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华南师大附中:高一《数学》第一学期期中考试与答案

华南师大附中:高一《数学》第一学期期中考试与答案

华南师大附中:高一《数学》第一学期期中考试与答案
高一数学试题第一学期期中考试

一、选择题(每小题 5 分,共 50 分,请将正确答案填写在答卷上)

1.设集合 M ? {x | x ? k ? 1 , k ? Z}, N ? {x | x ? k ? 1 , k ? Z} ,则

24

42

()

(A) M ? N (B) N ? M

?

?

(C) M ? N

(D) M ? N ? ?

2.若函数 f (x) ? x3 ( x ? R ),则函数 y ? ? f (?x) 在其定义域是

()

A.单调递减的偶函数 B.单调递增的奇函数 C.单调递增的偶函数 D.单调递减的奇函数

3.下列说法正确的是 ( )

A.函数 y ? f (x) 的图象与直线 x ? a 可能有两个交点; B.函数 y ? log2 x2 与函数 y ? 2 log2 x 是同一函数;

C.对于?a,b?上的函数 y ? f (x) ,若有 f (a)? f (b)<0 ,那么函数 y ? f (x) 在 ?a,b? 内有零点;

D.对于指数函数 y ? ax ( a>1)与幂函数 y ? xn ( n>0 ),总存在一个 x0 ,当 x>x0 时,就会有 ax>xn 。

4. loga

2 3

? 1,则

a

的取值范围是



)A. ???

0,

2 3

? ??

?1, ???

B.

? ??

2 3

,

??

? ??

C.

? ??

2 3

,1???

D.

? ??

0,

2 3

? ??

? ??

2 3

,

??

? ??

5.设函数 f (x) ? (x ? 2008)(x ? 2009) ? 1 ,有 2010

()

A.在定义域内无零点; B.存在两个零点,且分别在 (??,2008) 、(2009,??) 内;

C.存在两个零点,且分别在 (??,?2007) 、 (2007,??) 内;

D.存在两个零点,都在 (2008,2009) 内。

6.右图给出了红豆生长时间 t (月)与枝数 y (枝)的散点图:那么“红豆生南国,

春来发几枝.”的红豆生长时间与枝数的关系用下列哪个函数模型拟合最好?

A.指数函数: y ? 2t B.对数函数: y ? log 2 t

C.幂函数: y ? t 3 D.二次函数: y ? 2t 2

7.对任意实数 x ,规定 f (x) 取 4 ? x, x ?1, 1 (5 ? x) 三个值中最小值,则函数 f (x) 2
( ) A、有最大值 2,最小值 1 B、有最大值 2,无最小值 C、有最大值 1,无最小值 D、无最大值,无最小值

8.如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积( m2 )与时间 t (月)的关系: y ? at ,有以下叙述: ① 这个指数函数的底数是 2; ② 第 5 个月时,浮萍的面积就会超过 30m2 ;

y/m2 8

③ 浮萍从 4m2 蔓延到12m2 需要经过 1.5 个月;

④ 浮萍每个月增加的面积都相等. 其中正确的是( ) A. ①②③

4 B. ①②③④ C. ②③④ D. ①②

9.函数 y=f(x)与 y=g(x)的图象如所示,则函数 y=f(x)·g(x)的图象可能为 ( )

2 1

012 3

t/月

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10. 函数 f (x) ? log a (2 ? ax) 在 ?0,1?上是 x 的减函数,则实数 a 的取值范围是

A. 0 ? a ? 1

B. 1 ? a ? 2

C. 1 ? a

D. a ? 2

二、填空题(每小题 4 分,共 28 分,请将答案填写在答卷上)

()

11. 已知函数 y ? ( 2)? x ,则其值域为___________ 3

12.

若函数

f

(x)

?

?

? ?

f

x ?1,(x ? 0) ,则
(x ? 2),? x ? 0?

f (?3) _________

13.

-0.01

-1 2

? log 1

8 ? 3log3 2

? (lg 2)2

?

lg

2 ? lg 5 ?

lg 5

?

2

14.已知函数 f (x) ? ax2 ? bx ? 3a ? b ? 为偶函数,其定义域为 a ? 3, 2a? ,则 a 的值为

15.已知 y ? f (x) 为奇函数,当 x ? 0 时, f (x) ? x(1 ? x) ,则当 x ? 0 时, f (x) ?

