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11-12学年高二数学:第一章导数及其应用章末归纳总结课件(人教A版选修2-2)_图文

11-12学年高二数学:第一章导数及其应用章末归纳总结课件(人教A版选修2-2)_图文

第一章 导数及其应用

1.导数的概念 对于函数 y=f(x),如果自变量 x 在 x0 处有增量 Δx, Δy 那么函数 y 相应地有增量 Δy=f(x0+Δx)-f(x0), 比值Δx就 Δy 叫做函数 y=f(x)从 x0 到 x0+Δx 的平均变化率,即 = Δx f(x0+Δx)-f(x0) Δy .如果当 Δx→0 时,Δx有极限,我们就说 y Δx =f(x)在点 x0 处可导,并把这个极限叫做 f(x)在点 x0 处的 f(x0+Δx)-f(x0) Δy 导数, 即 y′|x=x0=f′(x0)=Δ lim lim . x→0 Δx=Δ x→0 Δx

函数 y=f(x)的导函数 f′(x),就是当 Δx→0 时,函数的 Δy 增量 Δy 与自变量的增量 Δx 之间的比值 的极限, 即 f′(x) Δx f(x+Δx)-f(x) Δy =Δ lim lim . x→0 Δx=Δ x→0 Δx

? 2.导数的意义 ? (1) 几何意义:函数 y = f(x) 在点 x0 处的导数 f′(x0) 就是曲线 y = f(x) 在点 P(x0 , f(x0)) 处的 切线的斜率k,即k=f′(x0). ? (2) 物理意义:函数 s = s(t) 在点 t 处的导数 s′(t),就是当物体的运动方程为s=s(t)时, 运动物体在时刻 t 时的瞬时速度 v ,即 v = s′(t).而函数v=v(t)在t处的导数v′(t),就是 运动物体在时刻t时的瞬时加速度a,即a= v′(t).

? 3.利用导数的几何意义求切线方程 ? 利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清 所给的点是不是切点,常见的类型有两种,一 是求“在某点处的切线方程”则此点一定为切 点,先求导,再求斜率代入直线方程即可得; 另一类是求“过某点的切线方程”,这种类型 中的点不一定是切点,可先设切点为Q(x1,y1), 则切线方程为 y - y1 = f′(x1)(x - x1) ,再由切线过 点P(x0,y0)得 ? y0-y1=f′(x1)(x0-x1) ① ? 又y1=f(x1) ② ? 由①②求出x1,y1的值. ? 即求出了过点P(x0,y0)的切线方程.

[例 1]

f(1)-f(1-x) 设 f(x)为可导函数, 且满足条件lim x→0 2x

=-1,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率.

? [分析] 根据导数的几何意义可知,欲求y =f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率,即求 f′(1),即可得所求斜率.

[解析]

f(1)-f(1-x) ∵f(x)为可导函数,且lim =-1, x →0 2x

f(1)-f(1-x) 1 1 ∴2lim =-1,即2f′(1)=-1, x→0 x ∴f′(1)=-2. 因此 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为-2.

? [ 例 2] 已知函数 f(x) = ax3 + 3x2 - 6ax - 11 , g(x) =3x2+6x+12,直线m:y=kx+9,又f′(-1)=0. ? (1)求a的值; ? (2) 是否存在实数 k ,使直线 m 既是曲线 y = f(x) 的 切线,又是 y= g(x)的切线?如果存在,求出 k的 值;如果不存在,请说明理由. ? [分析 ] 直线y=kx+9 过定点(0,9) ,可先求出过 点(0,9)与y=g(x)相切的直线方程,再考查所求直 线是否也是曲线y=f(x)的切线.

[解析]

(1)因为 f′(x)=3ax2+6x-6a, 且 f′(-1)=0,

∴3a-6-6a=0,∴a=-2. (2)因为直线 m 过定点(0,9), 先求过点(0,9)与曲线 y=g(x) 相切的直线方程. 设切点为(x0,3x2 0+6x0+12),又 g′(x0)=6x0+6, ∴切线方程为 y-(3x2 0+6x0+12)=(6x0+6)(x-x0),将
2 点(0,9)代入得 9-3x2 0-6x0-12=-6x0-6x0, 2 ∴3x0 -3=0,∴x0=± 1,

当 x0=1 时,g′(1)=12,切点坐标为(1,21), 所以切线方程为 y=12x+9; 当 x0=-1 时,g′(-1)=0,切点坐标为(-1,9), 所以切线方程为 y=9. 下面求曲线 y=f(x)的斜率为 12 和 0 的切线方程: ∵f(x)=-2x3+3x2+12x-11, f′(x)=-6x2+6x+12. 由 f′(x)=12,得-6x2+6x+12=12, ∴x=0,或 x=1.

