9299.net
大学生考试网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

(教师用书)2013-2014学年高中数学 第一章 导数及其应用章末归纳提升课件 新人教A版选修2-_图文

(教师用书)2013-2014学年高中数学 第一章 导数及其应用章末归纳提升课件 新人教A版选修2-_图文

导数的几何意义及其应用

1. 利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切 线方程 y-y0=f′(x0)(x-x0),明确“过点 P(x0,y0)的曲线 y =f(x)的切线方程”与“在点 P(x0, y0)处的曲线 y=f(x)的切线 方程”的异同点. 2.围绕切点有三个等量关系:一是切点在曲线上;二是 切点在切线上;三是在切点处的导数等于切线的斜率.这三 个等量关系在求解参数问题中经常用到.

点 P(2,0)是函数 f(x)=x3+ax 与 g(x)=bx2+c 的 图象的一个公共点,且两条曲线在点 P 处有相同的切线,求 a,b,c 的值.
【思路点拨】 利用切点的三个等量关系求解.

【规范解答】 因为点 P(2,0)是函数 f(x)=x3+ax 与 g(x) =bx2+c 的图象的一个公共点, 所以 23+2a=0, 4b+c=0, ① ②

由①得 a=-4. 所以 f(x)=x3-4x. 又因为两条曲线在点 P 处有相同的切线, 所以 f′(2)=g′(2), 而由 f′(x)=3x2-4 得到 f′(2)=8, 由 g′(x)=2bx 得到 g′(2)=4b, 所以 8=4b,即 b=2,代入②得到 c=-8. 综上所述,a=-4,b=2,c=-8.

设函数 f(x)=4x2-ln x+2,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1)) 处的切线方程.
1 【解】 f′(x)=8x- . x 所以在点(1,f(1))处切线的斜率 k=f′(1)=7, 又 f(1)=4+2=6, 所以切点的坐标为(1,6), 所以切线的方程为 y-6=7(x-1),即 y=7x-1.

利用导数判断函数的单调性
借助导数研究函数的单调性,尤其是研究含有 ln x, ex 等线性函数( 或复合函数 )的单调性,是近几年高考的一个重 点. 其特点是导数 f′(x)的符号一般由二次函数来确定, 经常 同一元二次方程、一元二次不等式结合,融分类讨论,数形 结合于一体.

k 2 已知函数 f(x)=ln(1+x)-x+2x ,(k≥0). 试求 f(x)的单调区间.
【思路点拨】 先求 f′(x),再分 k=0,0<k<1,k=1 和 k>1 四种情况求解. x?kx+k-1? 1 【规范解答】 f′(x)= -1+kx= ,x∈ 1+x 1+x

(-1,+∞). x 当 k=0 时,f′(x)=- . 1+x 所以,在区间(-1,0)上,f′(x)>0;在区间(0,+∞)上, f′(x)<0.

故 f(x)的单调递增区间是(-1,0),单调递减区间是(0,+ ∞). 1-k kx?x- ? k 当 0<k<1 时,由 f′(x)= =0,得 x1=0,x2 1+x 1-k = >0, k 1-k 所以,在区间(-1,0)和( ,+∞) 上,f′(x)>0;在区 k 1-k 间(0, )上,f′(x)<0. k

1-k 故 f(x)的单调递增区间是(-1,0)和( ,+∞),单调递 k 1-k 减区间是(0, ). k x2 当 k=1 时,f′(x)= , 1+x 故 f(x)的单调递增区间是(-1,+∞).

1-k kx?x- ? 1-k k 当 k>1 时, f′(x)= =0, 得 x1= ∈(-1,0), k 1+x x2=0. 1-k 所以在区间( - 1 , ) 和(0 ,+∞) 上, f′(x)>0 ;在区 k 1-k 间( ,0)上,f′(x)<0, k 1-k 故 f(x)的单调递增区间是(-1, )和(0,+∞),单调 k 1-k 递减区间是( ,0). k

2 已知函数 f(x)=x- +a(2-ln x), a>0.讨论 f(x)的单调性. x 【解】 由题知,f(x)的定义域是(0,+∞),
2 2 a x -ax+2 f′(x)=1+ 2- = . x x x2

设 g(x)=x2-ax+2,二次方程 g(x)=0 的判别式 Δ=a2 -8. ①当 Δ<0 即 0<a<2 2时,对一切 x>0 都有 f′(x)>0.此时 f(x)是(0,+∞)上的单调递增函数.

