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高中数学选修(2-3)综合测试题(1)

高中数学选修(2-3)综合测试题(1)

高中数学选修(2-3)综合测试题(1) 一、选择题 1.已知 a ? ??1 2, ,b ? ?0,3 4?,R ? ?1 2? ,则方程 ( x ? a) ? ( y ? b) ? R 所表示的不同的圆的个 , 3? 1 , , ,
2 2 2

数有(

) B.3×4+2=14 C.(3+4)×2=14 D.3+4+2=9

A.3×4×2=24

2.乒乓球运动员 10 人,其中男女运动员各 5 人,从这 10 名运动员中选出 4 人进行男女混合双打比赛,选 法种数为( ) A. ( A5 ) A. C
3 n ?3
2 2

B. (C5 )
4

2 2

C. (C5 ) · A4
2 2

2

D. (C5 ) · A2
2 2

2

3. (1 ? x) ? (1 ? x) ? ? ? (1 ? x)
3

n?2

的展开式中 x 的系数是(
3 n?2

2

) )

B. C

3 n?2

C. C

?1

D. C

3 n ?3

?1

4.从标有 1,2,3,?,9 的 9 张纸片中任取 2 张,数字之积为偶数的概率为( A.12 B.718 C.1318 D.1118 下,第 2 次也摸到红球的概率为( A.35 B.25 ) D.59 )

5.在 10 个球中有 6 个红球和 4 个白球(各不相同) ,不放回地依次摸出 2 个球,在第一次摸出红球的条件 C.110

6.市场上供应的灯泡中,甲厂产品占 70%,乙厂产品占 30%,甲厂产品的合格率是 95%,乙厂产品的合格 率是 80%,则从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡的概率是( A.0.665 B.0.56 C.0.24 D.0.285
x2 ? ( x?R ) 8

7.正态总体的概率密度函数为 f ( x) ?

1 8π

e

,则总体的平均数和标准差分别为(



A.0,8 B.0,4 C.0,2 D.0,2 8.在一次试验中,测得 ( x,y) 的四组值分别是 A(1 2) B(2,,C(3 4) D(4, ,则 y 与 x 之间的回归 ,, 3) ,, 5) 直线方程为( A. ? ? x ? 1 y ) B. ? ? x ? 2 y C. ? ? 2 x ? 1 y D. ? ? x ? 1 y

9.用 0,1,2,3,4 这五个数字组成无重复数字的五位数,其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间 的五位数的个数是( ) A.48 B.36 C.28 D.20 10.若随机变量η 的分布列如下:

?
P
A.x≤2

?2
0.1 B.1≤x≤2

?1
0.2

0 0.2 ) C.1<x≤2

1 0.3

2 0.1 D.1<x<2

3 0.1

则当 P(? ? x) ? 0.8 时,实数 x 的取值范围是(

11. 春节期间, 国人发短信拜年已成为一种时尚, 若小李的 40 名同事中, 给其发短信拜年的概率为 1, 0.8, 0.5,0 的人数分别为 8,15,14,3(人) ,则通常情况下,小李应收到同事的拜年短信数为( A.27 B.37 C.38 D.8 12.已知ξ 的分布列如下: )

?
P
并且 ? ? 2? ? 3 ,则方差 D? ? ( A.

1

2

3

4

1 4
) C.

1 3

1 6

1 4

179 36

B.

143 36

299 72

D.

227 72

二、填空题 13.某仪表显示屏上一排有 7 个小孔,每个小孔可显示出 0 或 1,若每次显示其中三个孔,但相邻的两孔 第 1 页 共 4 页

不能同时显示,则这显示屏可以显示的不同信号的种数有 过其中每两点的直线中,有 影响,有下列结论: 对异面直线.

种.

14.空间有 6 个点,其中任何三点不共线,任何四点不共面,以其中的四点为顶点共可作出个四面体,经 15.某射手射击 1 次,击中目标的概率是 0.9,他连续射击 4 次,且各次射击是否击中目标相互之间没有 ①他第 3 次击中目标的概率是 0.9;②他恰好击中目标 3 次的概率是 0.93×0.1; ③他至少击中目标 1 次的概率是 1 ? (0.1) .
4

其中正确结论的序号是

(写出所有正确结论的序号) . .

