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[最新]高中数学 4.1.2函数的极值练习 北师大版选修1-1试题及答案解析

[最新]高中数学 4.1.2函数的极值练习 北师大版选修1-1试题及答案解析


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高中数学 4.1.2 函数的极值练习 北师大版选修 1-1

一、选择题 1.(2014·新课标Ⅱ文,3)函数 f(x)在 x=x0 处导数存在,若 p:f′(x0)=0;q:x=

x0 是 f(x)的极值点,则(

)

A.p 是 q 的充分必要条件 B.p 是 q 的充分条件,但不是 q 的必要条件 C.p 是 q 的必要条件,但不是 q 的充分条件 D.p 既不是 q 的充分条件,也不是 q 的必要条件 [答案] C [解析] ∵x=x0 是 f(x)的极值点,∴f′(x0)=0,即 q? p,而由 f′(x0)=0,不一定 得到 x0 是极值点,故 p? / q,故选 C. 2.函数 y=x -3x -9x(-2<x<2)有( A.极大值为 5,极小值为-27 B.极大值为 5,极小值为-11 C.极大值为 5,无极小值 D.极大值为-27,无极小值 [答案] C [解析] f′(x)=3x -6x-9 =3(x+1)(x-3). 令 f′(x)=0,得 x1=-1,x2=3(舍去). 当 x∈(-2,-1)时,f′(x)>0; 当 x∈(-1,2)时,f′(x)<0. ∴当 x=-1 时,f(x)有极大值,且 f(x)极大值=f(-1)=5,无极小值. 3.函数 f(x)=ax +bx 在 x=1 处有极值-2,则 a、b 的值分别为( A.1,-3 C.-1,3 [答案] A [解析] 因为 f′(x)=3ax +b, 所以 f′(1)=3a+b=0. 又 x=1 时有极值-2,所以 a+b=-2. 由①②解得 a=1,b=-3. 4.设函数 f(x)=xlnx,则 ( ) ① ②
2 3 2 3 2

)

)

B.1,3 D.-1,-3

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A.x=e 为 f(x)的极大值点 B.x=e 为 f(x)的极小值点 1 C.x= 为 f(x)的极大值点 e 1 D.x= 为 f(x)的极小值点 e [答案] D [解析] f′(x)=lnx+1, 1 令 f′(x)>0,得 x> , e 1 令 f′(x)<0,得 x< , e 1 1 1 ∴函数 f(x)在(0, )上递减,在( ,+∞)上递增,∴当 x= 时,f(x)取得极小值. e e e 5.下图是函数 y=f(x)的导函数 y=f′(x)的图像,给出下列命题:

①x=-3 是函数 y=f(x)的极值点; ②x=-1 是函数 y=f(x)的最小值点; ③曲线 y=f(x)在 x=0 处的切线斜率小于零; ④函数 y=f(x)在区间(-3,1)上单调递增. 其中,正确命题的序号是( A.①② C.②③ [答案] B [解析] f′(-3)=0,且在 x=-3 的两侧,导函数由负到正,所以 x=-3 为 f(x)的 极小值点.当 x∈(-3,-1)时,f′(x)>0,f(x)单调递增,所以①④正确. 6.(2014·湖北重点中学期中联考)设 a∈R,若函数 y=e +ax,x∈R,有大于零的极 值点,则( 1 A.a<- e ) B.a>-1
x

) B.①④ D.③④

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C.a<-1 [答案] C [解析] y′=e +a,由题意知 a<0. ∵函数有大于零的极值点 x=x0, ∴ex0+a=0,且 x0>0, ∴a<-1,故选 C. 二、填空题
x

1 D.a>- e

1 3 1 2 7.函数 f(x)=- x + x +2x 取得极小值时,x 的值是________. 3 2 [答案] -1 [解析] f′(x)=-x +x+2=-(x-2)(x+1), 令 f′(x)>0 得-1<x<2,令 f′(x)<0,得 x<-1 或 x>2,∴函数 f(x)在(-∞,-1), (2,+∞)上递减,在(-1,2)上递增, ∴当 x=-1 时,函数 f(x)取得极小值. 8.已知函数 f(x)=x(x-c) 在 x=2 处取极大值,则常数 c 的值为________. [答案] 6 [解析] f(x)=x(x-c) =x -2cx +c x,
2 3 2 2 2 2

f ′(x)=3x2-4cx+c2,令 f ′(2)=0 解得 c=2 或 6.
当 c=2 时,f ′(x)=3x -8x+4=(3x-2)(x-2), 故 f(x)在 x=2 处取得极小值,不合题意舍去; 当 c=6 时,f ′(x)=3x -24x+36=3(x -8x+12) =3(x-2)(x-6),故 f(x)在 x=2 处取得极大值. 三、解答题 9.设函数 f(x)=x +ax -9x 的导函数为 f′(x),且 f′(2)=15. (1)求函数 f(x)的图像在 x=0 处的切线方程; (2)求函数 f(x)的极值. [答案] (1)y=-9x (2)极大值 27,极小值-5 [解析] (1)∵f′(x)=3x +2ax-9, ∵f′(2)=15,∴12+4a-9=15,∴a=3. ∴f(x)=x +3x -9x, ∴f′(x)=3x +6x-9, ∴f(0)=0,f′(0)=-9, ∴函数在 x=0 处的切线方程为 y=-9x. (2)令 f′(x)=0,得 x=-3 或 x=1.
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2 3 2 2 3 2 2 2 2

