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数理统计试题库

数理统计试题库

西北农林科技大学本科课程考试试卷
一、 填空题(每小题 2 分,共 20 分) 1、设 A ? B ? A B ? A B ,并称之为 A , B 的对称差。已知 P ( A ? B ) ? q , P ( A B ) ? r ,则
P ( A? B ) ? (

)。
X ? ?

2、设 X 为随机变量,且 E ( X ) ? ? , D ( X ) ? ? 2 存在,令 Y ?
D (Y ) ?

?

,则 E (Y ) ? (

);



)。 )。 ) 。

3、设 X 的概率密度 f ( x ) 为偶函数,令 Z ? X 3 ,则 E ( Z ) ? ( 4、设 X ~ P { ? }, 其中 ? ? 3 . 5 ; 则 X ? (

)值的概率最大,其概率的最大值为(
1 1? x
2

5、设随机变量 X 的分布函数在某区间可表为 数的完整形式( 6、设二维随机变量 ( X , Y ) 的概率密度函数为
?e ? y f ( x, y ) ? ? ? 0 0 ? x ? y 其它

,其余部分为常量,写出其分布函

) 。

则 ( X , Y ) 关于 Y 的边际分布密度函数是(

) 。 ) 。
0 0 .4 1 0 .2 3 ? ? 0 .1 ? ?

7、若 D ( X ) D (Y ) ? 1, X , Y 的相关系数 ? xy ? 0 . 5 , 则 D ( 2 X ? Y ) =( 8、设离散型随机变量 X 的概率分布是 ? ? P { X ? x } 0 .2 i ?
P{ X
2

?

X ? xi

?2

?1 0 .1

;则

? 1} ?



) 。

9、参数估计中,所制定的估计量优良性评价的标准,一般常用的有 ( ) 。 10、变量 x 和 y 满足函数回归关系 y ? a x b ,通过变换 y ? ? ( ) 和 x? ? ( )

可转化为线性回归来估计参数。 二、 单选题(在每小题的备选答案中,选出一个正确的答案。每小题 2 分,共 20 分) 1、设 A , B , C 相互独立,下面结论不成立的是( ).

A、 C 与 A ? B 独立; B、 C 与 A B 独立; C、 C 与 A B 独立; D、 C 与 A B C 独立. 2、设 A , B , C 是三个事件,且 P ( A ) ? P ( B ) ? P ( C ) ?
1 4

,P ( AB ) ? P ( BC ) ? 0 ,P ( A C ) ?

1 8



1

则 P(A ? B ? C ) ? ( A、7/8;

). B、3/4;
1 2

C、5/8; ,令 X ? ?
?1 ?0

D、1/8。
A 发生 A 不发生

3、设 A , B 相互独立,且 P ( A ) ? P ( B ) ? 则 Cov ( X , Y ) ? ( A、0; 4、设数列 p k ? ( A、1/3;
a k ( k ? 1)

,Y ? ?

?1 ?0

B 发生 B 不发生



)。 B、1/4;
, ( k ? 1, 2 , ? )

C、1/2;

D、3/4。

为离散型随机变量的概率函数,则常数 a 的取值是

) 。 B、1/2; C、1;
?2x ? ? 0 ?

D、2。
0 ? x ? 3 其它

5、设随机变量 X 的密度函数为 f ( x ) ? ? 9 A、13/2; B、9/2;

,则 E [ X ( X ? 1)] ? ( D、2。

) 。

C、5/2;

6、如果随机变量 X , Y ( X , Y 均不为常数)满足 D ( X ? Y ) ? D ( X ? Y ) 。则必有( A、 X , Y 线性相关; B、 X , Y 不相关; 7、简单随机样本是指( ) A、采用随机抽样方法取得的样本; B、与总体同分布且相互独立的样本; C、服从正态分布的样本; D、从正态总体中取得的样本。 8、已知 ?? 为参数 ? 的估计量,估计精度记作 A (?? ), 则 1 ? A (?? ) 表示( ) 。 C、 D ( X ) ? D (Y ) ; D、 D ( X ) ? 0 。

) 。

A、估计量的标准差; B、估计量的方差; C、估计量的绝对误差;D、估计量的相对 误差。 9、在假设检验中, H 1 为备择假设。则犯第一类错误是指( A、 H 1 为真,被接受了; C、 H 1 为真,被拒绝了; B、 H 1 不真,被接受了; D、 H 1 不真,被拒绝了。 ).