16.为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解密),已知加密规则为:

明文 a,b,c,d 对应密文 a+2b,2b+c,2c+3d,4d,例如,明文 1,2,3,4 对应密文 5,7,18,16。当接收方

收到密文 14,9,23,28 时,则解密得到的明文为

.

17. 已知图象连续的函数 y ? f ( x) 在区间(1,2)上有唯一零点,如果用”二分法”求这个零点(精确度 0.1)的近似值,那
么将区间 (1,2) 二分的次数至少有_______次.

三、解答题(要有详细的解答或证明过程,共 72 分, 请将答案填写在答卷上)

? ? ? 18.已知集合 U ? R, A ? x | y ?

log 2 (x ? 1)

?,

B ? {y

y

? (1)x 2

? 1,?2 ?

x

?

?1} ,

C?

x |x ? a ?1

(1)求 A ? B ;

(2)若

C

?
?

CU

A

,求

a

的取值范围。

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19.画出函数 f (x) ? x2 ? 2 x ?1的图像,并写出该函数单调区间与值域。
20.北京奥运会纪念章某特许专营店销售纪念章,每枚进价 5 元,同时每销售一枚这种纪念章还需向北京奥组委交 特许经营管理费 2 元,预计这种纪念章以每枚 20 元的价格销售时该店一年可销售 2000 枚,经过市场调研发现每枚 纪念章的价格在 20 元的基础上每减少一元则增加销售 400 枚,而每增加一元则减少销售 100 枚。现设每枚纪念章
的销售价格为 x 元。 ⑴写出该特许专营店一年内销售这种纪念章所获得的利润 y (元)与每枚纪念章的销售价格 x (元)的函数关系式,并
写出这个函数的定义域;
⑵当每枚纪念章的销售价格 x 为多少元时,该特许专营店一年内利润 y (元)最大?并求利润的最大值。
21.已知定义域为 ???,0? ?0, ??? 的偶函数 g(x) 在 ???,0? 内为单调递减函数,且 g ? x ? y? ? g ? x? ? g ? y? 对任 意的 x, y 都成立, g ?2? ?1。(1)求 g ?4? 的值; (2)求满足条件 g(x) ? g(x ?1) ? 2 的 x 的取值范围。
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22.已知函数 f (x) ? ax2 ? bx ?1

(a, b为实数),

x

? R,

F ( x)

?

? ? ?

f (x) ? f (x)

(x ? 0) (x ? 0)

(1)若 f (?1) ? 0, 且函数 f (x) 的值域为[0, ? ?) ,求 F(x) 的表达式;

(2)在(1)的条件下, 当 x ?[?2, 2]时, g(x) ? f (x) ? kx 是单调函数, 求实数 k 的取值范围; (3)设 m ? 0, n ? 0 , m ? n ? 0, a ? 0 且 f (x) 为偶函数, 判断 F (m) + F(n) 能否大于零?请说明理由。

一、选择题(5 分×10=50 分)

题号 1

2

3

4

5

6

7

8

答案 A

B

D

A

D

A

B

D

二、填空题(4 分×7=28 分)

11. [1,??)

12. 2

13. 16

15. x(1? x)

16. 6,4,1,7

17.4

三、解答题(要有详细的解答或证明过程,共 72 分)

9

10

A

B

14.1

18.解:(1)? A ? ?x | x ? 2? B ? ?x | 3 ? x ? 5? ? A ? B ? ?x | 3 ? x ? 5? ? B ----7 分

(2)?CU A ? ?x | x ? 2?
19.(本小题 14 分)

?a ?1? 2

?a ? 3

…………14 分

解:

f

(x)

?

x2

?

2

x

?1=

?? x 2

? ??

x

2

? ?

2x ?1.......x 2x ?1.......x

? ?

0 0

------2



图(略) ------7 分

单调增区间为(-1,0),(1,+∞),-----9 分 单调减区间为(-∞,-1),(0,1)------11 分

值域为[?2,??)

------14 分

20.(本小题 14 分)

解:⑴由题意可得:

y

?

??( x ??? ( x

? ?

7)?2000 7)?2000

? 400(20 ? x)? ?100(x ? 20)?

