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高中数学1.2应用举例教案新人教B版必修5

高中数学1.2应用举例教案新人教B版必修5


1.2 应用举例
整体设计 教学分析 本章通过章头图中的古建筑和台风问题实例, 引入要学习的数学知识, 由此可见实际测 量在本章的中心地位.实际上解斜三角形知识在实际问题中有着广泛的应用,如测量、航海 等都要用到这方面的知识.对于解斜三角形的实际问题,我们要在理解一些术语(如坡角、 仰角、俯角、方位角、方向角等)的基础上,正确地将实际问题中的长度、角度看成三角形 相应的边和角, 创造可解的条件, 综合运用三角函数知识以及正弦定理和余弦定理来解决. 教 学时要充分利用数形结合的方法, 充分利用多媒体课件给学生以动态演示, 加强直观感知. 学 习这部分知识有助于增强学生应用数学的意识和提高解决实际问题的能力. 本节教材提出了四个问题: 问题 1 和问题 2 为测量题. 这类问题在我们的日常生活中比 比皆是,学生对实际背景非常熟悉,这给教学带来了极大的便利.由于底部不可到达,这类 问题不能直接用解直角三角形的方法来解决, 但用正弦定理和余弦定理就可以计算出建筑物 顶部或底部到一个可到达的点之间的距离, 然后转化为解直角三角形的问题. 问题 3 是介绍 解决平衡力系的数学方法. 学习此题教师应先引导学生简要地复习一下向量求和的平行四边 形法则和三角形法则. 问题 4 是解三角形方法用于天气预报的一个典型例子, 有很好的教育 价值. 本节学习可增强学生的数学应用意识, 激发学生学习数学的积极性. 由于解决的是一些 实际问题,在进行近似计算时,要求学生算法要简练、清楚,计算要准确.本节后的练习和 习题都是解三角形应用的基本题,应要求学生全部掌握. 三维目标 1.通过巧妙的设疑,结合学生的实际情况,采用“提出问题——引发思考——探索猜 想——总结规律——反馈训练”的教学过程, 使学生能够运用正弦定理、 余弦定理等知识解 决一些有关测量距离的实际问题.同时通过多媒体课件直观演示,加强学生的动态感知,帮 助学生掌握常规解法,能够通过类比解决实际问题. 2.通过对解斜三角形在实际中应用的讲解,让学生体会具体问题可以转化为抽象的数 学问题,以及数学知识在生产、生活实际中所发挥的重要作用,同时培养学生运用图形、数 学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力. 3.通过本节的探究,引导学生经过自己的数学活动,从实际问题中提取数学模型,使

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学生经历发现和创造的过程, 进一步拓展学生的数学活动空间, 发展学生“做数学”“用数 学”的意识. 重点难点 教学重点: 掌握应用正弦定理和余弦定理解决测量问题的一般方法, 并能应用正弦定理、 余弦定理列方程求解一些实际问题, 进一步熟悉数学建模的方法步骤, 提高解决实际问题的 能力. 教学难点:将实际问题转化为数学问题,即根据实际问题建立数学模型. 课时安排 2 课时 教学过程 第 1 课时 导入新课 思路 1.(问题导入)本章引言中就提出了经常萦绕着我们的这么一个问题:“遥不可及 的月亮离我们地球究竟有多远呢?”在古代, 天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者 的距离,是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢?我们知道,对于未知的距离、高度等,存 在着许多可供选择的测量方案, 比如可以借助解直角三角形等方法, 但由于在实际测量问题 的真实背景下,某些方法不能实施.上面的问题用以前的方法是不能解决的.那么我们用刚 刚学习的正弦定理、 余弦定理就可以解决以前不能解决的问题, 究竟如何测量呢?下面我们 就来探究这个问题,由此展开新课. 思路 2.(情境导入)你有坐汽车(或者火车)经过山前水平公路的经历吗?如果身边带着 测角仪,那么根据路标(100 米杆)就会立即测算出你所看到的山的高度.利用正弦定理、余 弦定理你也会马上算出来,在学生急切想知道如何测算山高的期待中展开新课. 推进新课 新知探究 提出问题 ?1?提示学生先回顾正弦定理、余弦定理,并提问:若已知三角形的两边及其中一边 的对角用哪个定理解三角形?若已知三角形的两角及其夹边又可选用哪个定理解三角形 呢? ?2?回忆过去的一些测量方法,如测量两点间的距离都有哪些测量方法? ?3?如果底部可到达, 如电线杆的高度应怎样测量?如果底部不能到达, 如工厂的烟
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囱的高度应怎样测量呢? ?4?对解题中的近似值要怎样处理才能减小误差呢? ?5?解决实际问题的一般程序是什么? 活动:教师先让学生回忆正弦定理、余弦定理的内容,学生很快回忆起来,若已知三角 形的两边及其中一边的对角,则用正弦定理较好,鼓励学生多动手画图,特别是对想象能力 较弱的学生,更应画出图形,在图形上标出已知的数据以加强直观感知. 对于底部可到达的物体的高度问题, 如测量电线杆的高度, 利用初中的知识即可解决. 如 图 1,只要测出∠B 及 BC 即可算出 AC 的高度.对于底部不能到达的物体的高度又该怎样测 量呢?

