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高中物理教学论文 高三物理力学解题中数学方法的应用

高中物理教学论文 高三物理力学解题中数学方法的应用

高三物理力学解题中数学方法的应用
中学物理考试大纲明确要求考生必须具备 : “ 应用数学处理物理问题的能力 能够根据 具体问题列出物理量之间的关系式,进行推导和求解,并根据结果得出物理结论,必要时能 运用几何图形、函数图像进行表达、分析。 最近复习相互作用和牛顿定律的内容,很多题目都涉及到数学方法,在此举几个例子, 供同学复习时参考: 1、相似三角形法:相似三角形法通常寻找的是一个矢量三角形与一个几何三角形相似。 利用相似三角形对应边的比例关系求解力的大小,特别是当几何三角形的边长己知时。 【例 1】 如右图 1A 所示,轻绳的 A 端固定在天花板上,B 端系一重为 G 的小球,小球静 止在固定的光滑大球表面上,己知 AB 绳长为 l,大球半径为 R,天花板到大球顶点的竖直 距离 AC=d,角 ABO>90?。求绳中张力和大球对小球的支持力(小球直径忽略不计) 【解析】选小球为研究对象,受到重力 G、绳的拉力 F 和 大球支持力 FN 的作用(如图 1B 示)。由于小球处于平衡状态,所以 G、F、FN 组成一个封闭 三角形。根据数学知识可以看出三角形 AOB 跟三角形 FGFN 相似,根据相似三角形对应边 成比例得 A F/L=G/(d+R)=FN/R 解得 F=G?L/(d+R) FN=G?R/(d+R) [讨论] 由此可见,当绳长 L 减小时 F 变小,FN 不变。 F FN O 图 1B 图 1A 2、正弦定理(拉密定理) :如果在共点的三个力作用下,物体处于 平衡状态,那么各力的大小分别与另外两个力夹角的正弦成正比。如右 图 2 所示,表达式为: F1/Sinα =F2/Sinβ =F3/Sinθ 此法适用于三力构成的是锐角或钝角三角形。 【例 2】如图,船 A 从港口 P 出发支拦截正以速度 v0 沿直线航行 的船 B,P 与 B 所在航线的垂直距离为 a ,A 船启航时,B 船与 P 的距离为 b , b ? a ,如果略去 A 船启动时的加速过程,认为它 一启航就做匀速运动,求: (1)A 船能拦到 B 船的最小速率 v ; (2)A 船拦到 B 船时两船的位移 解析: (1)设两船在 C 相遇 在△PBC 中, G C F B FN

G

F2 θ F1

α β 图2 F3

vt vt ? 0 sin? ? sin? ?

v?

a sin ? ? v0 ,式中 sin ? ? ? b sin ? ?

当 ? =900 时,即 v 跟 PB 垂直时, v 最小,最小速率为 v ? (2)拦到船时,A 船位移为 s A ?

a v0 b

ab b2 ? a2

B 船位移为 s B ?

b2 b2 ? a2

答案: (1) v ?

a ab b2 v 0 (2) s A ? sB ? b b2 ? a2 b2 ? a2

【练习】 如图 3 所示,小球质量为 m,置于倾角为θ 的光滑斜面上, 悬线与竖直方向的夹角为α ,系统处于静止状态。求斜面对小球的支持力 FN 和悬线对小球的拉力 F。 F 【解析】 选小球为研究对象,小球受力如图所示,球受三个力作用 而处于平衡状态。根据正弦定理得: F/sin(180?-θ )=FN/sin(180?-α )=mg /sin(α +θ ) 即 F/sinθ =FN/sinα =mg/sin(α +θ ) 所以 F=mg?sinθ /sin(α +θ ) FN=mg?sinα /sin(α +θ )
N

F α

θ mg 图3

3、图象法:物理图像能形象地表达物理规律、直观地描述物理过程、鲜明地表示物理 量之间的相互关系.因此, 图像在中学物理中应用广泛, 是分析物理问题的有效手段之一。 从 题给图像获取信息帮助解题类问题, 要注意正确理解图像的内涵: 如明确图像所代表的物理 过程;弄清坐标所代表的物理量及其单位,进而弄清图线上各点读数的物理意义;弄清图线 与坐标轴上的截距的物理意义; 弄清图线与坐标轴所围面积的物理意义; 弄清图线渐近线的 物理意义;弄清图线上一些特殊点(如图线的拐点、端点、极值点及两条图线的交点等)的 物理意义等。 对用图题中要求根据题意作出相关图像来帮助解题类问题, 要根据题意把抽象 的物理过程用图线表示出来,将物理量间的代数关系转化为几何关系,运用图像直观、简明 的特点,分析解决物理问题.

【例 3】一位蹦床运动员仅在竖直方向上运动,弹簧床对运动员的弹力 F 的大小随时间 t 的 变化规律通过传感器用计算机绘制出来,如图所示.重力加速度 g 取 10m/s2,试结合图象, 求运动员在运动过程中的最大加速度.

解: .由图象可知,运动员的重力为 mg=500N 弹簧床对运动员的最大弹力为 Fm=2500N
第 m14 题 由牛顿第二定律得 Fm-mg=ma

① ② ③ ④

则运动员的最大加速度为

图 am= 40m/s2

( 本题也可以求上升的最大高度) 【练习】 “神舟”六号飞船完成了预定的空间科学和技术实验任务后返回舱开始从太空向地 球表面按预定轨道返回, 返回舱开始时通过自身制动发动机进行调控减速下降, 穿越大气层 后, 在一定的高度打开阻力降落伞进一步减速下落, 这一过程中若返回舱所受空气摩擦阻力 与速度的平方成正比,比例系数(空气阻力系数)为 k,所受空气浮力恒定不变,且认为竖 直降落。从某时刻开始计时,返回舱的运动 v—t 图象如图中的 AD 曲线所示,图中 AB 是曲 线在 A 点的切线,切线交于横轴一点 B,其坐标为(8,0) ,CD 是曲线 AD 的渐进线,假如 2 返回舱总质量为 M=400kg,g=10m/s ,求 (1)返回舱在这一阶段是怎样运动的? (2)在初始时刻 v=160m/s,此时它的加速度是多大? (3)推证空气阻力系数 k 的表达式并计算其值。

4、函数法(极值问题) :数学方法包括(1)用三角函数关系求极值; (2)用二次方程的判 别式求极值; (3)用不等式“和积不等式”的性质求极值。 【例 4】物体放置在水平地面上,物理与地面之间的动摩擦因数为 ?,物体重为 G,欲使物 体沿水平地面做匀速直线运动,所用的最小拉力 F 为多大? 该题的已知量只有 ? 和 G,说明最小拉力的表达式中最多只含有 ? 和 G ,但是,物体 沿水平地面做匀速直线运动时,拉力 F 可由夹角的不同值而有不同的取值。因此,可根据题 意先找到 F 与夹角有关的关系式再作分析。 解:设拉力 F 与水平方向的夹角为 θ,根据题意可列平衡方程式, 即 F cos ? ? f ? 0 ……①

N ? F sin ? ? G ……②

f ? ?N …………③
由联立①②③解得:

N F θ

F? ?

?G ?G ? ? sin ? ? cos ? 1 ? ? 2 (sin ? cos ? ? cos ? sin ? )
?G
1 ? ? sin(? ? ? )
2

f mg

,

其中 tan? ?

1

?

,

∴ Fmin ?

?
1? ? 2

G


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