②当 Δ=0 即 a=2 2时,仅对 x= 2,有 f′(x)=0,对 其余的 x>0 都有 f′(x)>0.此时 f(x)也是(0,+∞)上的单调递 增函数. ③当 Δ>0 即 a>2 2时,方程 g(x)=0 有两个不同的实根 a- a2-8 a+ a2-8 x1= ,x2= ,0<x1<x2. 2 2

当 x 变化时,f′(x)、f(x)的变化情况如下表:

(0,x1) x1 (x1,x2) x2 (x2,+∞) + 0 - 0 + f ′( x ) f ( x) 极大值 极小值 x

a- a2-8 此时 f(x)在(0, )上单调递增, 2 a- a2-8 a+ a2-8 在( , )上单调递减, 2 2 a+ a2-8 在( ,+∞)上单调递增. 2

利用导数求函数的极值和最值
1. 极值和最值是两个迵然不同的概念,前者是函数的 “局部”性质,而后者是函数的“整体”性质.另函数有极 值未必有最值,反之亦然. 2.判断函数“极值”是否存在时,务必把握以下原则: (1)确定函数 f(x)的定义域; (2)解方程 f′(x)=0 的根; (3)检验 f′(x)=0 的根的两侧 f′(x)的符号: 若左正右负,则 f(x)在此根处取得极大值; 若左负右正,则 f(x)在此根处取得极小值.

已知函数 f(x)=x3-3ax2-9a2x+a3. (1)设 a=1,求函数 f(x)的极值; 1 (2)若 a> ,且当 x∈[1,4a]时,|f′(x)|≤12a 恒成立,试确 4 定 a 的取值范围. 【思路点拨】 (1)先求 f′(x)=0 的根,再根据极值的定

义求解. (2)先求 f′(x)的最值, 再根据|f′(x)|≤12a 列不等式求解.

【规范解答】

(1)当 a=1 时,f(x)=x3-3x2-9x+1 且

f′(x)=3x2-6x-9,由 f′(x)=0 得 x=-1 或 x=3. 当 x<-1 时 f′(x)>0,当-1<x<3 时 f′(x)<0,因此 x= -1 是函数的极大值点,极大值为 f(-1)=6;当-1<x<3 时 f′(x)<0,当 x>3 时 f′(x)>0,因此 x=3 是函数的极小值点, 极小值为 f(3)=-26.

(2)f′(x) = 3x2- 6ax- 9a2 的图象是一条开口向上且对称 轴为 x=a 的抛物线,因此, 1 若 <a≤1,则 f′(x)在[1,4a]上单调递增,所以 f′(x)在 4 [1,4a]上的最小值为 f′(1)=3-6a-9a2,最大值为 f′(4a)= 15a2. 由|f′(x)|≤12a 得-12a≤3 x2-6ax-9a2≤12a,于是 3- 1 1 4 6a-9a ≥-12a 且 15a ≤12a,结合4<a≤1,解得4<a≤5.
2 2

若 a>1,则 |f′(a)|=12a2>12a,故当 x∈[1,4a]时, |f′(x)|≤12a 不恒成立. 所以使|f′(x)|≤12a(x∈[1,4a])恒成立的 a 的取值范围为 1 4 (4,5].

已知函数 f(x)=x3+ax2+b 的图象上一点 P(1,0),且在点 P 处的切线与直线 3x+y=0 平行. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)求函数 f(x)在区间[0,t](0<t<3)上的最大值和最小值; (3)在(1)的结论下, 关于 x 的方程 f(x)=c 在区间[1,3]上恰 有两个相异的实根,求实数 c 的取值范围.