? 当 x = 0 时, f(0) =- 11 ,此时切线方程为 y = 12x -11; ? 当x=1时,f(1)=2,此时切线方程为y=12x-10. ? 所以y=12x+9不是公切线. ? 由f′(x)=0,得-6x2+6x+12=0, ? 即有x=-1,或x=2. ? 当x=-1时,f(-1)=-18,此时切线方程为y= -18; ? 当x=2时,f(2)=9,此时切线方程为y=9. ? 所以y=9是公切线. ? 综上所述,当k=0时,y=9是两曲线的公切线.

? 1. 利用导数研究函数的单调区间是导数的 主要应用之一,其步骤为: ? (1)求导数f′(x); ? (2)解不等式f′(x)>0或f′(x)<0; ? (3) 确定并指出函数的单调增区间、减区 间. ? 特别要注意写单调区间时,区间之间用 “和”或“,”隔开,绝对不能用“∪” 连接.

? 2.如果函数y=f(x)在区间(a,b)的导数 f′(x)>0总成立,则该函数在(a,b)上单调递 增;f′(x)<0总成立,则该函数在(a,b)上单 调递减,求函数的单调区间转化为解不等 式f′(x)>0或f′(x)<0.

[例 3] -1(a∈R).

1-a (2010· 山东文, 21)已知函数 f(x)=lnx-ax+ x

(1)当 a=-1 时,求曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线 方程; 1 (2)当 a≤2时,讨论 f(x)的单调性.

? [分析] 本题考查了导数的概念、导数的应用以 及函数与方程的关系问题.考查了学生对导数 的理解运算能力,运用导数分析研究函数的能 力,体现了分类讨论思想,数形结合思想,等 价变换思想,函数与方程的思想.
[解析] +∞). x2+x-2 f′(x)= x2 ,x∈(0,+∞), 因此 f′(2)=1, 即曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为 1. 2 (1)a=-1 时,f(x)=lnx+x+ x-1,x∈(0,

又 f(2)=ln2+2, 所以 y=f(x)在(2,f(2))处的切线方程应为 y-(ln2+ 2)=x-2,即 x-y+ln2=0. 1-a (2)因为 f(x)=lnx-ax+ -1, x a-1 ax2-x+1-a 1 所以 f′(x)= x-a+ x2 =- x∈(0, x2 +∞).

令 g(x)=ax2-x+1-a,x∈(0,+∞) ①当 a=0 时,g(x)=1-x,x∈(0,+∞), 有 x∈(0,1),g(x)>0,f′(x)<0,f(x)递减; 当 x∈(1,+∞)时,g(x)<0,此时 f′(x)>0,f(x)递 增; 1 ②当 a≠0 时,f′(x)=a(x-1)[x-(a-1)], 1 (ⅰ)当 a= 时, g(x)≥0 恒成立, f′(x)≤0, f(x)在(0, 2 +∞)上递减;

1 1 (ⅱ)当 0<a<2时,a-1>1>0, x∈(0,1)时,g(x)>0,此时 f′(x)<0,f(x)递减; 1 x∈(1, -1)时,g(x)<0,此时 f′(x)>0,f(x)递增; a 1 x∈(a-1,+∞)时,g(x)>0,此时 f′(x)<0,f(x) 递减;

1 ③当 a<0 时,由a-1<0, x∈(0,1)时,g(x)>0,有 f′(x)<0,f(x)递减 x∈(1,+∞)时,g(x)<0,有 f′(x)>0,f(x)递增. 综上所述: 当 a≤0 时,函数 f(x)在(0,1)上递减,(1,+∞)上递增; 1 当 a=2时,f(x)在(0,+∞)上递减; 1 1 当 0<a<2时,f(x)在(0,1)上递减,在(1,a-1)上递增, 1 在( -1,+∞)上递减. a

注:分类讨论时要做到不重不漏,层次清楚.

? 利用导数研究函数的极值和最值是导数的另一 主要应用. ? 1.应用导数求函数极值的一般步骤: ? (1)确定函数f(x)的定义域; ? (2)解方程f′(x)=0的根; ? (3)检验f′(x)=0的根的两侧f′(x)的符号. ? 若左正右负,则f(x)在此根处取得极大值; ? 若左负右正,则f(x)在此根处取得极小值. ? 否则,此根不是f(x)的极值点.