10 、 一 元 线 性 回 归 模 型 y i ? ? 0 ? ? 1 x i ? ? i , ? i 独 立 地 服 从 N ( 0 , ? 2 ), i ? 1, 2 , ? , n 。 则
D ( y i ) 与 D ( ? i ) 的关系为(

) 。 C、 D ( y i ) ? D ( ? i ) ; D、无关系。

A、 D ( y i ) ? D ( ? i ) ;

B、 D ( y i ) ? D ( ? i ) ;

2

三、 判断题 (正确的打√,错误的打×,并改正,不改正无分,每小题 2 分,共 10 分) 1、设 A , B 是两个事件,则 P ( A ) ? P ( B ) 的充要条件为 A ? B 。( )

2、掷两枚均匀的硬币,所有出现的可能结果为“两枚均为正面”“一枚正面一枚一方 面”, “两枚均为反面”,因此,“两枚均为正面”的概率为1/3。( ) 3、若随机变量 X 与 Y 的相关系数 ? XY ? 0 , 则 X 与 Y 相互独立。 ( 4、设 X 1 , X 2 , ? , X n 是从 N ( ? , ? 2 ) 取得的简单随机样本,则 Y ? 态分布。( ) 5、统计假设检验中,犯一类错误的概率是可以控制的。( 四、 概念推理题(每小题 5 分,共 20 分)
1
n

) 。

?

2

? (X
i ?1

i

? ?)

2

也服从正



1、设随机变量 ? ~ U ( ? ? , ? ), 又 X ? sin ? , Y ? cos ? , 证明: X , Y 不相关,并验证也不独立。 2、设 X 1 , X 2 , ? , X n 是服从 N ( ? , ? 2 ) ( ? , ? ? ? 0 均为未知常数)的总体中取得的容量为 n的简单随机样本,选择常数 c 使 T ? c ? ( X i ? 1 ? X i ) 2 是 ? ? 的无偏估计。
i ?1 n ?1

3、 X 1 , X 2 , ? , X n 是一来自总体为 X ~ P ( ? ), ( ? ? 0 为未知常数) 的一个简单随机样本, 设 求 P { X ? 0} 的极大似然估计。
? 4、设 ( x i , y i )( i ? 1, 2 ? n ) 为样本数据,最小二乘法建立的经验回归方程为 y i ? ?? 0 ? ??1 x i ,
? 样本相关系数为 r (即 x i , y i 的相关系数), y i 与 y i 的相关系数为 R ,证明: r 2 ? R 2 。

五、 应用计算题 (共 30 分) 1、设有10个人参加考试,现在准备了10个考签,其中3个难签。10个人依次序抽签,问 第1个人抽得难签的概率是多少?第 i ( i ? 2 , ? ,10 ) 个人抽得难签的概率是多少? 2、若随机变量 X ~ U ( 0 ,1) ,令 Y ? X 2 。求 Y 的分布函数与概率密度函数。 3、为监测淮河水质污染问题,在淮河中下游流域建立了50个监测点,监测支流流入淮 河的水质,测得有害物质含量平均值 x ? 5 .0 1 M g ,样本方差 S 2 ? 4 .0 0 ,(1)试以此资 料估计水质被污染的0.95置信区间(设各监测点互不影响),并指出估计精度;(2) 若规定有害物质含量平均值超过4.5 Mg 时视为5类劣质水,试以0.95的概率检验。

3

4、已知样本数据为

x y

0 -2

1 -1

3 4

2 3

4 5

? 试利用最小二乘法建立经验回归方程 y i ? ?? 0 ? ??1 x i , 并求回归平方和 U 以及残差平方和
Q



一、

概率论与数理统计试题库(九)参考答案 填空题 (每小题 2 分,共 20 分)

1、 q ? r ; 2、0,1; 3、0; 4、3,0.2158; 5、 F ( x ) ? ? 1 ? x 2
? ? 1
?y

? ?

1

x ? 0 x ? 0



6、 f ( y ) ? ? 7、3; 8、0.6;

? ye

y ? 0 y ? 0



? 0

4

9、无偏性,一致性,有效性; 10、 ln y , ln x ; 二、单选题 (在每小题的备选答案中,选出一个正确的答案。每小题 2 分,共 20 分) 1、D 2、C 3、A 4、C 5、A 6、B 7、B 8、D 9、B 10、A 三、 判断题 (正确的打√,错误的打×,并改正,不改正无分,每小题 2 分,共 10 分) 1、× 2、× 3、Х 4、×
A? B

是 P ( A ) ? P ( B ) 的充分条件,但不是必要条件。

“两面均为正面”的概率为 1/4
? XY ? 0 , 说明 X , Y 不相关。
y ? 1 ?
2

? (x
i ?1

n

i

? ? ) ? ? (n)
2 2

5、√ 四、 概念推理题 (共 22 分) 1、(5 分)证明:由随即变量函数的数学期望有
E ( X ) ? E ( Sin ? ) ? E ( Y ) ? E ( Cos ? ) ?
2 2

1 2? 1 2?

? ? Sin ? d ?
?

?

? 0 ? 0 1 2 1 2 ? 0

? ? Cos ? d ?
?

?

E ( X ) ? E ( Sin ? ) ? E ( Y ) ? E ( Cos ? ) ?
2 2

1 2? 1 2?

? ? Sin
?

?

2

?d? ?
2

? ? Cos
?

?

?d? ?

E ( XY ) ? E ( Sin ? Cos ? ) ?

1 2?

? ? Sin ? Cos ? d ?
?

?