【解】 (1)因为 f′(x)=3x2+2ax,曲线在 P(1,0)处的切 线斜率为:f′(1)=3+2a,即 3+2a=-3,a=-3. 又函数过(1,0)点,即-2+b=0,b=2. 所以 a=-3,b=2,f(x)=x3-3x2+2. (2)由 f(x)=x3-3x2+2 得,f′(x)=3x2-6x. 由 f′(x)=0 得,x=0 或 x=2. ①当 0<t≤2 时,在区间(0,t)上 f′(x)<0,f(x)在[0,t]上 是减函数,所以 f(x)max=f(0)=2,f(x)min=f(t)=t3-3t2+2.

②当 2<t<3 时,当 x 变化时,f′(x)、f(x)的变化情况如下 表:

x f ( x)

0 (0,2)

2

(2,t)

t t3-3t2+2

f ′( x ) 0
2



0
-2



f(x)min=f(2)=-2,f(x)max 为 f(0)与 f(t)中较大的一个. f(t)-f(0)=t3-3t2=t2(t-3)<0. 所以 f(x)max=f(0)=2.

(3)令 g(x)=f(x)-c=x3-3x2+2-c, g′(x)=3x2-6x=3x(x-2). 在 x∈[1,2)上,g′(x)<0;在 x∈(2,3]上,g′(x)>0.要使 ?g?1?≥0, ? g(x)=0 在[1,3]上恰有两个相异的实根,则?g?2?<0, ?g?3?≥0, ? -2<c≤0.

解得

利用导数证明不等式
利用导数解决不等式问题(如: 证明不等式, 比较大小等), 其实质就是利用求导数的方法研究函数的单调性,而证明不 等式(或比较大小)常与函数最值问题有关. 因此, 解决该类问 题通常是构造一个函数,然后考查这个函数的单调性,结合 给定的区间和函数在该区间端点的函数值使问题得以求解.

aln x b 已知函数 f(x)= + ,曲线 y=f(x)在点(1, x+1 x f(1))处的切线方程为 x+2y-3=0, (1)求 a,b 的值; ln x (2)证明:当 x>0,x≠1 时,f(x)> . x-1 【思路点拨】 (1)先求 f′(x),然后根据 f′(1)与 f(1)列

方程组求解. (2)作差,构造函数利用导数证明.

【规范解答】

x+1 a? -ln x? x b (1) ∵ f′(x) = - 2 ,由题意 2 x ?x+1?

?b=1, ?f?1?=1, ? ? 知:? 即?a 1 1 f′?1?=-2, -b=-2, ? ? 2 ? ? ∴a=b=1.
ln x 1 (2)由(1)知 f(x)= + ,所以 x+1 x x2-1 ln x 1 f(x)- = ). 2(2ln x- x x-1 1-x

x2-1 -?x-1?2 设 h(x)=2ln x- ,(x>0),则 h′(x)= , x x2 当 x≠1 时,h′(x)<0,而 h(1)=0. 1 故当 x∈(0,1)时, h(x)>0;当 x∈(1,+∞)时 h(x) 1-x2 1 <0 得: h(x)>0. 1-x2 ln x 从而,当 x>0 且 x≠1 时,f(x)- >0, x-1 ln x 即 f(x)> . x-1

11 1 3 16 证明:当 x∈[-2,1]时,- 3 ≤3x -4x≤ 3 . 1 3 【证明】 令 f(x)=3x -4x,x∈[-2,1],

则 f′(x)=x2-4. 因为 x∈[-2,1],所以 f′(x)≤0, 即函数 f(x)在区间 [-2,1]上单调递减. 16 故函数 f(x)在区间[-2,1]上的最大值为 f(-2)= 3 , 11 最小值为 f(1)=- 3 .

11 16 所以,当 x∈[-2,1]时,- ≤f(x)≤ , 3 3 11 1 3 11 即- ≤ x -4x≤ 成立. 3 3 3

定积分及其应用
1. 定积分是解决求平面图形特别是不规则图形的面积、 变速直线运动的路程及变力做功等问题的方便而且强有力的 工具. 2. 不规则图形的面积可用定积分求, 关键是确定积分上、 下限及被积函数,积分的上、下限一般是两曲线交点的横坐 标.

设两抛物线 y=-x2+2x, y=x2 所围成的图形为 M,求 M 的面积. 【思路点拨】 求出两抛物线的交点,画出图象,利用
定积分求解.