16.两名狙击手在一次射击比赛中,狙击手甲得 1 分、2 分、3 分的概率分别为 0.4,0.1,0.5;狙击手乙 得 1 分、2 分、3 分的概率分别为 0.1,0.6,0.3,那么两名狙击手获胜希望大的是 三、解答题 17.有 4 个不同的球,四个不同的盒子,把球全部放入盒内. (1)共有多少种放法? (2)恰有一个盒子不放球,有多少种放法? (3)恰有一个盒内放 2 个球,有多少种放法?(4)恰有两个盒不放球,有多少种放法? 18.求 (1 ? x) (1 ? x) 的展开式中 x 的系数.
2 5

3

19.为了调查胃病是否与生活规律有关,某地 540 名 40 岁以上的人的调查结果如下: 患胃病 生活不规律 生活有规律 合计 60 20 80 未患胃病 260 200 460 合计 320 220 540

根据以上数据比较这两种情况,40 岁以上的人患胃病与生活规律有关吗? 20.一个医生已知某种病患者的痊愈率为 25%,为实验一种新药是否有效,把它给 10 个病人服用,且规定 若 10 个病人中至少有 4 个被治好,则认为这种药有效;反之,则认为无效,试求: (1)虽新药有效,且把 痊愈率提高到 35%,但通过实验被否认的概率; (2)新药完全无效,但通过实验被认为有效的概率. 21 . A B 两个代 表队 进行 乒乓 球 对抗赛 ,每 队三 名队 员, A 队 队员是 A,A2,A3 , B 队队员是 , 1

B1,B2, B3 ,按以往多次比赛的统计,对阵队员之间的胜负概率如下:
对阵队员

A 队队员胜的概率
2 3 2 5 2 5
(2)求 E? , E? .

A 队队员负的概率
1 3 3 5 3 5

A1 对 B1 A2 对 B2 A3 对 B3
(1)求 ?,? 的概率分布列;
m x

现按表中对阵方式出场,每场胜队得 1 分,负队得 0 分,设 A 队,B 队最后所得总分分别为 ?,? . 22.规定 A ? x( x ? 1)?( x ? m ? 1) ,其中 x ? R ,m 为正整数,且 Ax ? 1 ,这是排列数 An
0 m

(n,m 是正

整数,且 m≤n)的一种推广. (1)求 A?15 的值; (2)排列数的两个性质:① An ? nAn ?1 ,② An ? mAn
m m m ?1 m ?1 m ? An ?1 (其中 m,n 是正整数).是否都能推广

3

到 Ax ( x ? R ,m 是正整数)的情形?若能推广,写出推广的形式并给予证明;若不能,则说明理由; (3)
m

确定函数 Ax 的单调区间.

3

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高中数学选修(2-3)综合测试题(1)答案

ADDCD ADACC AA 13. 80 14.15 15.①③ 16.乙 17.解: (1)一个球一个球地放到盒子里去,每只球都可有 4 种独立的放法,由分步乘法计 数原理,放法共有: 44 ? 256 种. (2)为保证“恰有一个盒子不放球” ,先从四个盒子中任意拿出去 1 个,即将 4 个球分成 2, 2 1,1 的三组,有 C4 种分法;然后再从三个盒子中选一个放两个球,其余两个球,两个盒子,
1 全排列即可.由分步乘法计数原理,共有放法: C4 C4· C3 A2 ? 144 种. · 2 1 2 · (3) “恰有一个盒内放 2 个球” ,即另外三个盒子中恰有一个空盒.因此, “恰有一个盒内放 2 球”与“恰有一个盒子不放球”是一回事.故也有 144 种放法. (4)先从四个盒子中任意拿走两个有 C42 种,问题转化为: “4 个球,两个盒子,每盒必放 球,有几种放法?”从放球数目看,可分为(3,1)(2,2)两类.第一类:可从 4 个球中 , 3 1 先选 3 个,然后放入指定的一个盒子中即可,有 C4· C2 种放法;第二类:有 C42 种放法.因此 3 1 3 共有 C4· C2 ? C4 ? 14 种.由分步乘法计数原理得 “恰有两个盒子不放球” 的放法有: 4· 14 ? 84 C2 种. r 18.解:利用通项公式,因 (1 ? x)2 的通项公式为 Tr ?1 ? C2· x r ,

1 , 1 3, 5? , 其中 r ??0,2?,k ??0,2,4, ,令 k ? r ? 3 ,
, ?k ? 2, ?k ? 3, ?k ? 1 则? 或? 或? , ?r ? 0. ?r ? 2, ?r ? 1 1 1 3 故 x 3 的系数为 ?C5 ? C2 C52 ? C5 ? 5 · 19.解:由公式得