5

D ( X ) ? E ( X ) ? [ E ( X )]
2

2

? 1 2

1 2

D ( Y ) ? E ( Y ) ? [ E ( Y )]
2

2

?

Cov ( X , Y ) ? E ( XY ) ? E ( X ) E (Y ) ? 0

? ?

Cov ( X , Y ) D ( X ) D (Y )

? 0

即 X , Y 线性无关。但显然有 X 2 ? Y 2 ? Sin 2 ? ? Cos 2 ? ? 1 ,也就是说 X , Y 之间虽然没有 线性关系,却存在着 X 2 ? Y 2 ? 1 的非线性关系,也就说 X 与 Y 是不独立的。 2、(5 分)证明:欲使 T 满足无偏性,只要 E (T ) ? ? 2
?

E (T ) ? E [ c ? ( x i ? 1 ? x i ) ]
2 i ?1 n ?1

n ?1

? cE [ ? ( x i ? 1 ? 2 x i ? 1 x i ? x i )]
2 2 i ?1

? 2 c ( n ? 1) ?
1 2 ( n ? 1)

2

?

c ?

3、(5 分)解:参数 ? 的 M.L.E 估计为
L ( x1 , x 2 , ? , x n ; ? ) ?

?
i ?1

n

?

xi

e

??

xi !

ln L ( x1 , x 2 , ? , x n ; ? ) ? ? n ? ?

?

n

x i ln ? ?

i ?1

? ln x
i ?1

n

i

!

d ln L d?

? ?n ?

? ?

1

n

xi ? 0

i ?1

解得 ? ?

1 n

?

n

xi ? x

i ?1

? P { X ? 0} ?

?

0

e

??

? e

?X

0!

6

4、(7 分)证明: R ?
n i

? ? (y
i

n

i

? ? y )( y i ? y )
? (? y ? y )
n

? ? (y
? ? (y ?
i n

i

2 ? 2 ? y ) ? ( yi ? y ) i

i

? y )( y i ? y )
n

?
i
n

n

2 2 ? ( yi ? y) ? ( yi ? y) i

? ( ??
?
i

0

? ? ? 1 x i ? y )( y i ? y ) UL YY

? ? 1 ? ( x i ? x )( y i ? y ) ?
i

n

UL YY
? ? 1 L XY
2 2

? R

2

?

?

? U ? 1 L XY UL YY

?

? ? 1 L XY L YY

?

U L YY

? r

2

UL YY

五、

应用计算题

(共 28 分)

1、(6 分)解:设第一个人抽得难签事件为 A1 ,第个人抽得难签事件为 A i ,则
P ( A1 ) ? 3 10


1 9

P ( Ai ) ?

C 3 A9 A
10 10

?

3 10

; i ? 1, 2 , ? ,10

1 其中, C 3 A 99 表示先将 3 个难前去一个固定给第 i 个人,然后将剩余的 9 个签其他 9 个

10 人任意排列,即表示了第 i 个人抽到难签事件 A i。而 A 10 表示 10 个签任意分配 10 个人的

全排列数。有古典概型可以计算其概率。 2、(7 分)解:设 Y ? X 2 的分布函数与密度函数分别为 F Y ( y ), f Y ( y ) ;则
F Y ( y ) ? P {Y ? y } ? P { X
?
2

? y} ? P{?
y

y ? X ?

y } ? P {0 ? X ?

y}

?

y

0

dx ? x | 0 ?
y

所以
? 0 ? FY ( y ) ? ? y ? 1 ? y ? 0 0 ? y ?1 y ?1
7

而 Y 的密度函数
f Y ( y ) ? F Y? ( y ) ? ( y )? ? 1 2
? 1 2

y


?1 ?1 ? y 2 fY ( y) ? ? 2 ? 0 ? 0 ? y ?1 其它

3、(9 分)解: (1)参数估计的大样本方法。 误差限 ? ( x ) ? u ?
s n
? 0.56

0.95 置信区间为 [ 4 .4 8, 5 .5 4 ] 精度 A ? 1 ?
?(x ) x ? 0 .8 4 3 ? 8 4 .3 %

(2)假设检验的 U 检验方法。做统计假设
H 0 : ? ? ? 0 ? 4 .5; H 1 : ? ? ? 0 ? 4 .5
X ? ?0 S n

U ?

? 1 . 8031

取 ? ? 0 . 05 , 则 u 2 ? ? 1 . 645 ,而 U ? 1 . 8031 ? 1 . 645 ? u 2 ? ,故推翻原假设,认为水质污染严 重,已达到劣质水 5 类。需要治理。
5

4、(6 分)解: 同理
? ?1 ? L XY L XX

L yy ?

?

5

(? yi ) yi ?
2 i ?1

2

? 3 8 .8 5

i ?1

L xy ? 1 9

L xx ? 1 0

? 1 .9

? ? ? 0 ? y ? ? 1 x ? ?2

? U ? ? 1 L XY ? 36 . 1

Q ? L yy ? U ? 2 .7

? 经验直线方程: y ? ? 2 ? 1.9 x

8


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