图1

图2

教师引导学生分组讨论,充分发挥学生的想象力.学生会提出许多的方案.教师可一一 指导,选出其中有代表性的方案作为本节教学的切入点,比如有的学生会提出:既然底部不 可到达,则 BC 就不可测出,但解三角形至少需有一边,如此可否使原来的 B 点后退至 B′ 点,测量 BB′的距离.如图 2,引导学生深入探究,效果将会更好. 在具体解题过程中,教师可针对解题中的近似值处理问题,适时地提醒学生注意:(1) 应根据题中对精确度的要求,合理选择近似值;(2)为避免误差的积累,解题过程中应尽可 能地使用原始(已知)数据,少用间接求出的量. 讨论结果: (1)~(4)略. (5)解决实际问题的一般程序是:(1)审题,逐字逐句地阅读题目,弄清题目的条件、要 求,找出其中的数学关系; (2)建模,分析题目的变化趋势, 选择适当的数学模型;(3)求解,
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也就是对所建立的数学模型进行数学解答得到数学结论;(4)还原,即把数学结论还原为实 际问题的解答, 包括检验是否符合实际意义等. 本节所研究的问题都是把实际问题转化成解 三角形的问题,然后利用正弦定理、余弦定理、三角函数等来解决. 应用示例 例 1(教材问题 1) 活动:教师借助多媒体,引导学生观看实物图片,让学生明确建筑物的底部不可到达, 需在宫墙外护城河畔的马路边选择一个观测点, 移动测量仪再选择一个观测点. 在动态的演 示中让学生充分理解我们为什么要这样做. 然后教师指导学生画出平面示意图, 并在图上标 出相关的数据,让学生自己思考怎样根据正弦定理和余弦定理计算出建筑物的高度. 点评:解完本例后让学生总结测量的方法,本例的关键是选择观测点和测量的基线,与 实物的实际高度仅有 0.3 m 的误差,可让学生分析误差产生的原因.

变式训练 如图, 在山顶铁塔上 B 处测得地面上一点 A 的俯角 α =54°40′, 在塔底 C 处测得 A 处的俯角 β =50°1′.已知铁塔 BC 部分的高为 27.3 m,求出山高 CD.(精确到 1 m)

解:如下图,在△ABC 中,∠BCA=90°+β ,∠BAC=α -β ,∠BAD=α .

BC AB 根据正弦定理, = , sin?α -β ? sin?90°+β ?

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BCsin?90°+β ? BCcosβ 所以 AB= = . sin?α -β ? sin?α -β ? BCcosβ sinα 解 Rt△ABD,得 BD=ABsin∠BAD= .将测量数据代入上式,得 sin?α -β ? 27.3cos50°1′sin54°40′ 27.3cos50°1′sin54°40′ BD= = ≈177(m), sin?54°40′-50°1′? sin4°39′ CD=BD-BC≈177-27.3≈150(m). 答:山的高度约为 150 m. 例 2(教材问题 2) 活动:教师借助多媒体,引导学生观看实物图片,明确要解决的问题.在实际生活中, 这样的问题随处可见,如学生熟悉的河两岸的某两点之间的距离.在例 1 的类比下,学生很 容易想到选择一个观测点,移动测量仪再选择一个观测点.本例可让学生画图探究.教师给 予适时点拨. 点评: 结合例 1 可对这类测量问题进行小结, 解决这类测量问题的关键是选择观测点和 测量的基线.可让学生进一步探究,除了教材中的测量方法和计算,还有其他的方法吗?

