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2019年31函数的单调性与极值课件4北师大选修2-284625.ppt_图文

2019年31函数的单调性与极值课件4北师大选修2-284625.ppt_图文

欢迎各位老师同学走进数学课堂

3 2 引例 已知函数y=2x -6x +7,求证:

这个函数在区间(0,2)上是单调递 增的. 用定义法判断函数单调性的步骤:
(1)在给定取值范围内任取x1<x2

( 2 ) 作差f(x1)-f(x2)
(3)变形 (4)判断符号

(5)下结论

引入: 函数单调性体现出了函数值 y随自变量x的变化而变化的情况, 而导数是函数值的瞬时变化率, 刻画了函数变化的趋势. 于是我们设想一下能否利用 导数来研究单调性呢?

导数是处理函数单调性问题的金钥匙

观察图像1 y=f(x) =2x+5

3

y=f(x)=-3x+4
y = f(x ) = x

2.5

函数的导数的正负与函数的递 增或递减有什么关系呢?
1.5

2

f(x) =x, f’(x) =1

1

f(x) =2x+5, f’ (x) =2 f(x)=-3x+4, f ’(x) =-3
0.5 -2 -1 1 2

观察图像2

?1? f ( x) ? ? ? ?3?

x
2.2 2 1.8

f ( x) ? 3

x

1.6

指数函数的导数的正负与函数 的递增或递减有同样的关系呢?
1.2 1 0.8

1.4

f ?( x) ? 0
-2 -1.5 -1 -0.5

0.6

0.4

0.2

f ?( x) ? 0
0.5 1 1.5 2

-0.2

观察图像3

2.5

1 f ?( x) ? ?0 x ln 2
2 1.5 1 0.5 -2

f ( x) ? log 2 x
1 2 3 4

对数函数的导数的正负与函数 的递增或递减有同样的关系吗?

f ?( x) ?

1

-1

1 x ln 2

?0
-0.5 -1 -1.5

f ( x) ? log 1 x
2

-2

抽象概括
一般地,函数 y=f(x)在某个区间内

1) 如果恒有f′ (x)>0,那么y=f(x)在这 个区间内单调递增;
2) 如果恒有f ′ (x)<0,那么y=f(x)在这 个区间内单调递减。

如果在某个区间内恒有 f ?( x) ? 0 , 则 f ( x)为常数.

发散思维
试结合函数 y=f(x)=x3进行思考 如果函数y=f(x)在这个区间内单 调递增,那么恒有f ’(x)>0吗? 试结合函数
3 y=f(x)=-x 进行思考

如果函数y=f(x)在这个区间内 单调递减,那么恒有f ’(x)<0吗?

理解训练:

学以致用
2

求函数y ? 3 x ? 3 x的递增区间与递减区间.

解 : y ' ? 6x ? 3
1 1 令y ' ? 0得x ? , 令y ' ? 0得x ? 2 2

?1 ? ? y ? 3 x ? 3 x的单调递增区间? , ? ? ? ?2 ? 1 单调递减区间是( ??, ) 2
2

变1:求函数 y ? 3 x ? 3 x 的单调区间
3 2

理解训练:

y ' ? 9 x ? 6 x ? 3 x(3 x ? 2) 2 令y ' ? 0得x ? 或x ? 0 3 2 令y ' ? 0得0 ? x ? 3 2 3 2 ? y ? 3 x ? 3 x 的单调递增区间为 ( ??,0),( , ?? )

解:

2

单调递减区间为 (0, 2 )

3

3

利用导数判断函数单调性的基本步骤:
(1)确定定义域; (2)求f ?(x);

(3)在f(x)的定义域内解不等式f ?(x)>0 和f ?(x)<0; (4)确定函数f(x)的单调区间。
注意:单调区间不 以“并集”出现。

巩固提高:

变2:求函数 y ? 3e 区间。
解:

x

? 3 x 的单调
? x?0

y ' ? 3e ? 3
x

令y ' ? 0得e ? 1 ? e
x
x

0

令y ' ? 0得e ? 1 ? e ? x ? 0
0

? y ? 3e ? 3 x的单调递增区间为(0, ??) 单调递减区间为(??,0)
x

拓展提高
例4: 确定下列函数的单调区间:

1 1 x ?1 ? . 解:函数的定义域是(-1,+∞), f ?( x ) ? ? 2 1 ? x 2(1 ? x )

x (1) f ( x ) ? ? ln(1 ? x ) ? 1 2
x ?1 ? 0,得x<-1或x>1. 2(1 ? x )

由 f ?( x ) ? 0 即

注意到函数的定义域是(-1,+∞),故f (x)的递增区 间是(1,+∞); 由 f ?( x ) ? 0 解得-1<x<1,故f (x)的递减区间是(-1,1).

拓展提高

x (2) f ( x ) ? ? sin x 1 2 解:(1)函数的定义域是R, f ?( x ) ? ? cos x .

例4: 确定下列函数的单调区间:

2 1 2? 2? 令 ? cos x ? 0 ,解得 2k? ? ? x ? 2k? ? (k ? Z ). 3 3 2

1 2? 4? ? cos x ? 0 2 k ? ? ? x ? 2 k ? ? ( k ? Z ). 令 ,解得 2 3 3
2? 2? 因此, f(x)的递增区间是:(2k? ? ,2k? ? )(k ? Z ); 3 3 2? 4? 递减区间是: (2k? ? 3 ,2k? ? 3 )(k ? Z ).

谈谈你的收获
小结:根据导数确定函数的单调性 1.确定函数f(x)的定义域. 2.求出函数的导数. 3.解不等式f ′ (x)>0,得函数单增区间; 解不等式f ′ (x)<0,得函数单减区间.

课下巩固作业:

P62 习题3-1 A组1(2)(3)(4)

2.


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