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高中数学必修2(人教B版)第一章立体几何初步1.2知识点总结含同步练习题及答案

高中数学必修2(人教B版)第一章立体几何初步1.2知识点总结含同步练习题及答案


高中数学必修2(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案
第一章 立体几何初步 1.2 点、线、面之间的位置关系

一、学习任务 1. 理解空间点、线、面的位置关系,会用数学语言规范地表述空间点、线、面的位置关系;了 解可以作为推理依据的公理和定理,能正确地判断空间线线、线面与面面的位置关系. 2. 认识和理解空间中线面平行、垂直的有关判定定理和性质定理,能用图形语言和符号语言表 述这些定理,并能证明有关性质定理;能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置 关系的简单命题. 二、知识清单
平面的概念与基本性质 空间的垂直关系 点、线、面的位置关系 点面距离 空间的平行关系

三、知识讲解
1.平面的概念与基本性质 描述: 平面的概念 生活中的一些物体通常呈平面形,课桌面、黑板面、海面都给我们以平面的形象.几何里所说的 平面就是从这样的一些物体中抽象出来的,但是几何中的平面是没有厚度、无限延展的. 平面的画法 我们常常把水平的平面画成一个平行四边形,用平行四边形表示平面,平行四边形的锐角通常画 为 45? ,且横边长等于其邻边长的 2 倍.如果一个平面被另一个平面遮挡住,为了增强它的立 体感,我们常把被遮挡的部分用虚线画出来. 平面的表示 为了表示平面,常把希腊字母 α, β, γ 等等写在代表平面的平行四边形的一个角上,如平面 α 、 平面 β ;也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点,或者相对的两个顶点的大写英文字母作 为这个平面的名称,如图中的平面可以表示为平面 ABCD 、平面 AC 或者平面 BD .

集合符号在立体几何中的应用 以点作为元素,直线和平面都是由点构成的集合.几何中许多符号的规定都是源于将图形视为点 集.例如:点 A 在平面 α 内,记作 A ∈ α;点 A 不在平面 α 内,记作 A ? α.直线 l 在
平面 α 内,记作 l ? α;直线 l 不在平面 α 内,记作 l ?? α;直线 l 与 m 相交于点 A ,记作 l ∩ m = A ;平

面 α 与平面 β 相交于直线 a ,记作 α ∩ β = a .

平面的基本性质 平面的基本性质是由三条公理描述的: 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内. 符号语言:A ∈ l,B ∈ l,且 A ∈ α,B ∈ α?l ? α.

公理2

过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面.

推论1

经过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面.

推论2

经过两条相交直线,有且只有一个平面.

推论3

经过两条平行直线,有且只有一个平面.

公理3

如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 符号语言:P ∈ α,且 P ∈ β ?α ∩ β = l ,且 P ∈ l.

空间位置关系与几何量的基础 平行公理 平行于同一条直线的两条直线互相平行. 等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补. 例题: 用符号语言表示下列语句. (1)点 A 在平面 α 外,点 B 在平面 α 内,直线 l 经过点 A ,B ; (2) 平面ABD 与平面BCD 交于 BD , 平面ABC 与 平面ADC 交于 AC . 解:(1)a ? α,B ∈ α,A ∈ l,B ∈ l. (2)平面ABD ∩ 平面BCD = BD,平面ABC ∩ 平面ADC = AC. 如图所示,在四面体 ABCD 中,E、F 、G、H 分别是 AB 、AD 、BC 、CD 上的点,且 EF ∩ GH = P ,求证 B ,D ,P 三点共线.

证明:因为 E ∈ AB,F ∈ AD,所以 EF ? 平面 ABD,同理,GH ? 平面 BCD,又 EF ∩ GH = P ,所以 P ∈ 平面 ABD,P ∈ 平面 BCD,而 平面 ABD ∩ 平面 BCD = BD, 所以 P ∈ 直线BD,即 B ,D ,P 三点共线. 已知:如图,l 1 ∩ l 2 = A ,l 2 ∩ l 3 = B ,l 1 ∩ l 3 = C .求证:直线 l 1 ,l 2 ,l 3 在同一平面内.