变式训练 如图,为了测量隧道口 AB 的长度,给定下列四组数据,测量时应当用数据( )

A.α ,a,b C.a,b,γ 答案:C

B.α ,β ,a D.α ,β ,b

解析:由 a,b,γ 利用余弦定理可求出 AB.

例 3 如图, 一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶, 到 A 处时测得公路北侧远处一山 顶 D 在西偏北 15°的方向上,行驶 5 km 后到达 B 处,测得此山顶在西偏北 25°的方向上, 仰角为 8°,求此山的高度 CD.

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活动:教师引导学生充分理解题目背景,引导学生画出图形.首先理解什么是仰角,西 偏北 25°是什么意思.本题的图形是一个立体几何图形,让学生充分理解图形中的各个已 知量和要求的量. 解:在△ABC 中,∠A=15°,∠C=25°-15°=10°, BC AB ABsinA 5sin15° 根据正弦定理, = ,BC= = ≈7.452 4(km), sinA sinC sinC sin10° CD=BC?tan∠DBC≈BC?tan8°≈1 047(m). 答:山的高度约为 1 047 m. 点评:此例即为本课导入时思路 2 提出的问题,切入生活实际.教师可提醒学生总结, 我们是如何根据已知条件及所求的边长,恰当地选取我们需要的三角形的. 知能训练 1.为了测量河的宽,在河岸的一边选取两点 A 和 B,观测对岸标记 C 点,测得∠CAB= 45°,∠CBA=75°,AB=120 m,则河宽为__________ m. 答案:20(3+ 3) 解析:由题意画出示意图,如下图,则∠ACB=180°-45°-75°=60°,

由正弦定理,知 AB AC = , sin∠ACB sin75° sin75° ∴AC= ?120=20(3 2+ 6). sin60° 在 Rt△ACD 中,CD=ACsin45°=20(3+ 3), 即河的宽为 20(3+ 3) m. 2.如图,测量河对岸的塔高 AB 时,可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个测点 C 与
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D.测得∠BCD=15°,∠BDC=30°,CD=30 米,并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 60°,则塔 高 AB=__________.

答案:15 6米 解析:在△DBC 中,∠CBD=180°-15°-30°=135°. CD BC 由正弦定理得 = , sin∠CBD sin∠BDC 30sin30° ∴BC= =15 2. sin135° 在 Rt△ABC 中,AB=BC?tan60°=15 2? 3=15 6(米), 即塔高为 15 6米. 课堂小结 先由学生自己回顾本节所学的测量底部不可到达的建筑物高度和测量地面上两个不能 到达的地方之间的距离的方法, 是如何从实际问题情境中寻求到解决问题的方案的, 你是否 能根据题意准确地画出示意图?你没有画出的原因是什么呢? 在学生自己总结归纳而对本节有了一个整体认识的时候, 教师可作进一步的归纳. 解决 实际问题的关键是建立数学模型, 特别是画出示意图是准确迅速解这类数学问题的关键, 也 是本节要体现的技能, 这在高考中体现得很突出, 需要在反复的练习和动手操作中提高这方 面的能力. 作业 课本本节习题 1—2A 组 1、2、3. 设计感想 本教案设计以情境教学、问题教学为主,教师引导和学生积极参与探究相结合,充分体 现以学为主、逐步领悟的原则.日常生活中的实例体现了数学知识的生动运用.通过合作学 习和相互提问补充的方法让学生多感受问题的演变过程, 通过多媒体课件的演示让学生切身 感受实际问题所反映的数学本质,让学生在轻松愉快的互动气氛中学到知识,提高能力. 本教案设计的中心主线是在学生探究活动中提炼数学建模, 不要求学生死记硬背解决实 际问题的方法步骤. 本教案的设计始终抓住本节乃至本章的这一重点, 不在一些细枝末节上
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浪费时间. 通过本节探究, 学生基本上熟悉了解决实际问题的思想方法, 下一步教师要在规范步骤 等方面加以关注. 备课资料 一、拓展资源 1.利用余弦定理证明正弦定理 在△ABC 中,已知 a =b +c -2bccosA,b =c +a -2cacosB,c =a +b -2abcosC, a b c 求证: = = . sinA sinB sinC b + c -a 2 2 2 证明:由 a =b +c -2bccosA,得 cosA= , 2bc ?b +c -a ? ?2bc? -?b +c -a ? 2 2 ∴sin A=1-cos A=1- = 2 2 ?2bc? ?2bc? = ?2bc+b +c -a ??2bc-b -c +a ? 2 2 4b c
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2



