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四川省南充市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷 Word版含解析

四川省南充市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷 Word版含解析


四川省南充市 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 1. (5 分)sin A. 的值为() B.
2

C .﹣

D.﹣

2. (5 分)集合 A={1,a,3},B={3,a ,5,6},若 A∪B={1,2,3,4,5,6}则 a 的值为() A.4 B.±2 C .2 D.﹣2 3. (5 分)函数 f(x)= A.(﹣∞,1] + B.∪ ﹣1 的定义域为()

4. (5 分)已知函数 f(x)= A.﹣4 B.0

,求 f(0)的值() C .4 D.2

5. (5 分)已知函数 f(x)是偶函数,而且在上是减函数,且有最小值为 2,那么在上说法正确的是() A.增函数且有最小值为 2 B. 增函数且有最大值为 2 C. 减函数且有最小值为 2 D.减函数且有最大值为 2

6. (5 分)函数 f(x)=

的图象大致为()

A.

B.

C.

D.

7. (5 分)设 f(x)=1nx+2x﹣6,用二分法求方程 lnx+2x﹣6=0 在区间(2,3)内近似解的过程中,得 f (2.5)<0,f(3)>0,f(2.75)>0,f(2.625)>0,则方程的根落在区间() A.(2.5,3) B.(2.5,2.75) C.(2.625,2.75) D.(2.5,2.625) 8. (5 分)为了得到 y=cos(2x+ )函数的图象,只需将余弦函数曲线上所有的点() A.先向右平移 个长度单位,再把横坐标扩大到原来的 2 倍,纵坐标不变 B. 先向左平移 个长度单位,再把横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变

C. 先向左平移 个长度单位,再把横坐标扩大到原来的 2 倍,纵坐标不变 D.先向右平移 个长度单位,再把横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变

9. (5 分)已知| |=1,| |=6, ?( ﹣ )=2,则 与 的夹角是() A. B. C. D.

10. (5 分)定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x)=f(x+2) ,当 x∈时,f(x)=x﹣2,则() A.f(sin )<f(cos ) C. f(sin1)<f(cos1) B. f(sin )>f(cos )

D.f(sin )>f(cos )

二、填空题(共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分) 11. (5 分)不等式( )
2x﹣7

>( )

4x﹣1

中的 x 取值范围为.

12. (5 分)已知幂函数 f(x)过点(2,
2

) ,则 f(4)的值为.

13. (5 分)函数 y=log2(x ﹣2x)的单调递减区间是. 14. (5 分)函数 y=2sin(2x﹣ )的最小正周期为,其单调递增区间为.

15. (5 分)已知 D、 E、F 分别是△ ABC 的边 BC、 CA、 AB 的中点, 且 ﹣ ,② = + ,③ =﹣ + ,④ + +

= ,

= ,

= , 则①

=

= 中正确的等式的个数为.

三、解答题(共 6 小题,满分 75 分) 16. (12 分)化简下列各式: (1)4a b ÷(﹣ a b )? , (a,b 均为正数) ;

(2)



17. (12 分)如图,已知△ ABC,A(7,8) ,B(3,5) ,C(4,3) ,M,N,D 分别是 AB,AC,BC 的 中点,且 MN 与 AD 交于 F.

(1)求:



(2)求∠BAC 的余弦值.

18. (12 分)已知函数 f(x)=x+ ,且 f(1)=2; (1)判断 f(x)的奇偶性; (2)判断 f(x)在(1,+∞)上的增减性,并证明. 19. (12 分)某企业一天中不同时刻用电量 y(单位:万千瓦时)关于时间 t(0≤t≤24,单位:小时)的函 数 y=f(t)近似地满足 f(t)=Asin(ωt+φ)+B, (A>0,ω>0,0<φ<π) ,如图是该企业一天中在 0 点 到 12 点时间段用电量 y 与时间 t 的大致图象. (1)求这一天 0~12 时用电量的最大差; (2)写出这段曲线的函数解析式.

20. (13 分)设 f(x)=a (1)f(x)=g(x) ; (2)f(x)>g(x) . 21. (14 分)已知 =(1,x) ,

,g(x)=a ,其中 a>0,且 a≠1,确定 x 为何值时,有:

2

=(x+2tanθ,y+1) ,且



,其中 θ∈(﹣



) .

(1)将 y 表示为 x 的函数,并求出函数的表达式 y=f(x) (2)若 y=f(x)在 x∈上为单调函数,求 θ 的取值范围; (3)当 θ∈时,y=f(x)在上的最小值为 g(θ) ,求 g(θ)的表达式.