证法一:(同一法) 因为 l 1 ∩ l 2 = A ,所以 l 1 和 l 2 确定一个平面 α. 因为 l 2 ∩ l 3 = B ,所以 B ∈ l 2 .又因 为 l 2 ? α ,所以 B ∈ α.同理可证 C ∈ α .又 B ∈ l 3 ,C ∈ l 3 ,所以 l 3 ? α .因此,直线 l 1 ,l 2 ,l 3 在同一个平面内. 证法二:(重合法) 因为 l 1 ∩ l 2 = A ,所以 l 1 ,l 2 确定一个平面 α.因为 l 2 ∩ l 3 = B ,所以 l 2 ,l 3 确定一个平 面 β .又因为 A ∈ l 2 ,l 2 ? α ,所以 A ∈ α.又 A ∈ l 2 ,l 2 ? β ,所以 A ∈ β .同理可证得 B ∈ α,B ∈ β ,C ∈ α ,C ∈ β .所以不共线的三个点 A ,B ,C 在平面 α 内,又在平面 β 内.所以平面 α 和平面 β 重合,即直线 l 1 ,l 2 ,l 3 在同一平面内. 结合空间想象回答下列问题: (1)2 个平面可以分空间为______部分; (2)3 个平面可以分空间为______部分; (3)正方体的各个面延伸后将空间分成______部分. 解:(1)3 ,4 ;(2)4 ,6 ,7 ,8 ;(3)27. 对于(1):当 2 个平面平行时,分成 3 部分;当两个面相交时,分成 4 部分; 对于(2):当 3 个平面两两平行时,分成 4 部分;当其中两个平面平行,和另外一个平面相 交或者三个平面相交于一条直线时,分成 6 部分;当 3 个平面两两相交且交线两两平行时,分 成 7 部分;当 3 个平面两两相交且交线相交于一点时,分成 8 部分; 对于(3):首先,将正方体的四个侧面延伸,可知将空间分成 9 部分,然后,将正方体的上下 底面延伸可知将之前部分分成了 3 层,每层 9 部分,共 3 × 9 = 27 部分 . 若直线 a 、b 、c 相交于一点,则这 3 条直线可能确定的平面有( ) A.0 个 B.1 个 C.无数个 D.1 个或 3 个 解:D 当 a 、b 、c 三线共面时,平面只有 1 个;当三线不共面时,任意两条可确定一个平面,共 3 个.

2.点、线、面的位置关系

描述: 点与平面的位置关系 平面内有无数个点,平面可以看成点的集合.点 A 在平面 α 内,记作 A ∈ α ;点 A 不在平 面 α 内,记作 A ? α . 直线与直线的位置关系 空间直线与直线的位置关系共有以下两种: 共面直线 在同一平面内的两条直线.更进一步,若这两条直线有且只有一个公共点,则称它 们是相交直线 ,若这两条直线没有公共点,则称它们是平行直线; 异面直线 不同在任何一个平面内的两条直线. 直线垂直 如果两条直线所成的角是直角,那么我们就说这两条直线互相垂直,记作 a ⊥ b .在空间,两条 直线垂直包括两种情形:共面垂直和异面垂直. 直线与平面的位置关系 空间直线与平面的位置关系共有以下三种: 直线在平面内 直线上的所有点都在平面内; 直线与平面相交 直线与平面有且仅有一个公共点; 直线与平面平行 直线与平面没有公共点. 平面与平面的位置关系 空间平面与平面的位置关系共有以下两种: 平行 两个平面没有公共点,则称这两个平面平行; 相交 两个平面有一条公共直线,则称这两个平面相交,此时这条公共直线称为这两个平面的 交线. 例题: 如果在两个平面内分别各有一条直线,这两条直线互相平行,那么这两个平面的位置关系是( ) A.平行 B.相交 C.平行或相交 D.垂直相交 解:C 可根据题意作图判断,如图所示,分别为两个平面平行、相交的情况 .

分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是( ) A.相交 B.异面 C.异面或相交 D.平行 解:C 如图所示,可能相交,也可能异面,若两直线平行,则此两条直线确定一个平面,且原两条异面 直线均在此平面内,故矛盾 .

