1 ? ( x ? 0) (2)? f ( x) ? x ? a ? x x
由题意可知, f ( x) ? 0 在区间 (0,??) 上恒成立,
/

即 x ? ax ? a ? 1 ? 0 在区间 (0,??) 上恒成立.??????????5 分
2

2 对于函数 g ( x) ? x ? ax ? a ? 1 ,对称轴为 x ?

a . 2

?a ?a ?2 ? 0 ? ? ?0 所以 ? 2 或? ,可解的: ? 1 ? a ? 0 或 0 ? a ? 2 ? 2 2 . ? g (0) ? 0 ? g ( a ) ? 0 ? ? 2 ?
所以 a 的取值范围为: [?1,2 ? 2 2 ] .????????????????????8 分 (3)构造函数 G ( x) ? f ( x) ? x ?

1 2 x ? (a ? 1) x ? (a ? 1) ln x , 2

a ? 1 x 2 ? (a ? 1) x ? a ? 1 ? 则 G ( x) ? x ? (a ? 1) ? ????????????9 分 x x
/

对于函数 h( x) ? x ? (a ? 1) x ? a ? 1 ,
2

? ? (a ? 1)2 ? 4(a ? 1) ? (a ? 1)(a ? 3) ,

-8-

? ? 1 ? a ? 3 , ? ? ? 0 恒成立,

? G / ( x) ? 0 恒成立

? G (x) 在 (0,??) 单调递增,????????????????????11 分
从而对任意 x1 , x 2 ? ?0,??? , x1 ? x2 , 有 G( x1 ) ? G( x2 ) ,即 f ( x1 ) ? x1 ? f ( x2 ) ? x2 , 故

f ?x1 ? ? f ?x2 ? ?1; x1 ? x2 f ?x1 ? ? f ?x2 ? ?1, x1 ? x2 f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? 1 成立.?????13 分 x1 ? x2

同理,对任意 x1 , x 2 ? ?0,??? , x1 ? x2 , 也有 综上,对任意 x1 , x 2 ? ?0,??? , x1 ? x2 , 都有

【另解】原题等价于函数 f (x) 任意两点确定的割线斜率 k ? 1 ,即在任意一点处的切线斜率

k ?1
即证当 ? 1 ? a ? 3 时, f ( x) ? 1 , x ? (0,??) ,
/

f / ( x) ? x ? a ?
2

a ? 1 x 2 ? ax ? a ? 1 ? ? 1 , ( x ? 0) x x

即: x ? (a ? 1) x ? a ? 1 ? 0

( x ? 0) ,????????????????11 分
2

因为 ? 1 ? a ? 3 ,所以函数 h( x) ? x ? (a ? 1) x ? a ? 1 的对称轴为 x ?

a ?1 ? (0,2) , 2

h( x) min ? (

a ?1 2 a ?1 ? (a ? 3)( a ? 1) ) ? (a ? 1) ? a ?1 ? ? 0 ????????13 分 2 2 4

-9-


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