?b+c+a??b+c-a??a+b-c??a-b+c? . 2 2 4b c ∴ a 4a b c . 2 = sin A ?a+b+c??-a+b+c??a+b-c??a-b+c? b c 2 =M, 2 = M, sin B sin C
2 2 2 2 2 2

记该式右端为 M,同理可得 ∴ ∴ a b c 2 = 2 = 2 . sin A sin B sin C a b c = = . sinA sinB sinC
2 2 2

2.如图,P 为△ABC 内的一点,且∠PAB=∠PBC=∠PCA=θ ,记 BC=a,CA=b,AB= 1 1 1 1 c,求证: 2 = 2 + 2 + 2 . sin θ sin A sin B sin C

AP b 证明:在△PAC 中,由正弦定理,得 = . sinθ sin∠APC ∴∠APC=180°-θ -(A-θ )=180°-A. ∴ AP b = . sinθ sinA
2 2

1 1 bsinθ 1 sin θ sin θ 从而 S△PAB= c?APsinθ = c? ?sinθ = bcsinA? 2 =S△ABC? 2 . 2 2 sinA 2 sin A sin A
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sin θ sin θ 同理可得 S△PBC=S△ABC? 2 ,S△PCA=S△ABC? 2 . sin B sin C sin θ sin θ sin θ 相加后即得 S△ABC=S△ABC( 2 + 2 + 2 ). sin A sin B sin C ∴ 1 1 1 1 = 2 2 + 2 + 2 . sin θ sin A sin B sin C
2 2 2

2

2

二、备用习题 1.在一幢 20 m 高的楼顶测得对面一塔顶的仰角为 60°,塔基的俯角为 45°,则塔高 为( ) A.20(1+ 3 ) m 3 B.20(1+ 3) m D.20( 6+ 2) m )

C.10( 6+ 2) m

2.如图,在河岸 AC 测量河的宽度 BC,测量下列四组数据,较适宜的是(

A.a,c,α C.c,α ,β

B.b,c,α D.b,α ,β

3.如图,B、C、D 三点在地面同一直线上,DC=a,从 C、D 两点测得 A 点的仰角分别 是 β 、α (α <β ),则 A 点离地面的高 AB 等于 ( )

A. C.

asinα sinβ cos?β -α ? asinα cosβ sin?β -α ?

asinα sinβ B. sin?β -α ? acosα cosβ D. cos?β -α ?

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4.如图,有一长为 10 m 的斜坡,它的倾斜角是 75°,在不改变坡高和坡顶的前提下, 通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为 30°,则坡底要延伸( A.5 m B.10 m C.10 2 m ) D.10 3 m

5.如下图,我炮兵阵地位于地面 A 处,两观察所分别位于地面点 C 和 D 处,已知 CD= 6 000 m,∠ACD=45°,∠ADC=75°,目标出现于地面点 B 处时,测得∠BCD=30°,∠BDC =15°,求炮兵阵地到目标的距离.(结果保留根号)

6. 如下图, 测量人员沿直线 MNP 的方向测量, 测得 A 点的仰角分别是∠AMB=30°, ∠ANB =45°,∠APB=60°,且 MN=PN=500 m,求塔高 AB.

参考答案: 1.B 解析:如图,AB 为楼,CD 为塔,AM 为水平线,则有 AB=20.