若直线 l 不平行于平面 α,且 l ?? α,则( ) A.α 内的所有直线与 l 异面 B.α 内不存在与 l 平行的直线 C.α 内存 在唯一的直线与 l 平行 D.α 内的直线与 l 都相交 解:B 依题意,设直线 l ∩ α = A,如图.α 内的直线若经过点 A ,则与直线 l 相交;若不经过点 A ,则与直线 l 是异面直线,但不可能与 l 平行.

3.空间的平行关系 描述: 空间四边形 顺次连接不共面的四个点 A 、B 、C 、D 所构成的图形,叫做空间四边形.这四个点中的各个点 叫做空间四边形的顶点;所连接的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边;连接不相邻的顶点的 线段叫做空间四边形的对角线.空间四边形用表示顶点的四个字母表示.例如,图中的四边形可 以表示为空间四边形 ABCD ,线段 AC ,BD 是它的对角线.

直线与平面平行的判定 定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行. 用符号表示: a ?? α,b ? α,且a||b ? a||α.

平面与平面平行的判定 定理:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行.用符号表示:a ? β, b ? β,a ∩ b = P ,a||α,b||α ? β||α .

平面与平面平行的判定定理的推论 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线,那么这两个平面平行.

直线与平面平行的性质 定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.用符 号表示:a||α,a ? β,α ∩ β = b ? a||b.

平面与平面平行的性质 定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行.用符号表示:α||β , α ∩ γ = a,β ∩ γ = b ? a||b .

例题: 下列命题(其中 a ,b 表示直线, α 表示平面)中,正确的个数是( ) ①若 a ∥ b,b ? α,则 a ∥ α; ②若 a ∥ α,b ∥ α,则 a ∥ b; ③若 a ∥ b,b ∥ α,则 a ∥ α; ④若 a ∥ α,b ? α,则 a ∥ b. A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 解:A ①中缺少 a ?? α 这一条件;②中 a ,b 还有可能相交或异面;③中还有可能 a ? α;④中 a 与 b 还有可能异面. 若平面 α ∥ β ,直线 a ? α,点 B ∈ β ,则在 β 内过点 B 的所有直线中( A.不一定存在与 a 平行的直线 B.只有两条与 a 平行的直线 C.存在无数条与 a 平行的直线 D.有且只有一条与 a 平行的直线 解:D 直线 a 与点 B 确定平面 γ ,设 β ∩ γ = l,则 l 唯一. )

如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,E 是棱 P D 的中点.求证: P B ∥ 平面 EAC .

证明:

连接 BD ,与 AC 相交于点 O ,连接 EO . 因为四边形 ABCD 为正方形,所以 O 为 BD 中点 . 又因为 E 为棱 P D 中点,所以 P B ∥ EO. 又 P B ?? 平面 EAC ,EO ? 平面 EAC ,故 P B ∥ 平面 EAC . 如图所示,三棱锥 A ? BCD 被一平面所截,截面为平行四边形 EF GH .求证:CD ∥ EF .

证明: 因为四边形 EF GH 为平行四边形,所以 EF ∥ GH . 又 GH ? 平面BCD,EF ?? 平面BCD ,所以 EF ∥ 平面BCD. 而 EF ? 平面ACD ,平面ACD ∩ 平面BCD = CD,所以 EF ∥ CD. 如图所示,在三棱锥 S ? ABC 中,D ,E,F 分别是棱 AC ,BC ,SC 的中点,求证: 平面DEF ∥ 平面SAB.

证明: 因为 D ,E分别是棱 AC ,BC 的中点,所以 DE 是 △ABC 的中位线,DE ∥ AB. 因为 DE ?? 平面SAB,AB ? 平面SAB,所以DE ∥ 平面SAB. 同理,DF ∥ 平面SAB. 又因为 DE ∩ DF = D,DE ? 平面DEF ,DF ? 平面DEF ,所以 平面DEF ∥ 平面SAB.
如图所示,已知在正方体 ABCD ? A 1 B 1 C1D 1 中,M ,N ,P 分别是 CC1 ,B 1 C1 ,C1D 1 的中点.求证: 平面 MN P ∥ 平面 A 1 BD .