(1 ? x)5 的通项公式为 Tk ?1 ? (?1)k C5k· xk ,

540 ? (60 ? 200 ? 260 ? 20)2 320 ? 220 ? 80 ? 460 540 ? (12000 ? 5200)2 2496960 ? ? ? 9.638 . 2590720000 259072 ∵9.638 ? 7.879 , ∴ 我们有 99.5%的把握认为 40 岁以上的人患胃病与生活是否有规律有关,即生活不规律的 人易患胃病. 20.解:记一个病人服用该药痊愈率为事件 A,且其概率为 p,那么 10 个病人服用该药相当 于 10 次独立重复实验. (1) 因新药有效且 p=0.35, 故由 n 次独立重复试验中事件 A 发生 k 次的概率公式知, 实验被 否定(即新药无效)的概率为: 0 1 2 3 P (0) ? P (1) ? P (2) ? P (3) ? C10 p0 (1 ? p)10 ? C10 p1 (1 ? p)9 ? C10 p 2 (1 ? p) x ? C10 p3 (1 ? p)7 ? 0.514 10 10 10 10 (2)因新药无效,故 p=0.25,实验被认为有效的概率为: P (4) ? P (5) ? ? ? P (10) ? 1 ? ( P (0) ? P (1) ? P (2) ? P (3)) ? 0.224 . 10 10 10 10 10 10 10 k?

即新药有效,但被否定的概率约为 0.514; 新药无效,但被认为有效的概率约为 0.224. (1) ?,? 的可能取值分别为 3,2,1,0. 21.解:
2 2 2 8 2 2 3 1 2 2 2 3 2 28 ; P(? ? 2) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ; P(? ? 3) ? ? ? ? 3 5 5 75 3 5 5 3 5 5 3 5 5 75 2 3 3 1 2 3 1 3 2 2 P(? ? 1) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ; 3 5 5 3 5 5 3 5 5 5 1 3 3 3 . P(? ? 0) ? ? ? ? 3 5 5 25 由题意知 ? ? ? ? 3 ,
第 3 页 共 4 页

所以 P(? ? 0) ? P(? ? 3) ?

8 28 ; P(? ? 1) ? P(? ? 2) ? ; 75 75 2 3 . P(? ? 2) ? P(? ? 1) ? ; P(? ? 3) ? P(? ? 0) ? 5 25 ? 的分布列为 ? 3 2 1

P

8 75

28 75

2 5

0 3 25

? 的分布列为
0 1 8 28 P 75 75 8 28 2 3 22 (2) E? ? 3 ? ? 2 ? ? 1? ? 0 ? ? , 75 75 5 25 15 23 因为 ? ? ? ? 3 ,所以 E? ? 3 ? E? ? . 15 3 (1) A?15 ? (?15) ? (?16) ? (?17) ? ?4080 ; 22.解: (2)性质①、②均可推广,推广的形式分别是 m m ① Ax ? xAx ??1 , 1
m m m ② Ax ? mAx ?1 ? Ax ?1 ( x ? R,m ? N? ) .

?

2 2 5

3 3 25

事实上,在①中,当 m ? 1时,左边 ? A1 ? x , x
0 右边 ? xAx ?1 ? x ,等式成立;

0 在②中,当 m ? 1时,左边 ? A1 ? Ax ? x ? 1 ? A1?1 ? 右边,等式成立; x x

当 m ≥ 2 时,左边 ? x( x ? 1)( x ? 2)?( x ? m ? 1) ? mx( x ? 1)( x ? 2)?( x ? m ? 2) ? x( x ? 1)( x ? 2)?( x ? m ? 2)[( x ? m ? 1) ? m]
m ? ( x ? 1) x( x ? 1)( x ? 2)?[( x ? 1) ? m ? 1] ? Ax ?1 ? 右边,

m m m 因此② Ax ? mAx ?1 ? Ax ?1 ( x ? R,m ? N? ) 成立. 3 (3)先求导数,得 ( Ax )? ? 3x 2 ? 6 x ? 2 .

令 3x2 ? 6 x ? 2 ? 0 ,解得 x ?

3? 3 3? 3 或x? . 3 3

? 3? 3 ? 因此,当 x ? ? ?∞, ? 时,函数为增函数, ? 3 ? ? ? ?3? 3 ? ? ? 当 x ?? ? 3 , ∞? 时,函数也为增函数, ? ?

3? 3 3? 3 , ≤x≤ 3 3 ?3 ? 3 3 ? 3 ? , 因此,当 x ? ? ? 时,函数为减函数, 3 ? ? 3 ? ? ?3 ? 3 3 ? 3 ? 3? 3 ? ?3? 3 3 ? ? ∴ 函数 Ax 的增区间为 ? ?∞, ? ,? ? ? ? 3 , ∞? ;减区间为 ? 3 , 3 ? 3 ? ? ? ? ? ?

令 3x2 ? 6 x ? 2 ≤ 0 ,解得

第 4 页 共 4 页


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