∠DAM=45°,∠CAM=60°,
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∴MD=20,AM=20,CM=20 3. ∴CD=20(1+ 3)(m). 2.D 解析:由 α ,β ,b 可利用正弦定理求出 BC. 3.B 解析:在△ABC 中,CD=a,∠DAC=β -α , a AC 由正弦定理,得 = , sin?β -α ? sinα ∴AC= asinα . sin?β -α ?

asinα ?sinβ 在 Rt△ABC 中,AB=AC?sinβ = . sin?β -α ? x 10 4.C 解析:在△ABC 中,由正弦定理,可知 = ,∴x=10 2 m. sin45° sin30° 5.解:在△ACD 中,∠CAD=180°-∠ACD-∠ADC=60°,CD=6 000 m,∠ACD=45°, CDsin45° 6 由正弦定理,有 AD= = ?CD. sin60° 3 同理,在△BCD 中,∠CBD=180°-∠BCD-∠BDC=135°,CD=6 000,∠BCD=30°. CDsin30° 2 由正弦定理,有 BD= = CD. sin135° 2 又在△ABD 中,∠ADB=∠ADC+∠BDC=90°, 根据勾股定理,得
2 2

AB= AD +BD =

?

6 2 2 2 42 ? +? ? ?CD= CD=1 000 42 m. 3 2 6

答:炮兵阵地到目标的距离为 1 000 42 m. 6.解:设 AB 的高为 x.∵AB 与地面垂直, ∴△ABM,△ABN,△ABP 均为直角三角形. ∴BM=x?cot30°= 3x,BN=x?cot45°=x,BP=x?cot60°= 在△MNB 中,BM =MN +BN -2MN?BN?cos∠MNB, 在△PNB 中,BP =NP +BN -2NP?BN?cos∠PNB, 又∵∠BNM 与∠PNB 互补,MN=NP=500, ∴3x =250 000+x -2?500x?cos∠MNB,① 1 2 2 x =250 000+x -2?500x?cos∠PNB.② 3 10 2 2 ①+②,得 x =500 000+2x ,∴x=250 6(m). 3
2 2 2 2 2 2 2 2

3 x. 3

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答:塔高 AB 为 250 6 m. 第 2 课时 导入新课 思路 1.(本章章头图导入)有的学生可能要问:正弦定理探究完了,余弦定理也探究完 了, 那么本章开始引言中提出的问题究竟怎样解决呢?也就是怎样算出几小时后某城市开始 受到台风的侵袭和怎样测出海上航行的轮船的航速和航向呢?学过本节后就简单清晰了, 由 此展开新课. 思路 2.(猜想导入)上节课我们探究了怎样测量不可到达的点的距离,又解决了怎样测 量底部不可到达的建筑物高度的问题,这些都是距离问题,那么能否借助正弦定理、余弦定 理测量一些角度的问题呢?回答是肯定的,由此展开新课. 推进新课 新知探究 提出问题 ?1?回忆前面是如何测量距离和高度的? ?2?在测量距离和高度时,是怎样由三角形的一些已知边和角来求其他边的? ?3?回忆上册中向量求和的平行四边形法则和三角形法则. ?4?日常生活中还有一个例子, 如航海, 在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方 向,同时保持一定的航速和航向前进,还有如何预防台风的侵袭等,这些可否像前面探究的 距离和高度那样,转化为解三角形模型来解决呢? 活动:教师引导学生再次回忆正弦定理、余弦定理.为了提高学生兴趣,可换个提法, 前面解决实际问题的顺序是“实际问题→数学建模→数学模型的解→实际问题的解”, 我们 如果不按这个步骤进行结果会怎样?通过这样反复强化, 使学生的“数学建模”意识得以巩 固,这里关键是找出已知量和未知量,画好平面示意图,确定需要解决的三角形. 三角形模型应用很广泛,像航海确定方向等都离不开角,当然也就离不开解三角形,也 就需要用正弦定理、余弦定理等有关的三角形知识来解决它. 讨论结果: (1)~(4)略. 应用示例 例 1(教材问题 3) 活动:本例题是解三角形与向量结合的典例,教师可引导学生复习向量的相关知识.利
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用多媒体课件明确所要探究问题的已知量和未知量, 指导学生画出平面示意图, 这是解好本 问题的关键. 点评: 本例背景是我们人人都熟悉的三角形灯架, 目的是让学生熟悉解决平衡力系的数 学方法,解决问题的关键是把受力情况和角度都放在三角形中,然后用正弦定理解决.