证明:

连接 B 1 D 1 ,B 1 C,因为 N ,P 分别是 B 1 C1 ,C1D 1 的中点,所以 PN ∥ B 1 D 1 . 又因为 ABCD ? A 1 B 1 C1D 1 是正方体,所以 B 1 D 1 ∥ BD ,所以 PN ∥ BD . 同理可得,MN ∥ A 1 D . 因为 PN , MN ? 平面MN P ,PN ∩ MN = N ,A D , BD ? 平面A 1 BD,A 1 D ∩ BD = D ,所以 平面 MN P ∥ 平面 A 1 BD .

4.空间的垂直关系 描述: 直线与平面垂直的判定 如果直线 l 与平面 α 内的任意一条直线都垂直,我们就说直线 l 与平面 α 互相垂直.记作 l ⊥ α.直线 l 叫做平面 α 的垂线,平面 α 叫做直线 l 的垂面.直线与平面垂直时,它们唯 一的公共点 P 叫做垂足.

直线与平面垂直的判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面 垂直.用符号表示:a ,b ? α,a ∩ b = P ,l ⊥ a,l ⊥ b ? l ⊥ α.

平面与平面垂直的判定 定理 一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.用符号表示:l ⊥ α, l ? β ? α ⊥ β.

直线与平面垂直的性质 定理 垂直于同一个平面的两条直线平行.用符号表示:a ⊥ α,b ⊥ α ? a||b.

平面与平面垂直的性质 定理 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.用符号来表示:

AB ? α AB ⊥ CD ? AB ⊥ β

α ⊥ β ,α ∩ β = CD ,AB ? α,AB ⊥ CD ? AB ⊥ β.

例题: 下列命题中,正确的序号是______. ①若直线 l 与平面 α 内的无数条直线垂直,则 l ⊥ α; ②若直线 l 与平面 α 内的一条直线垂直,则 l ⊥ α; ③若直线 l 不垂直于平面 α ,则 α 内没有与 l 垂直的直线; ④若直线 l 不垂直于平面 α,则 α 内也可以有无数条直线与 l 垂直; ⑤过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条. 解:④⑤ 当直线 l 与平面 α 内的无数条平行直线垂直时,l 与 α 不一定垂直,所以①不正确;当 l 与 α 内的一条直线垂直时,不能保证 l 与平面 α 垂直,所以②不正确;当 l 与 α 不垂直时,l 可能与 α 内的无数条平行直线垂直,所以③不正确,④正确;过一点有且只有一条直线垂直于 已知平面,所以⑤正确.故填④⑤. 如图,三棱锥 P ? ABC 中,P A ⊥ 平面 ABC,底面 Rt△ABC 的斜边为 AB ,F 为 P C 上一点.求证: BC ⊥ AF .

证明:因为 P A ⊥ 平面 ABC,BC ? 平面 ABC ,所以 P A ⊥ BC . 又 AC ⊥ BC ,AC ∩ P A = A,所以 BC ⊥ 平面 P AC . 又 AF ? 平面 P AC ,所以 BC ⊥ AF . 如图,已知四棱锥 P ? ABCD,底面 ABCD 是菱形,∠DAB = 60?,P D ⊥ 平面 ABCD, P D = AD,点 E 为 AB 的中点.求证:平面 P ED ⊥ 平面 P AB.

证明:如图,连接 BD ,因为 AB = AD,∠DAB = 60?,所以 △ADB 为等边三角形. 因为 E 是 AB 的中点,所以 AB ⊥ DE. 因为 P D ⊥ 面 ABCD,AB ? 平面 ABCD,所以 AB ⊥ P D. 因为 DE ? 平面 P ED,P D ? 平面 P ED,DE ∩ P D = D,所以 AB ⊥ 平面 P ED. 又 AB ? 平面 P AB,所以 平面 P ED ⊥ 平面 P AB.

AB ?

P AB

P ED ⊥

P AB

5.点面距离 描述: 从平面 α 外一点 P 引平面的垂线,垂足设为 H ,则点 P 和点 H 之间的距离称为 P 到平 面 α 的距离. 例题: 如图,在棱长为 a 的正方体 ABCD ? A 1 B 1 C1 D 1 中,求点 A 到平面 A 1 BD 的距离 d . 解:在三棱锥 A 1 ? ABD 中,AB = AD = AA 1 = a ,A 1 B = BD = A 1 D = √2 a,点 A 1 到平面 ABD 的距离即为 A 1 A = a . 因为 VA1 ?ABD = VA?A1 BD ,所以

1 1 1 1 √3 × a2 × a = × × √2 a × × √2 a × d. 3 2 3 2 2
所以 d =

√3 √3 ,即点 A 到平面 A 1 BD 的距离为 . 3 3 π , 4

如图,在四棱锥 O ? ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 1 的菱形,∠ABC =

OA ⊥ 底面 ABCD,OA = 2.求点 B 到平面 OCD 的距离.