四川省南充市 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 1. (5 分)sin 的值为()

A.

B.

C. ﹣

D.﹣

考点: 三角函数的化简求值. 专题: 计算题;三角函数的求值. 分析: 由特殊角的正弦函数值即可解得. 解答: 解:由特殊角的正弦函数值可得:sin = .

故选:A. 点评: 本题主要考查了三角函数求值,特殊角的三角函数值一定要加强记忆,属于基本知识的考查. 2. (5 分)集合 A={1,a,3},B={3,a ,5,6},若 A∪B={1,2,3,4,5,6}则 a 的值为() A.4 B.±2 C. 2 D.﹣2 考点: 并集及其运算. 专题: 集合. 分析: 利用并集的定义求解. 2 解答: 解:∵集合 A={1,a,3},B={3,a ,5,6}, A∪ B={1,2,3,4,5 ,6}, ∴ ,或 ,
2

解得 a=2. 故选:C. 点评: 本题考查实数值的求法,是基础题,解题时要注意并集性质的合理运用. 3. (5 分)函数 f(x)= A.(﹣∞,1] B. ∪ + ﹣1 的定义域为()

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数 f(x)的解析式中,二次根式的被开方数大于或等于 0,列出不等式组,求出解集即可. 解答: 解:∵函数 f(x)= ∴ , + ﹣1,

解得﹣3≤x≤1; ∴f(x)的定义域为. 故选:D. 点评: 本题考查了求函数定义域的应用问题,即求使函数解析式有意义的自变量的取值范围,是基础题 目.

4. (5 分)已知函数 f(x)=

,求 f(0)的值()

A.﹣4

B. 0

C. 4

D.2

考点: 函数的值;分段函数的应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 直接 利用分段函数以及抽象函数化简求解函数值即可. 解答: 解:函数 f(x)=
2



f (0)=f(0+2)=f(2)=2 ﹣4=0. 故选:B. 点评: 本题考查分段函数以及测试赛的应用,函数值的求法,考查计算能力. 5. (5 分)已知函数 f(x)是偶函数,而且在上是减函数,且有最小值为 2,那么在上说法正确的是() A.增函数且有最小值为 2 B. 增函数且有最大值为 2 C. 减函数且有最小值为 2 D.减函数且有最大值为 2 考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由偶函数在关于 y 轴对称的区间上单调性相反及偶函数定义可选出正确答案. 解答: 解:∵偶函数 f(x)在区间上是减函数, ∴根据偶函数的性质知 f(x)在区间上是增函数, 又偶函数 f(x)在区间上有最小值,即 f(x)min=f(6)=2, 则 f(x)在区间上的最小值 f(x)min=f(﹣6)=﹣f(6)=﹣2, 故选:A. 点评: 本题考查函数的奇偶性与单调性间的关系,注意偶函数在关于 y 轴对称的区间上单调性相反,奇 函数在关于 y 轴对称的区间上单调性一致.

6. (5 分)函数 f( x)=

的图象大致为()

A.

B.

C.

D.

考点: 函数的图象;分段函数的应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 直接利用分段函数,判断函数的图象即可.

解答: 解:函数 f(x)=

,可知 x<0,函数是二次函数,开口向上,

x≥0 时,指数函数是减函数, 所以函数的图形为:C. 故选:C.

点评: 本题考查函数的图象以及分段函数的应用,考查基本知识的应用. 7. (5 分)设 f(x)=1nx+2x﹣6,用二分法求方程 lnx+2x﹣6=0 在区间(2,3)内近似解的过程中,得 f (2.5)<0,f(3)>0,f(2.75)>0,f(2.625)>0,则方程的根落在区间() A.(2.5,3) B.(2.5,2.75) C.(2.625,2.75) D.(2.5,2.625) 考点: 函数零点的判定定理. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 直接利用零点判定定理以及二分法求根的方法,判断即可. 解答: 解:连续函数在区间(a,b)上有零点,必有 f(a)f(b)<0. f(2.5)<0,f(3)> 0,f(2.75)>0,f(2.625)>0, 则方程的根落在区间: (2.5,2. 625) . 故选:D. 点评: 本题考查零点判定定理的应用.基本知识的考查.