? 2.求函数f(x)在闭区间[a,b]上的最大值、最小 值的方法与步骤: ? (1)求f(x)在(a,b)内的极值; ? (2) 将 (1) 求得的极值与 f(a) 、 f(b) 相比较,其中最 大的一个值为最大值,最小的一个值为最小 值. ? 特别地,①当 f(x) 在 [a , b] 上单调时,其最小值、 最大值在区间端点取得;②当 f(x) 在 (a , b) 内只 有一个极值点时,若在这一点处f(x)有极大(或极 小 ) 值,则可以断定 f(x) 在该点处取得最大 ( 或最 小)值,这里(a,b)也可以是(-∞,+∞).

? [ 例 4] 已知函数 f(x) = ax3+ bx2+ cx 在点 x0 处取得极小值- 4 ,使其导函数 f′(x)>0 的 x 的取值范围为(1,3). ? (1)求f(x)的解析式及f(x)的极大值; ? (2) 当 x∈[2,3] 时,求 g(x) = f′(x) + 6(m - 2)x 的最大值.

? ? ? ? ? ?

[解析] (1)由题意知f′(x)=3ax2+2bx+c =3a(x-1)(x-3)(a<0), ∴在(-∞,1)上f′(x)<0,f(x)是减函数, 在(1,3)上f′(x)>0,f(x)是增函数, 在(3,+∞)上f′(x)<0,f(x)是减函数. 因此f(x)在x0=1处取极小值-4,在x=3处 取得极大值.

?a+b+c=-4 ? ∴?f′(1)=3a+2b+c=0 ?f′(3)=27a+6b+c=0 ?



解得 a=-1,b=6,c=-9, ∴f(x)=-x3+6x2-9x. 则 f(x)在 x=3 处取得极大值 f(3)=0.

? ? ? ? ? ?

(2)g(x)=-3(x-1)(x-3)+6(m-2)x =-3(x2-2mx+3), g′(x)=-6x+6m=0,得x=m. ①当2≤m≤3时,g(x)max=g(m)=3m2-9; ②当m<2时,g(x)在[2,3]上是递减的, g(x)max=g(2)=12m-21;

③当 m>3 时,g(x)在[2,3]上是递增的, g(x)max=g(3)=18m-36. ?12m-21 (m<2) ? 2 因此 g(x)max=?3m -9 (2≤m≤3) ?18m-36 (m>3) ?

.

? 已知函数的单调性求参数的取值范围时, 可以有两种方法,一是利用函数单调性的 定义,二是利用导数法,利用导数法更为 简捷.在解决问题的过程中主要处理好等 号的问题,因为f′(x)>0(或f′(x)<0)仅是一个 函数在某区间上递增(或递减)的充分不必 要条件,而其充要条件是:f′(x)≥0或 (f′(x)≤0),且f′(x)不恒为零.利用导数法解 决取值范围问题时可以有两个基本思路:

? 一是将问题转化为不等式在某区间上的恒 成立问题,即f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立,用分 离参数或函数性质求解参数范围,然后检 验参数取“=”时是否满足题意;另一思 路是先令f′(x)>0(或f′(x)<0),求出参数的取 值范围后,再令参数取“=”,看此时f(x) 是否满足题意.

? [例5] 设函数f(x)=2x3+3ax2+3bx+8c在 x=1及x=2时取得极值. ? (1)求a、b的值; ? (2)若对于任意的x∈[0,3],都有f(x)<c2成立, 求c的取值范围.
[解析] (1)f′(x)=6x2+6ax+3b. 因为函数 f(x)在 x=1 及 x=2 取得极值, 所以 f′(1)=0,f′(2)=0,
? ?6+6a+3b=0 即? ? ?24+12a+3b=0

,解得 a=-3,b=4.

(2)由(1)可知,f(x)=2x3-9x2+12x+8c, f′(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2). 当x∈(0,1)时,f′(x)>0; 当x∈(1,2)时,f′(x)<0; 当x∈(2,3)时,f′(x)>0. 所以当x=1时,f(x)取极大值,f(1)=5+8c. 又 f(0) = 8c , f(3) = 9 + 8c ,则当 x∈[0,3] 时, f(x) 的最大值为f(3)=9+8c. ? 因为对于任意的x∈[0,3],有f(x)<c2恒成立, ? 所以9+8c<c2,解得c<-1或c>9. ? 因此c的取值范围是(-∞,-1)∪(9,+∞). ? ? ? ? ? ? ?

? 利用导数求函数的极大(小)值,求函数在区间[a, b]上的最大(小)值或利用求导法解决一些实际问 题是函数内容的继续与延伸,这种解决问题的 方法使复杂的问题简单化,因而已逐渐成为高 考的又一新热点. ? 1 .利用导数求实际问题的最大 ( 小 ) 值的一般方 法: ? (1) 细致分析实际问题中各个量之间的关系,正 确设定所求最大或最小值的变量y与自变量x,把 实际问题转化为数学问题,即列出函数关系 y= f(x),根据实际问题确定y=f(x)的定义域.