变式训练 有两根柱子相距 20 m,分别位于电车的两侧,在两柱之间连接一条水平的绳子,电 车的送电线就悬挂在绳子的中点,如果送电线在这点垂直向下的作用力是 17.8 N,则这条 成水平的绳子的中点下降 0.2 m,求此时绳子所受的张力. → → 解:如图所示,设重力作用点为 C,绳子 AC、BC 所承受的力分别记为CE、CF,重力记 → 为CG.

→ → 由 C 为绳子的中点,知|CE|=|CF|. → → → 由CE+CF=CG,知四边形 CFGE 为菱形. 又∵cos∠FCG=cos∠DCB= 0.2 10 +?0.2?
2 2

≈0.02,

1 → |CG| 2 8.9 → → ∴|CE|=|CF|= = =445, cos∠FCG 0.02 即绳子所受的张力为 445 N.

例 2 如图,一艘海轮从 A 出发,沿北偏东 75°的方向航行 67.5 n mile 后到达海岛 B, 然后从 B 出发,沿北偏东 32°的方向航行 54.0 n mile 后到达海岛 C.如果下次航行直接从 A 出发到达 C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到 0. 1°,距 离精确到 0.01 n mile)

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活动:教师引导学生根据题意画出平面示意图,这是解决本类题目很重要的一方面.教 师可就此点拨学生注意:画图、用图、识图是学好数学的一项基本功,能否准确画出示意图 直接决定着解题的成败, 这项基本功较弱的同学可就此加强自己的补弱训练. 我们前面学习 时有过这样的经历:有些选择题,甚至解答题,只要画出示意图,解答结果很快就出来了, 这就是数形结合的强大威力之所在,提醒学生关注这一点. 解:在△ABC 中,∠ABC=180°- 75°+ 32°=137°,根据余弦定理, AC= AB +BC -2AB?BC?cos∠ABC = 67.5 +54.0 -2?67.5?54.0?cos137° ≈113.15. 根据正弦定理, BC AC = , sin∠CAB sin∠ABC
2 2 2 2

BCsin∠ABC 54.0sin137° sin∠CAB= = ≈0.325 5, AC 113.15 所以∠CAB≈19.0°,75°-∠CAB=56.0°. 答:此船应该沿北偏东 56.0°的方向航行,需要航行 113.15 n mile. 点评:本例综合运用了正、余弦定理,体现了正弦定理、余弦定理在解斜三角形中的重 要作用. 解完本例后教师引导学生进行反思领悟, 让学生把重点放在数学建模这一共性上和 对一般方法的掌握上.

变式训练 如图,港口 A 北偏东 30°方向的 C 处有一观测站,港口正东方向的 B 处有一轮船, 测得 BC 为 31 n mile,该轮船从 B 处沿正西方向航行 20 n mile 后到 D 处,测得 CD 为 21 n mile,问此时轮船离港口 A 还有多远?

解:由条件知∠CAD=60°,设∠ACD=α ,∠CDB=β ,

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在△BCD 中,由余弦定理,得 CD +BD -BC 1 cosβ = =- . 2CD?BD 7 4 3 2 ∴sinβ = 1-cos β = . 7 5 3 ∴sinα =sin(β -60°)=sinβ cos60°-cosβ sin60°= . 14 在△ABC 中,由正弦定理,得 CD AD = , sin∠CAD sinα
2 2 2

CD?sinα ∴AD= =15 n mile. sin∠CAD 答:此时轮船离港口还有 15 n mile.