【规范解答】 函数 y=-x2+2x,y=x2 在同一平面直 角坐标系中的图象如图所示. 由图可知,图形 M 的面积
2 2 ? (-x +2x-x )dx S=? ?
?0

1

1 ? 2 3 2? ?1 2 ? =? (-2x +2x)dx=(-3x +x )? ?0 ?0

1 =3.

求抛物线 y=x2 与直线 y=2x 所围成平面图形的面积.
【解】 首先求出抛物线 y=x2 与直线 y=2x 的交点为(0,0) 和(2,4),画出抛物线 y=x2 与直线 y=2x 所围成的平面图形, 如图阴影所示.

1 3? 1 ?2 2 2 ? 2 ? 则所求面积为 S=? (2x-x )dx=(x - x )? =2 - ×23 3 ?0 3 ?0 4 = . 3

2

函数与方程的思想

函数与方程的思想在导数及其应用中到处可见,与它同 时出现的是待定系数法.在确定函数的表达式或求函数表达 式的系数等方面都可以根据函数与方程的思想,通过待定系 数法来实现.

设函数 f(x)=2x3+3ax2+3bx+8c 在 x=1 及 x= 2 时取得极值. (1)求 a,b 的值; (2)若对任意的 x∈[0,3],都有 f(x)<c2 成立,求 c 的取值 范围. 【思路点拨】 (1)利用 f′(1)=0,f′(2)=0,列方程组

求解. (2)转化为求函数 f(x)的最大值问题.

【规范解答】 (1)f′(x)=6x2+6ax+3b. 因为函数 f(x)在 x=1 及 x=2 时取得极值, 则有 f′ (1)=0,
? ?6+6a+3b=0, f′(2)=0,即? ? ?24+12a+3b=0, ? ?a=-3, 解得? ? ?b=4.

(2) 由(1) 可知, f(x) =2x3 - 9x2 +12x+ 8c,则 f′(x) = 6x2 -18x+12=6(x-1)(x-2). 当 x∈[0,1)时,f′(x)>0; 当 x∈(1,2)时,f′(x)<0; 当 x∈(2,3]时,f′(x)>0.

所以当 x=1 时, f(x)取得极大值 f(1)=5+8c, 当 x=2 时, f(x)取得极小值 f(2)=4+8c,又 f(0)=8c,f(3)=9+8c. 所以当 x∈[0,3]时,f(x)的最大值为 f(3)=9+8c. 因为对于任意的 x∈[0,3],有 f(x)<c2 恒成立, 所以 9+8c<c2,解得 c<-1 或 c>9. 故 c 的取值范围为 c<-1 或 c>9.

(2013· 重庆高考) 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池 (不计厚度).设该蓄水池的底面半径为 r 米,高为 h 米,体积 为 V 立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成 本为 100 元/平方米,底面的建造成本为 160 元/平方米,该蓄 水池的总建造成本为 12 000π 元(π 为圆周率). (1)将 V 表示成 r 的函数 V(r),并求该函数的定义域; (2)讨论函数 V(r)的单调性,并确定 r 和 h 为何值时该蓄 水池的体积最大.

【解】 200πrh(元),

(1) 因为 蓄水 池侧 面的 总成 本为 100·2πrh =

底面的总成本为 160πr2 元,所以蓄水池的总成本为 (200πrh+160πr2)元. 又根据题意 200πrh+160πr2=12 000π, 1 所以 h= (300-4r2),从而 5r π V(r)=πr h=5(300r-4r3).
2

因为 r>0,又由 h>0 可得 r<5 3, 故函数 V(r)的定义域为(0,5 3).

π (2)因为 V(r)=5(300r-4r3), π 所以 V′(r)= (300-12r2). 5 令 V′(r)=0,解得 r1=5,r2=-5(因为 r2=-5 不在定 义域内,舍去). 当 r∈(0,5)时,V′(r)>0,故 V(r)在(0,5)上为增函数; 当 r∈(5,5 3)时, V′(r)<0, 故 V(r)在(5,5 3)上为减函数. 由此可知,V(r)在 r=5 处取得最大值,此时 h=8. 即当 r=5,h=8 时,该蓄水池的体积最大.


网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 大学生考试网 9299.net
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com