8. (5 分)为了得到 y=cos(2x+ )函数的图象,只需将余弦函数曲线上所有的点() A.先向右平移 个长度单位, 再把横坐标扩大到原来的 2 倍,纵坐标不变 B. 先向左平移 个长度单位,再把横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变 C. 先向左平移 个长度单位,再把横坐标扩大到原来的 2 倍,纵坐标不变 D.先向右平移 个长度单位,再把横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由条件根据函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,可得结论. 解答: 解:将余弦函数曲线上所有的点先向左平移 个长度单位,可得函数 y=cos(x+ )的图象, 再把所得图象的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变,可得 y=cos(2x+ )函数的图象, 故选:B. 点评: 本题主要考查函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,属于基础题.

9. (5 分)已知| |=1,| |=6, ?( ﹣ )=2,则 与 的夹角是() A. B. C. D.

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 设 与 的夹角是 θ,则由题意可得 θ 的值. =6cosθ,再根据 ?( ﹣ )=2,求得 cosθ 的值,可得

解 答: 解:设 与 的夹角是 θ,则由题意可得 再根据 ?( ﹣ )= ﹣

=1×6×cosθ=6cosθ, ,

=6cosθ﹣1=2,∴cosθ= ,∴θ=

故选:C. 点评: 本题主要考查两个向量的数量积的定义,两个向量的数量积公式,属于基础题. 10. (5 分)定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x)=f(x+2) ,当 x∈时,f(x)=x﹣2,则() A.f(sin )<f(cos ) C. f(sin1)<f(cos1) B. f(sin )>f(cos )

D.f(sin )>f(cos )

考点: 奇偶性与单调性的综合;函数的周期性. 专题: 证明题;压轴题;探究型. 分析: 观察题设条件与选项.选项中的数都是(0,1)的数,故应找出函数在(0,1)上的单调性,用 单调性比较大小. 解答: 解:x∈时,f(x)=x﹣2,故偶函数 f(x)在上是增函数, 又定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x)=f(x+2) ,故函数的周期是 2 所以偶函数 f(x)在(﹣1,0)上是增函数, 所以 f(x)在(0,1)上是减函数, 观察四个选项 A 中 sin <cos ,故 A 不对; B 选项中 sin >cos ,故 B 不对;

C 选项中 sin1>cos1,故 C 对; D 亦不对. 综上,选项 C 是正确的. 故应选 C. 点评: 本题考查函数的周期性与函数的单调性比较大小,构思新颖,能开拓答题者的思维深度. 二、填空题(共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分) 11. (5 分)不等式( )
2x﹣7

>( )

4x﹣1

中的 x 取值范围为(﹣3,+∞) .

考点: 指、对数不等式的解法. 专题: 计算题;函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析: 运用指数函数的单调性,可得 2x﹣7<4x﹣1,运用一次函数的解法解得即可得到解集. 解答: 解:不等式( )
2x﹣7

>( )

4x﹣1

即为

2x﹣7<4x﹣1, 即 2x>﹣6, 解得 x>﹣3. 则解集为(﹣3,+∞) . 故答案为: (﹣3,+∞) . 点评: 本题考查指数不 等式的解法,考查指数函数的单调性的运用,考查运算能力,属于基础题.

12. (5 分)已知幂函数 f(x)过点(2,

) ,则 f(4)的值为 2.

考点: 幂函数的概念、解析式、定义域、值域. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 设幂函数 f(x)=x ,由 f(x)过点(2, a 解答: 解:设幂函数 f(x)=x , ∵f(x)过点(2, ) , ∴2 =
a a

) ,知 2 =

a

,由此能求出 f(4) .

,a= =2,

∴f(4)=4

故答案为:2. 点评: 本题考查函数值的求法,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答,注意幂函数的性质和应用. 13. (5 分)函数 y=log2(x ﹣2x)的单调递减区间是(﹣∞,0) . 考点: 复合函数的单调性. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由题意可得,本题即求当 t>0 时,函数 t 的减区间,再利用二次函数的性质可得结论. 2 解答: 解:令 t=x ﹣2x,则函数 y=log2t,本题即求当 t>0 时,函数 t 的减区间, 由 t>0,求得 x<0,或 x>2,即函数的定 义域为(﹣∞,0)∪(2,+∞) . 再利用二次函数的性质可得当 t>0 时,函数 t 的减区间为(﹣∞,0) , 故答案为: (﹣∞,0) . 点评: 本题主要考查复合函数的单调性,对数函数、二次函数的性质,体现了转化的数学思想,属于基 础题. )的最小正周期为 π,其单调递增区间为,k∈z.
2