例 3(教材问题 4) 活动:为降低难度,本题已经给出了平面示意图,教学时,可先不让学生看这个图形, 让学生通过阅读题意自己画出图形,然后对照题目给出的图形,以便找出偏差.或者教师以 幻灯片的形式打出题意,稍后再出示示意图,留给学生足够的思考空间. 点评:(1)本例右边的边注可作为本例的变式训练.在教材图 116 中,延长 PQ 到 Q′, 使∠AQQ′=40.3°,台风沿 PQ 方向过点 Q′时,则台风终止侵袭 A 城.侵袭 A 城的时间为 台风经过 Q 到 Q′所用的时间.解△AQQ′,求出 Q 与 Q′的距离,然后除以台风移动的速度 就可得到侵袭 A 城的时间. (2)解完此题后教师引导学生总结应用正、余弦定理解斜三角形的解题方法.在解三角 形的应用题时,通常会遇到两种情况:①已知量与未知量全部集中在一个三角形中,依次利 用正弦定理或余弦定理解之. ②已知量与未知量涉及两个或几个三角形, 这时需要选择条件 足够的三角形优先研究,再逐步在其余的三角形中求出问题的解. 知能训练 1.已知 a、b、c 为△ABC 的三个内角 A、B、C 的对边,向量 m=( 3,-1),n=(cosA, sinA).若 m⊥n,且 acosB+bcosA=csinC,则∠B=__________. 2.如图所示,海中小岛 A 周围 38 海里内有暗礁,一船正在向南航行,在 B 处测得小岛 A 在船的南偏东 30°,航行 30 海里后,在 C 处测得小岛在船的南偏东 45°,如果此船不改 变航向,继续向南航行,有无触礁的危险?

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答案: 1. π 6 解析:由题意,得 3cosA-sinA=0,即 tanA= 3.

π 又∵0<A<π ,∴A= . 3 由正弦定理,得 sinAcosB+sinBcosA=sin C,即 sinC=sin C. ∵sinC≠0,∴sinC=1. π 又∵0<C<π ,∴C= . 2 π π π ∴B=π -( + )= . 2 3 6 2.解:在△ABC 中,BC=30,∠B=30°,∠ACB=135°, ∴∠A=15°. 30sin30° 由正弦定理,知 AC= =60cos15°=15( 6+ 2), sin15° ∴A 到 BC 所在直线的距离为 AC?sin45°=15( 3+1)≈40.98(海里). ∵40.98 海里>38 海里, ∴船继续向南航行,没有触礁的危险. 课堂小结 先让学生回顾本节所探究的有关角度的知识过程, 熟悉有关角的概念; 回顾在本节实际 问题的探究中,是怎样画出方位角的,是如何将实际问题转化为数学问题的,又是怎样灵活 地选用正弦定理、余弦定理的. 通过本节利用物体受力情况和航海、 台风侵袭等实际问题, 我们感受到数学模型可以有 效地描述自然现象和社会现象;数学是人类的一种文化,它的内容、思想、方法和语言是现 代文明的重要组成部分. 作业 课本本节习题 1—2A 组 4;习题 1—2B 组 3. 设计感想
2 2

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本教案是根据课程标准,学生的认知特点,内容的安排而设计的,由于本节课的前面已 经有了举例探究经验, 因此设计的活动主要都是通过学生自己完成; 只是教材一开始就呈现 出台风侵袭城市的背景图,涉及到方位角,学生对图形难以把握,特别从空间的视角去审视 的时候有些困难. 因此教师应充分利用多媒体课件演示, 让学生从动态中发现实物背景下的 数学图形及有关的角度问题,引导学生自己画出平面示意图——这是解决本例的关键所在, 教师不要怕在此浪费时间. 本教案的设计意图还在于,通过本节课的展示,让学生体会到数学离不开生活,生活离 不开数学, 数学知识来源于生活而最终服务于生活; 数学课堂的最后呈现标准不是学生成为 解题能手,而是让学生体会到数学的实用价值. 备课资料 一、备用习题 1.从 A 处望 B 处的仰角为 α ,从 B 处望 A 处的俯角为 β ,则 α 、β 的关系是( A.α >β 180° 2. 已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离相等, 灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 40°, 灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 60°,则灯塔 A 在灯塔 B 的( A.北偏东 10° C.南偏东 10° B.北偏西 10° D.南偏西 10° ) B.α =β C.α +β =90° )

D.α +β =

3.如图,有两条相交成 60°角的直线 XX′、YY′,交点是 O,甲、乙分别在 OX、OY 上,起初甲在离 O 点 3 千米的 A 点,乙在离 O 点 1 千米的 B 点,后来两人同时以每小时 4 千米的速度,甲沿 XX′方向,乙沿 Y′Y 方向步行.

(1)起初,两人的距离是多少? (2)用包含 t 的式子表示 t 小时后两人的距离; (3)什么时候两人的距离最短?