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当 x 变化时,f(x)与 f′(x)的变化情况如下表:

x f′(x) f(x)

(-∞,-3) + ?

-3 0 27

(-3,1) - ?

1 0 -5

(1,+∞) + ?

即函数 f(x)在(-∞,-3)上递增,在(-3,1)上递减,在(1,+∞)上递增,∴当 x= -3 时,f(x)有极大值 27,当 x=1 时,f(x)有极小值-5. 1 10.设 y=f(x)为三次函数,且图像关于原点对称,当 x= 时,f(x)的极小值为-1, 2 求函数 f(x)的解析式. [答案] f(x)=4x -3x [解析] 设 f(x)=ax +bx +cx+d(a≠0),因为其图像关于原点对称,∴f(-x)=-
3 2 3

f(x)恒成立,得 ax3+bx2+cx+d=ax3-bx2+cx-d,
∴b=0,d=0,即 f(x)=ax +cx. 由 f ′(x)=3ax +c,
2 3

?1? 3 ?1? 1 c 依题意,f ′? ?= a+c=0,f? ?= a+ =-1, ?2? 4 ?2? 8 2
解之,得 a=4,c=-3. 故所求函数的解析式为 f(x)=4x -3x.
3

一、选择题 1.设函数 f(x)=xe ,则( A.x=1 为 f(x)的极大值点 B.x=1 为 f(x)的极小值点 C.x=-1 为 f(x)的极大值点 D.x=-1 为 f(x)的极小值点 [答案] D [解析] 求导得 f′(x)=e +xe =e (x+1),令 f′(x)=e (x+1)=0,解得 x=-1, 当 x<-1 时,f′(x)<0;当 x>-1 时,f′(x)>0,从而 x=-1 是函数 f(x)的极小值点. 2.设函数 f(x)=x +bx +cx+a 在 x=±1 处均有极值,且 f(-1)=-1,则 a、b、c 的值为( )
3 2

x

)

x

x

x

x

A.a=-1,b=0,c=-1 1 3 B.a= ,b=0,c=- 2 2 C.a=-3,b=0,c=-3

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D.a=3,b=0,c=3 [答案] C [解析] ∵f ′(x)=3x +2bx+c,∴由题意得,
2

f ′?1?=0 ? ? ?f ′?-1?=0 ? ?f?-1?=-1

3+2b+c=0 ? ? ,即?3-2b+c=0 ? ?-1+b-c+a=-1



解得 a=-3,b=0,c=-3. 3.已知函数 f(x)=x -px -qx 的图像与 x 轴切于(1,0)点,则 f(x)的极大值、极小值 分别为( A. ) B.0, 4 27
3 2

4 ,0 27

4 C.- ,0 27 [答案] A [解析] f ′(x)=3x -2px-q, 由 f ′(1)=0,f(1)=0 得,
?3-2p-q=0 ? ? ? ?1-p-q=0
2

4 D.0,- 27

,解得?

?p=2 ? ? ?q=-1

,∴f(x)=x -2x +x.

3

2

1 2 由 f ′(x)=3x -4x+1=0 得 x= 或 x=1, 3 1 4 易得当 x= 时 f(x)取极大值 . 3 27 当 x=1 时 f(x)取极小值 0. 4.已知 f(x)=x +ax +(a+6)x+1 有极大值和极小值,则 a 的取值范围是( A.-1<a<2 C.a<-1 或 a>2 [答案] D [解析] f ′(x)=3x +2ax+a+6, ∵f(x)有极大值与极小值, ∴f ′(x)=0 有两不等实根, ∴Δ =4a -12(a+6)>0,∴a<-3 或 a>6. 二、填空题 5.直线 y=a 与函数 f(x)=x -3x 的图像有相异的三个公共点,则 a 的取值范围是 ________. [答案] (-2,2)
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3 2 2 3 2

)

B.-3<a<6 D.a<-3 或 a>6

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[解析] f ′(x)=3x -3, 由 3x -3=0 得 x=1 或-1, 当 x<-1, 或 x>1 时, f ′(x)>0,