14. (5 分)函数 y=2sin(2x﹣

考点: 三角函数的周期性及其求法;正弦函数的单调性. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由条件利用正弦函数的周期性和单调性,求得 f(x)的最小正周期以及单调递增区间. 解答: 解:函数 y=2sin(2x﹣ 令 2kπ﹣ ≤2x﹣ ≤2kπ+ )的最小正周期为 =π, ,

,k∈z,求得 kπ﹣

≤x≤kπ+

可得函数的增区间为,k∈z, 故答案为:π; ,k∈z. 点评: 本题主要考查正弦函数的周期性和单调性,属于基础题. 15. (5 分) 已知 D、 E、 F 分别是△ ABC 的边 BC、 CA、 AB 的中点, 且 ﹣ ,② = + ,③ =﹣ + ,④ + +

= ,

= ,

= , 则①

=

= 中正确的等式的个数为 3.

考点: 向量加减混合运算及其几何意义. 专题: 平面向量及应用. 分析: 画出图形,结合图形,利用平面向量加减运算的几何意义进行解答即可.

解答: 解:如图所示, 对于①, 对于②, 对于③, 对于④, = ( + = = + = ( = + + )= + + )= = + + + = + ,∴①错误;

,∴②正确; =﹣ + + ,∴③正确; )+ ( + )

= ( + + + +

= ( + +

)+ (

)= ,∴④正确;

综上,正确的等式个数是 3. 故答案为:3. 点评: 本题考查了平面向量的加减及数乘运算的应用问题,是基础题目. 三、解答题(共 6 小题,满分 75 分) 16. (12 分)化简下列各式: (1)4a b ÷(﹣ a b )? , (a,b 均为正数) ;

(2)



考点: 运用诱导公式化简求值;有理数指数幂的化简求值. 专题: 计算题;三角函数的求值. 分析: (1)根据指数运算和对数运算法则逐步化简即可求值; (2)运用诱导公式即可化简求值. 解答: 解: (1)4a b ÷(﹣ a b )? , (a,b 均为正数) ;

=﹣6a

b

?

=﹣6a.

(2)

= =﹣tanα 点评: 本题主要考查了指数运算和对数运算法则的应用,诱导公式的应用,属于基本知识的考查. 17. (12 分)如图,已知△ ABC,A(7,8) ,B(3,5) ,C(4,3) ,M,N,D 分别是 AB,AC,BC 的 中点,且 MN 与 AD 交于 F. (1)求: .

(2)求∠BAC 的余弦值.

考点: 平面向量数量积的运算;向量在几何中的应用. 专题: 平面向量及应用. 分析: (1)根据向量的坐标公式进行计算即可求: (2)利用数量积的应用即可求∠BAC 的余弦值. 解答: 解: (1)∵A(7,8) ,B(3,5) ,C(4,3) , ∴ =(﹣4,﹣3) , =(﹣3,﹣5) , .

∵D 是 BC 的中点, ∴ = ( + )=( ,﹣4) ,

∵M,N 分别是 AB,AC 的中点, ∴F 是 AD 的中点, ∴ (2)∵ =(﹣4,﹣3) , = =( ,2) . =(﹣3,﹣5) , = .

∴cos∠BAC=

点评: 本题主要考查平面向量的基本运算以及利用数量积求向量夹角问题,比较基础.

18. (12 分)已知函数 f(x)=x+ ,且 f(1)=2;

(1)判断 f(x)的奇偶性; (2)判断 f(x)在(1,+∞)上的增减性,并证明. 考点: 函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: (1)求出 f(x)的解析式,求出定义域,判断是否关于原点对称,计算 f(﹣x) ,与 f(x)比较, 即可得到奇偶性; (2)f(x)在(1,+∞)上递增,运用定义法证明,注意作差、变形和定符号、下结论几个步骤. 解答: 解: (1)f(x)=x+ ,且 f(1)=2, 则 1+m=2,解得 m=1, f(x)=x+ , 定义域为{x|x≠0,x∈R},关于原点对称, f(﹣x)=﹣x﹣ =﹣(x+ )=﹣f(x) , 则 f(x)为奇函数; (2)f(x)在(1,+∞)上递增, 理由如下:设 1<m<n,则 f(m)﹣f(n)=m+ ﹣(n+ )=(m﹣n)+ =(m﹣n)? 由于 1<m<n,则 m﹣n<0,mn>1,即 mn﹣1>0, 即有 f(m)﹣f(n)<0,即有 f(m)<f(n) . 则 f(x)在(1,+∞)上递增. 点评: 本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和证明, 考查定义法的运用, 考查运算能力, 属于基础题. 19. (12 分)某企业一天中不同时刻用电量 y(单位:万千瓦时)关于时间 t(0≤t≤24,单位:小时)的函 数 y=f(t)近似地满足 f(t)=Asin(ωt+φ)+B, (A>0,ω>0,0<φ<π) ,如图是该企业一天中在 0 点 到 12 点时间段用电量 y 与时间 t 的大致图象. (1)求这一天 0~12 时用电量的最大差; (2)写出这段曲线的函数解析式.