( x<20)
(x∈N)
(x ? 20)

…………4 分

且由题意有: x ? 7 ? 0 ? x ? 7 ,同时, 2000 ?100(x ? 20) ? 0 ? x ? 40 。

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所以,函数的定义域为:{x 7 ? x ? 40, x ? N}。

…………7 分

⑵由⑴有:

y

?

??( x ??? ( x

? ?

7)?2000 7)?2000

? 400(20 ? x)? ?100(x ? 20)?

(7 ? x<20)
(x∈N)
(20 ? x ? 40)

①当 7 ? x<20 (x∈N)时, y ? (x ? 7)?2000 ? 400(20 ? x)?

? ?400(x ?16)2 ? 32400

所以当 x ?16 时,在此段有最大利润 32400 元。

…………10 分

②又当 20 ? x ? 40 (x∈N)时, y ? (x ? 7)?2000 ?100(x ?20)?

? ?100(x ? 47 )2 ? 27225 2
所以当 x ? 23 或 x ? 24 时,在此段有最大利润 27200 元。 综合①②可知,当 x ?16 时,该特许专营店一年内利润最大, 这个最大值为 32400 元。

…………13 分 …………14 分

21.(本小题 15 分)
解: ?1? g ?4? ? g ?2?2? ? g ?2? ? g ?2? ? 2

…………2 分

(2) g ? x? ? 2 ? g ? x ?1? ? g ?4? ? g ? x ?1? ? g ??4? x ?1??? 又 g(x)为偶函数 , 且 g(x) 在 ???,0? 为单调递减函数,

…………4 分

∴ g(x) 在 ?0, ??? 为单调递增函数。

…………6 分

?x ? 0

?x ? 0

? ??4(x ?1) ? 0 ,或 ??4(x ?1) ? 0 ,

? ?

x

?

4

?

x

?

1?

??x ? 4? x ?1?

??x ? 0

??x ? 0

或? ??4(x ?1) ? 0 ,或? ??4(x ?1) ? 0

???x ? 4? x ?1?

???x ? 4 ? x ?1?

…………10 分

解得 ? 4 ? x ? ?1,或 x 不存在,或 ?1 ? x ? ? 4 ,或 x 不存在,

3

5

综上

x

的取值范围为

? ??

?

4 3

,

?1???

? ??

?1,

4 5

? ??

…………12 分

另解:要 g ? x? ? g ??4? x ?1???

…………4 分

? x?0

?

? ?

x ?1? 0

??| x |>| 4(x ?1) |

…………10 分

?

? ??

?

4 3

,

?1???

? ??

?1,

4 5

? ??



…………15 分

5/6

22.(本小题 15 分)

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(1) ∵ f (?1) ? 0 ,

∴ a ?b ?1? 0



……1 分

又函数 f (x) 的值域为[0, ? ?) , 所以 a ? 0

且由 y ? a(x ? b )2 ? 4a ? b2 知 4a ? b2 ? 0 即 4a ? b2 ? 0 ②

2a

4a

4a

由①②得

a ?1,b ? 2

………3 分

∴ f (x) ? x 2 ? 2x ? 1 ? (x ? 1)2 .



F

(

x)

?

??(x ? ? ??? (x

1) 2 ? 1)

2

(x ? 0) (x ? 0)

……5 分

(2) 由(1)有 g(x) ? f (x) ? kx ? x2 ? 2x ? 1 ? kx ? x2 ? (2 ? k)x ? 1

? (x ? 2 ? k )2 ?1? (2 ? k)2 ,

2

4

当 k ? 2 ? 2 或 k ? 2 ? ?2 时,

2

2

即 k ? 6 或 k ? ?2 时, g(x) 是具有单调性.

(3) ∵ f (x) 是偶函数

∴ f (x) ? ax2 ? 1,



F

(

x)

?

??ax2 ? ???ax

?1 2?

1

(x ? 0) ,
(x ? 0)

∵ m ? 0,n ? 0, 设 m ? n, 则 n ? 0 .又 m ? n ? 0, m ? ?n ? 0,

∴| m | ? | ?n |

………7 分 ……9 分 ……11 分
………13 分

∴ F (m) + F(n) ? f (m) ? f (n) ? (am2 ?1) ? an2 ?1 ? a(m2 ? n2 ) ? 0 ,

∴ F(m) + F(n) 能大于零.

………15 分

6/6


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