2

2

f(x)单调递增;当-1<x<1 时,f ′(x)<0,f(x)单调递减.
∴x=-1 时,f(x)取到极大值 f(-1)=2,x=1 时,f(x)取到极小值 f(1)=-2,∴欲 使直线 y=a 与函数 f(x)的图像有相异的三个公共点,应有-2<a<2. 6.若函数 y=-x +6x +m 的极大值等于 13,则实数 m=________. [答案] -19 [解析] y′=-3x +12x,令 y′=0 得 x=0 或 x=4, ∴函数在(-∞,0)递减,(0,4)递增,(4,+∞)递减, ∴x=4 时,ymax=13, ∴-4 +6×4 +m=13,∴m=-19. 三、解答题 4 3 2 7.(2015·重庆文,19)已知函数 f(x)=ax +x (a∈R)在 x=- 处取得极值. 3 (1)确定 a 的值; (2)若 g(x)=f(x)e ,讨论 g(x)的单调性. 1 [答案] (1) 2 内为增函数 4 2 [解析] (1)对 f(x)求导得 f′(x)=3ax +2x 因为 f(x)在 x=- 处取得极值,所以 3 (2)g(x)在(-∞,-4)和(-1,0)内为减函数,(-4,-1)和(0,+∞)
x
3 2 2 3 2

f′(- )=0,即 3a× +2×(- )=

4 3

16 9

4 3

16a 8 1 - =0,解得 a= . 3 3 2

?1 3 2? ?3 2 ? ?1 3 2? ?1 3 5 2 ? (2)由(1)得, g(x)=? x +x ?ex.故 g′(x)=? x +2x?ex+? x +x ?ex=? x + x +2x?ex 2 ?2 ? ?2 ? ?2 ? ?2 ?
1 x = x(x+1)(x+4)e ,令 g′(x)=0,解得 x=0,x=-1 或 x=-4.当 x<-4 时,g′(x)<0, 2 故 g(x)为减函数;当-4<x<-1 时,g′(x)>0,故 g(x)为增函数; 当-1<x<0 时,g′(x)<0, 故 g(x)为减函数; 当 x>0 时, g′(x)>0, 故 g(x)为增函数; 综上知 g(x)在(-∞, -4)和(- 1,0)内为减函数,(-4,-1)和(0,+∞)内为增函数. 1 8.设函数 f(x)=(2-a)lnx+ +2ax.

x

(1)当 a=0 时,求 f(x)的极值; (2)当 a≠0 时,求 f(x)的单调区间. 1 [答案] (1)f(x)极小值=f( )=2-2ln2,没有极大值 (2)当 a>0 时,函数的单调递减 2 1 1 1 区间为(0, ],单调递增区间为[ ,+∞);当 a<-2 时,函数的单调递减区间为(0,- ], 2 2 a
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1 1 1 [ ,+∞),单调递增区间为[- , ];当 a=-2 时,函数的单调递减区间为(0,+∞); 2 a 2 1 1 1 1 当-2<a<0 时,函数的单调递减区间为(0, ],[- ,+∞),单调递增区间为[ ,- ] 2 a 2 a [解析] (1)函数 f(x)的定义域为(0,+∞), 1 2 1 2x-1 当 a=0 时,f(x)=2lnx+ ,∴f′(x)= - 2= 2 .

x

x x

x

1 由 f′(x)=0 得 x= .f(x),f′(x)随 x 的变化如下表: 2

x f′(x) f(x)

1 (0, ) 2 - ?

1 2 0 极小值

1 ( ,+∞) 2 + ?

1 由上表可知,f(x)极小值=f( )=2-2ln2,没有极大值. 2 2ax +?2-a?x-1 1 1 (2)由题意,知 f′(x)= .令 f′(x)=0 得 x1=- ,x2= . x2 a 2 1 1 若 a>0,由 f′(x)≤0 得 x∈(0, ];由 f′(x)≥0 得 x∈[ ,+∞). 2 2 1 1 1 1 若 a<0, 当 a<-2 时, - < , 由 f′(x)≤0 得 x∈(0, - ]或 x∈[ , +∞); 由 f′(x)≥0 a 2 a 2 1 1 得 x∈[- , ]. a 2 1 1 1 当 a=-2 时,f′(x)≤0.当-2<a<0 时,- > ,由 f′(x)≤0 得 x∈(0, ]或 x∈[- a 2 2 1 1 1 ,+∞);由 f′(x)≥0 得 x∈[ ,- ]. a 2 a 1 1 综上,当 a>0 时,函数的单调递减区间为(0, ],单调递增区间为[ ,+∞);当 a<-2 2 2 1 1 1 1 时,函数的单调递减区间为(0,- ],[ ,+∞),单调递增区间为[- , ];当 a=-2 时, a 2 a 2 1 1 函数的单调递减区间为(0,+∞);当-2<a<0 时,函数的单调递减区间为(0, ],[- ,+ 2 a 1 1 ∞),单调递增区间为[ ,- ]. 2 a
2

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