解:因为 AB ∥ 平面 OCD,所以点 B 和点 A 到平面 OCD 的距离相等.作 AP ⊥ CD 于 点 P ,连接 OP ,过点 A 作 AQ ⊥ OP 于点 Q.因为 AP ⊥ CD ,OA ⊥ CD,所以 CD ⊥ 平面 OAP ,所以 AQ ⊥ CD.又因为 AQ ⊥ OP ,所以 AQ ⊥ 平面 OCD,线段 AQ 的长就是 A 到平面 OCD 的距离.因为

? ?? ? ? ? ? ? 3 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 √2 , OP = √OD 2 ? DP 2 = √OA 2 + AD 2 ? DP 2 = √4 + 1 ? = 2 2 √2 2? OA ? AP √2 2 = 2 .所以点 B 到平面 OCD 的距离 ,所以 AQ = AP = DP = = 2 3 OP 3√2


2 . 3

2

3

如图,在三棱锥 P ? ABC 中,AC = BC = 2 ,∠ACB = 90? ,AP = BP = AB, P C ⊥ AC ,求点 C 到平面 AP B 的距离.

解: 法一:取 AB 中点 D ,连接 P D ,CD . 因为 AP = BP ,所以 P D ⊥ AB.因为 AC = BC ,所以 CD ⊥ AB. 因为 P D ∩ CD = D,所以 AB ⊥ 平面P CD .所以 平面 AP B ⊥ 平面 P CD. 过 C 作 CH ⊥ P D,垂足为 H . 因为 平面 AP B ∩ 平面 P CD = P D,所以 CH ⊥ 平面AP B . 再结合 AB ⊥ 面 P CD 知, P C ⊥ AB ,又 P C ⊥ AC ,且 AB ∩ AC = A,所以 P C ⊥ 平面 ABC . 因此 P C ⊥ CD ,所以

CH =

P C ? CD 2√3 . = PD 3

法二:由法一可知 P C ⊥ 平面 ABC ,又 ∠ACB = 90? ,可得,四面体 A ? P BC 的体积

1 1 4 ? AC ? ? P C ? P B = . 3 2 3 1 设点 C 到平面 AP B 的距离为 d ,则 VC?APB = ? d ? S △APB ,由法一可知 AB = 2√2,且 3 △P AB 为等边三角形,所以 S △APB = 2√3 . 2√3 2√3 再结合 VA?PBC = VC?PAB ,解得 d = ,所以点 C 到平面 AP B 的距离为 . 3 3 VA?PBC =

四、课后作业

(查看更多本章节同步练习题,请到快乐学kuailexue.com)

1. 在下列命题中,不是公理的是 (

)

A.平行于同一个平面的两个平面相互平行 B.过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面 C.如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内 D.如果两个不重合的平面有一个公共点,那么他们有且只有一条过该点的公共直线
答案: A

2. 设 m, n 是两条不同的直线, α, β 是两个不同的平面 ( A.若 m ∥ α, n ∥ α ,则 m ∥ n
答案: C

)

C.若 m ∥ n, m ⊥ α ,则 n ⊥ α

B.若 m ∥ α, m ∥ β ,则 α ∥ β

D.若 m ∥ α, α ⊥ β ,则 m ⊥ β

3. 一定能得到结论"平面 α ⊥ 平面 β "的条件是 ( A.存在一条直线 l ,使得 l⊥α, l⊥β B.存在一个平面 γ ,使得 γ⊥α, γ⊥β D.存在一条直线 l ,使得 l ∥ α, l⊥β
答案: D

)

C.存在一个平面 γ ,使得 γ ∥ α, γ ∥ β

4. 下列正方体或正四面体中,P ,Q,R ,S 分别是所在棱的中点,这四个点不共面的一个图是 (

)

A.

B.

C.

D.
答案: D

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