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2014版高中数学复习方略配套课件:选修4-1-2圆与直线、圆与四边形

2014版高中数学复习方略配套课件:选修4-1-2圆与直线、圆与四边形


第二节 圆与直线、圆与四边形

1.圆周角定理及其推论 一半 (1)定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的_____. 一半 圆周角的度数等于它所对的弧的度数的_____. (2)推论:

相等 ;在同圆或等圆中, ①推论1:同弧或等弧所对的圆周角_____
相等 相等的圆周角所对的弧也_____. 直角 ;90°的圆周 ②推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是_____

半圆 角所对的弧是_____.

2.圆的切线的判定和性质及弦切角定理 外端 并且_______ 垂直于 这条半径 (1)切线的判定定理:经过半径的_____ 的直线是圆的切线.

半径 (2)切线的性质定理:圆的切线垂直于经过切点的_____.
切点 推论1:经过圆心且垂直于切线的直线经过_____. 圆心 推论2:经过切点且垂直于切线的直线经过_____. (3)切线长定理:过圆外一点作圆的两条切线,这两条切线长 相等 _____.

圆周角 ;弦切角 (4)弦切角定理:弦切角等于它所夹弧所对的_______ 一半 的度数等于它所夹弧的度数的_____. 3.与圆有关的比例线段 (1)切割线定理及推论: 定理:过圆外一点作圆的一条切线 和一条割线,切线长是割线上从这 比例中项 如图,PT是⊙O的切线,T 点到两个交点的线段长的_________. PA·PB 是切点,PAB是⊙O的割线,则PT2=_______.

推论:过圆外一点作圆的两条割线,在一条割线上从这点到两 积 ,等于另一条割线上对应线段长的___. 积 个交点的线段长的___

PC·PD 如图,PAB和PCD是⊙O的两条割线,则PA·PB=_______.

(2)相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线 相等 如图,圆的两条弦AB、CD相交于圆内一点P, 段长的积_____. PC·PD 则PA·PB=_______.

4.圆内接四边形

(1)圆内接四边形的性质定理及推论
互补 定理:圆内接四边形的对角_____. 内对角 推论:圆内接四边形的任何一个外角都等于它的_______. (2)四点共圆的判定定理及推论

内对角互补 ,那么这个四边形四个 定理:如果一个四边形的___________
顶点共圆.

内对角 ,那么这个四边 推论:如果四边形的一个外角等于其_______ 形的四个顶点共圆. (3)托勒密定理 乘积 圆内接四边形的两对边乘积之和等于两条对角线的_____.

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)圆心角等于圆周角的2倍.( )

(2)相等的圆周角所对的弧也相等.(

)
)

(3)任意一个四边形、三角形都有外接圆.(

(4)等腰梯形一定有外接圆.(

)
)

(5)弦切角所夹弧的度数等于弦切角的度数.(

【解析】(1)错误,若弧不一样,则圆心角与圆周角的关系

不确定.
(2)错误,只有同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧才相

等.
(3)错误,任意一个四边形不一定有外接圆,但任意一个三 角形一定有外接圆. (4)正确, 可以推出等腰梯形的对角互补,所以有外接圆.

(5)错误,弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角,所夹的弧的
度数等于该弧所对圆心角的度数,所以弦切角所夹弧的度数等 于弦切角度数的2倍. 答案:(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)×

考向 1

圆周角定理

【典例1】(2012·江苏高考)如图,AB是圆O的直径,D,E为 圆上位于AB异侧的两点,连接BD并延长至点C,使BD=DC,连接 AC,AE,DE. 求证:∠E=∠C.

【思路点拨】可以连接AD,先证∠B=∠C,利用圆周角定理再证 ∠E=∠C即可. 也可以连接OD,利用OD∥AC, 证∠C=∠ODB=∠B,再证∠E=∠C.

【规范解答】方法一:连接AD. ∵AB是圆O的直径, ∴∠ADB=90°, ∴AD⊥BD.又∵BD=DC, ∴AD是线段BC的中垂线. ∴AB=AC,∴∠B=∠C, 又∵∠E和∠B为同弧所对的圆周角, ∴∠B=∠E, ∴∠E=∠C.