? (2)求f′(x),令f′(x)=0,得出所有实数的解. ? (3) 比较导函数在各个根和区间端点处的函数值 的大小,根据实际问题的意义确定函数的最大 值或最小值. ? 2 .利用导数求实际问题的最大 ( 小 ) 值时,应注 意的问题: ? (1)求实际问题的最大(小)值时,一定要从问题的 实际意义去考查,不符合实际意义的值应舍 去. ? (2) 在实际问题中,由 f′(x) = 0 常常仅解到一个根, 若能判断函数的最大 ( 小 ) 值在 x 的变化区间内部 得到,则这个根处的函数值就是所求的最大(小) 值.

? [例6] 某分公司经销某种品牌产品,每件 产品的成本为 3 元,并且每件产品需向总 公司交 a 元 (3≤a≤5) 的管理费,预计当每件 产品的售价为x元(9≤x≤11)时,一年的销售 量为(12-x)2万件. ? (1) 求分公司一年的利润 L( 万元 ) 与每件产 品的售价x(元)的函数关系式; ? (2)当每件产品的售价为多少元时,分公司 一年的利润最大,并求出L的最大值 Q (a ).

[解析]

(1)分公司一年的利润 L(万元)与售价 x(元)的

函数关系式为: L=(x-3-a)(12-x)2,x∈[9,11]. (2)L′(x)=(12 -x)2 -2(x- 3- a)(12- x)= (12 -x)(18 +2a-3x). 2 令 L′(x)=0 得 x1=6+ a 或 x2=12(不合题意, 舍去). 3 2 28 ∵3≤a≤5,∴8≤6+ a≤ . 3 3 2 在 x=6+ a 两侧 L′(x)的值由正变负,故 3

2 9 ①当 8≤6+ a<9,即 3≤a< 时, 3 2 Lmax=L(9)=(9-3-a)(12-9)2=9(6-a). 2 28 9 ②当 9≤6+3a≤ 3 ,即2≤a≤5 时,
? 2 ? Lmax=L?6+3a? ? ? ? ?? ? 2 2 ?? 2 ? 1 ?3 =?6+3a-3-a??12-?6+3a?? =4?3-3a? . ? ?? ? ?? ? ?

9 ? ?9(6-a),3≤a<2, ∴Q(a)=? ? ? ?4?3-1a?3,9≤a≤5. 3 ? 2 ? ?

9 答:若 3≤a< 时,则当每件售价为 9 元时,分公司 2 9 一年的利润 L 最大,最大值 Q(a)=9(6-a)(万元);若2
? 2 ? ≤a≤5,则当每件售价为?6+3a?元时,分公司一年的利润 ? ?

L 最大,最大值

? 1 ?3 Q(a)=4?3-3a? (万元). ? ?

? 利用定积分求曲边梯形的面积、变力做功 等问题,要注意用定积分求曲边梯形的面 积的步骤: ? (1)画出图形; ? (2)解方程组确定积分区间; ? (3)根据图形的特点确定积分函数; ? (4)求定积分.

[例 7]

1 设函数 f(x)=ax2+c(a≠0),若? ? f(x)dx =f(x0), ?
?

0

0≤x0≤1,则 x0 的值为____________.

? [分析] 本题考查定积分知识.
[答案] 3 3

[解析]

由 f(x)dx= (ax

?1 ? ? ?0

?1 ? ? ?0

2

?1 ? 3 +c)dx=?3ax +cx?|1 0 ? ?

1 =3a+c=f(x0)=ax2 0+c (a≠0), 1 2 ∴x0= ,又∵0≤x0≤1,∴x0= 3 3 3.

? [例8] 计算由y2=x,y=x2围成的图形的面 积.
[解析]
2 ? ?y =x 程组? 2 ? ?y=x

为确定图形的范围,先求两曲线的交点,解方

得出交点的横坐标为 x=0 及 x=1.
1 ?1 2 因此所求图形的面积 S=? ? x d x - ? x dx ? ?
?0 ?0

对于

?1 ? ? ?

0

2 3 xdx,取 F1(x)=3x2,
2

1 3 对于 x dx,取 F2(x)= x . 3
?1 ? ? ?0

则 S=[F1(1)-F1(0)]-[F2(1)-F2(0)]
?2 ? ?1 ? 1 =?3-0?-?3-0?=3. ? ? ? ?

1 ∴所求图形面积为3.


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