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 专题: 应用题;三角函数的图像与性质. 分析: (1)由图象可得用电量的最大差为 1 万千瓦时. (2)由图象可得 T=12, ,可求得 A,B,又函数 y=0.5sin( φ)+2 过点(0,2.5) ,又 0<φ

<π,从而解得 φ,即可求得这段曲线的函数解析式. 解答: 解: (1)由图象可得用电量的最大差为 1 万千瓦时.

(2)由图象可得 T=12,



∵A= ∴y=0.5sin( 又函数 y=0.5sin( 又∵0<φ<π, ∴φ= ,

= φ)+2,

= ,B=

=

=2,

φ)+2 过点(0,2.5) ,代入可解得:φ=2kπ



综上可得:A= , 即有:f(t)= sin(

,φ= +

,B= ,

)+2,

点评: 本题主要考查了由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,属于基本知识的考查.
2

20. (13 分)设 f(x)=a (1)f(x)=g(x) ; (2)f(x)>g(x) .

,g(x)=a ,其中 a>0,且 a≠1,确定 x 为何值时,有:

考点: 对数的运算性质. 专题: 计算题;分类讨论;函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析: (1)运用对数函数的单调性,解方程即可得到 x; (2)对 a 讨论,分 a>1,0<a<1,运用对数函数的单调性,解不等式,注意对数真数大于 0,即可得到 x 的范围. 解答: 解: (1)由 f(x)=g(x) ,则 即 log2x=2,解得 x=4. 则有 x=2 时,f(x)=g(x) ; (2)当 a>1 时,f(x)>g(x)即 则 log2x>2,解得 x>4; 当 0<a<1 时,f(x)>g(x)即 >a ,
2

=a ,

2

>a ,

2

则 log2x<2,解得 0<x<4. 综上可得,a>1 时, x>4 时,f(x)>g(x) ; 0<a<1 时,0<x<4 时,f(x)>g(x) . 点评: 本题考查对数方程和不等式的解法,考查对数函数的单调性的运用,考查分类讨论的思想方法, 考查运算能力,属于基础题和易错题. ,其中 θ∈(﹣

21. (14 分)已知

=(1,x) ,

=(x+2tanθ,y+1) ,且





) .

(1)将 y 表示为 x 的函数,并求出函数的表达式 y=f(x)

(2)若 y=f(x)在 x∈上为单调函数,求 θ 的取值范围; (3)当 θ∈时,y=f(x)在上的最小值为 g(θ) ,求 g(θ)的表达式. 考点: 平面向量数量积的运算;函数解析式的求解及常用方法;平面向量共线(平行)的坐标表示. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由向量平行坐标间的关系,得到 y 与 x 的关系式,然后解答本题. 解答: 解: (1)因为 =(1,x) ,
2

=(x+2tanθ,y+1) ,且



,其中 θ∈(﹣



) .

所以 y+1=x(x+2tanθ) ,即 y=x +2tanθx﹣1; 2 (2)由(1)可知,y=f(x)在 x∈上为单调函数,即 y=x +2tanθx﹣1 在 x∈上为单调函数; 所以﹣tanθ≥ 或者﹣tanθ≤﹣1,θ∈(﹣ , ) ,所以 θ∈( )或者 θ∈( ) .

(3)当 θ∈时,y=f(x)在上的最小值为 g(θ) ,则﹣tanθ∈( ) ,所以当对称轴 x=﹣tanθ<﹣ 2 1 时,函数 y=x +2tanθx﹣1 在 x∈上为单调增函数,所以最小值为 g(θ)=f(﹣1)=2tanθ;当 x=﹣tanθ∈ 2 时,g(θ)=f(﹣tanθ)=﹣tan θ﹣1,

所以 g(θ)=



点评: 本题考查了向量平行的坐标关系以及与函数的单调性结合的求参数范围以及解析式的问题,属于 中档题.


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