方法二:连接OD,因为BD=DC,O为AB的中点, 所以OD∥AC,于是∠ODB=∠C. 因为OB=OD,所以∠ODB=∠B, 于是∠C=∠B. 又因为∠E和∠B为同弧所对的圆周角, 故∠E=∠B,所以∠E=∠C.

【拓展提升】圆周角定理常用的三种转化 (1)圆周角与圆周角之间的转化.

(2)圆周角与圆心角之间的转化.
(3)弧的度数与圆心角和圆周角之间的转化 .

【变式训练】(2013·遵义模拟)如图,A,E是半圆周上的两
个三等分点,直径BC=4,AD⊥BC,垂足为D,BE与AD相交于点F, 求AF的长.

【解析】连接CE,AO,AB,根据A,E是半圆周上的两个三等分
点,BC为直径,可得∠CEB=90°,∠CBE=30°,∠AOB=60°, 故三角形AOB为等边三角形,
AD ? 3,OD=BD=1.

∵F是△ABO的重心,
? AF ? 2 2 AD ? 3. 3 3

考向 2

圆的切线的性质与判定、弦切角定理

【典例2】(2013·大连模拟) 如图所示,直线AB经过⊙O上

的点C,并且OA=OB,CA=CB,⊙O交直线OB于E,D,连接EC,
CD.

(1)求证:直线AB是⊙O的切线.
(2)若 tan?CED= 1 , ⊙O的半径为3,
2

求OA的长.

【思路点拨】(1)连接OC,证OC⊥AB.(2)首先判断 △BCD∽△BEC,再由 tan?CED= 1 ,可得
2 BD CD 1 = = . 最后根据 BC EC 2

BC2=BD·BE列方程求解.

【规范解答】(1)连接OC,
∵OA=OB,CA=CB,

∴OC⊥AB.又∵OC是⊙O的半径,
∴AB是⊙O的切线.

(2)∵AB是⊙O的切线,
∴∠BCD=∠E,又∠CBD=∠EBC,

∴△BCD∽△BEC,
? BC BD CD = = ? BC 2=BD BE. BE BC EC

又tan?CED=

CD 1 BD CD 1 = , ? = = . EC 2 BC EC 2

设BD=x,则BC=2x,∵BC2=BD·BE, ∴(2x)2=x(x+6),解得x=2,或x=0(舍去), ∴BD=2, ∴OA=OB=BD+OD=2+3=5.

【互动探究】若把本例(2)中的“ tan ?CED ? ”,改为 “∠CED=30°”“⊙O的半径为3”改为“BC=1”,求⊙O的半 径.

1 2

【解析】∵AB是⊙O的切线,
∴∠BCD=∠E.又∠CBD=∠EBC,

∴△BCD∽△BEC,
BC BD CD ? = = ? BC2=BD BE. BE BC EC CD 3 又 =tan?CED ? , EC 3 ? BD CD 3 = = . BC EC 3

3 , BC2=BD BE, 3 3 3 3 ?1 ? ( ? 2r), ?r ? . 3 3 3 由BC=,得 1 BD=

【拓展提升】证明直线是圆的切线的常用方法 (1)若已知直线与圆有公共点,则需证明圆心与公共点的连线 垂直于已知直线即可.

(2)若已知直线与圆没有明确的公共点,则需证明圆心到直线
的距离等于圆的半径.

【变式备选】已知△ABC中,AB=AC,D是△ABC外接圆劣弧AC上的
点(不与点A,C重合),延长BD至E. (1)求证:AD的延长线平分∠CDE. (2)若∠BAC=30°,△ABC中BC边上 的高为 2 ? 3, 求△ABC外接圆的面积.

【解析】(1)如图,设F为AD延长 线上一点, ∵A,B,C,D四点共圆, ∴∠CDF=∠ABC. 又AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,且∠ADB=∠ACB, ∴∠ADB=∠CDF, 对顶角∠EDF=∠ADB,故∠EDF=∠CDF, 即AD的延长线平分∠CDE.

(2)设O为外接圆圆心,连接AO并延长交BC于H,则AH⊥BC.
连接OC,由题意∠OAC=∠OCA=15°,∠ACB=75°, ∴∠OCH=60°. 设圆半径为r,则 r ? 3 r ? 2 ? 3, 解得r=2,
2

故△ABC外接圆的面积为4π.

考向 3

与圆有关的比例线段

【典例3】⊙O的割线PAB交⊙O于A,B两点,割线PCD经过圆心

O,PE是⊙O的切线,已知PA=6, AB ? 7 1 , PO=12,求PE及⊙O的
3

半径r.

【思路点拨】由切割线定理,可求出PE的长,再利用切割线定
理的推论求出⊙O的半径.

【规范解答】由切割线定理,得PE2=PA·PB
=PA·(PA+AB)= 6 ? (6 ? 7 1 ) ? 80,
3

? PE ? 80 ? 4 5,

又∵PC·PD=PA·PB, 即(12-r)(12+r)= 6 ? (6 ? 7 1 )
3

∴144-r2=80,∴r2=64,∴r=8.

【拓展提升】与圆有关的比例线段解题思路
(1)见到圆的两条相交弦就要想到相交弦定理.

(2)见到圆的两条割线就要想到割线定理.
(3)见到圆的切线和割线就要想到切割线定理.

【变式训练】如图,已知⊙O和⊙O1内切于点A,⊙O的弦AP交 ⊙O1于点B,PC切⊙O1于点C,且 PC ? 2 , 求⊙O1和⊙O的半
PA 2

径之比.

【解析】如图,连接OP,OA,O1B,△OPA和△O1BA是相似的等

腰三角形,
∴∠APO=∠ABO1, ∴O1B∥OP, ?
AO1 AB ? . AO AP

由切割线定理,得PC2=PB·PA =(PA-AB)·PA=PA2-PA·AB,
2 PC AB 2 2 AB 两端同除以PA2得 ? 1 ? ,即( ) ? 1 ? , 2 PA PA 2 PA

?

AO1 AB 1 AB 1 ? , ? ? ? . PA 2 AO AP 2

考向 4

四点共圆的判定及应用

【典例4】(2013·郑州模拟) 如图所示,锐角三角形ABC的 内心为I,过点A作直线BI的垂线,垂足为H,点E为内切圆I与 边CA的切点. (1)求证:四点A,I,H,E共圆. (2)若∠C=50°,求∠IEH的度数.

【思路点拨】(1)由∠AEI=∠AHI=90°,可证四点共圆.
(2)由内心为I,可得∠HIA与∠ABI,∠BAI的关系,进而得到 ∠HIA与∠C的关系,再由∠IEH=∠HAI即可求解.

【规范解答】(1)由圆I与边AC相切于点E,

得IE⊥AE,结合IH⊥AH,得∠AEI=∠AHI=90°.
所以,四点A,I,H,E共圆.

(2)由(1)知四点A,I,H,E共圆,得∠IEH=∠HAI.
∠HIA=∠ABI+∠BAI= ?ABC+ ?BAC
1 1 ? ?ABC+?BAC ?= (180?-?C) 2 2 1 =90?- ?C. 2 =
1 2 1 2

结合IH⊥AH,得∠HAI=90°-∠HIA= 1 ?C,
所以∠IEH=1 ?C =25°.
2 2

【拓展提升】圆内接四边形的重要结论
(1)内接于圆的平行四边形是矩形. (2)内接于圆的菱形是正方形. (3)内接于圆的梯形是等腰梯形.

【变式训练】(2013·武陵模拟)如图,在△ABC中,∠ACB为 钝角,点E,H是边AB上的点,点K和M分别是边AC和BC上的点, 且AH=AC,EB=BC,AE=AK,BH=BM.

(1)求证:E,H,K,M四点共圆. (2)若KE=EH,CE=3,求线段KM的长.

【解析】(1)连接CH, ∵AC=AH,AK=AE, ∴四边形CHEK为等腰梯形, ∴∠AEK=∠AHC=∠ACH, ∴C,H,E,K四点共圆,同理,C,E,H,M四点共圆, 即E,H,M,K均在点C,E,H所确定的圆上,故E,H,K,M四 点共圆.

(2)连接EM,由(1)得E,H,M,C,K五点共圆,
∵C,E,H,M四点共圆,BE=BC,BH=BM, ∴四边形MHEC为等腰梯形, ∴EM=HC,故∠MKE=∠CEH, 由KE=EH,可得∠KME=∠ECH, 故△MKE≌△CEH, 即KM=CE=3.


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