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4.如图,当甲船位于 A 处时获悉,在其正东方向相距 20 海里的 B 处有一艘渔船遇险等 待营救.甲船立即前往救援,同时把消息告知在甲船的南偏西 30°,相距 10 海里 C 处的乙 船,试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往 B 处救援.(角度精确到 1°)

5.如图,已知 A、B 两点的距离为 100 海里,B 在 A 的北偏东 30°处,甲船自 A 以 50 海里/时的速度向 B 航行,同时乙船自 B 以 30 海里/时的速度沿方位角 150°方向航行.问 航行几小时,两船之间的距离最近?

6.在某时刻,A 点西 400 千米的 B 处是台风中心,台风以每小时 40 千米的速度向东北 方向直线前进,以台风中心为圆心、300 千米为半径的圆称为“台风圈”,从此时刻算起, 经过多长时间 A 进入台风圈?A 处在台风圈中的时间有多长? 7.在一个特定时段内,以点 E 为中心的 7 海里以内海域被设为警戒水域,点 E 正北 55 海里处有一个雷达观测站 A.某时刻测得一般匀速直线行驶的船位于点 A 北偏东 45°,且与 点 A 相距 40 2海里的位置 B,经过 40 分钟又测得该船已行驶到点 A 北偏东 45°+θ (其中 sinθ = 26 ,0°<θ <90°)且与点 A 相距 10 13海里的位置 C. 26

(1)求该船的行驶速度;(单位:海里/时) (2)若该船不改变航行方向继续行驶,判断它是否会进入警戒水域,并说明理由. 参考答案: 1.B 2.B 解析:由题意可画出平面示意图,如图,

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则∠ACB=80°, ∵AC=BC, ∴∠ABC=50°. 因此灯塔 A 在灯塔 B 的北偏西 10°. 3.解:(1)∵甲、乙两人起初的位置是 A、B,则 AB =OA +OB -2OA?OBcos60°=3 1 2 +1 -2?3?1? =7, 2 ∴起初两人的距离是 7千米. (2)设甲、乙两人 t 小时后的位置分别是 P、Q,则 AP=4t,BQ=4t, 3 2 2 2 2 当 0≤t≤ 时,PQ =(3-4t) +(1+4t) -2(3-4t)(1+4t)cos60°=48t -24t+7; 4 3 2 2 2 2 当 t> 时,PQ =(4t-3) +(1+4t) -2(4t-3)(1+4t)cos120°=48t -24t+7, 4 ∴PQ= 48t -24t+7. 1 2 2 2 (3)PQ =48t -24t+7=48(t- ) +4, 4 1 ∴当 t= 时,即在第 15 分钟末,PQ 最短. 4 答:在第 15 分钟末,两人的距离最短. 4.解:连结 BC,由余弦定理,得 BC =20 +10 -2?20?10?cos120°=700, 于是 BC=10 7. 由 sin∠ACB sin120° = , 20 10 7 3 . 7
2 2 2 2 2 2 2 2

∴sin∠ACB=

∵∠ACB<90°,∴∠ACB≈41°. ∴乙船应朝北偏东 71°方向沿直线前往 B 处救援. 5.解:设航行 x 小时后甲船到达 C 点,乙船到达 D 点,在△BCD 中,BC=(100-50x) 海里,BD=30x 海里(0≤x≤2),∠CBD=60°,由余弦定理,得
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CD =(100-50x) +(30x) -2?(100-50x)?30x?cos60° =4 900x -13 000x+10 000. 13 000 65 16 2 ∴当 x= = =1 (小时)时,CD 最小,从而得 CD 最小. 2?4 900 49 49 16 ∴航行 1 小时,两船之间距离最近. 49 6.解:如图,以 AB 为边,B 为顶点作∠ABP=45°(点 P 在 B 点的东北方向上),射线 BP 即台风中心 B 的移动方向,以 A 点为圆心,300 千米为半径画弧交射线 BP 于 C、D 两点, 显然当台风中心从 B 点到达 C 点时,A 点开始进入台风圈,台风中心在 CD 上移动的时间即 为 A 处在台风圈中的时间.
2

2

2

2

设台风中心由 B 到 C 要 t 小时, 在△ABC 中, AB=400(千米), AC=300(千米), BC=40t(千 米), ∠ABC=45°, 由余弦定理,得 AC =AB +BC -2AB?BC?cos∠ABC, 即 300 =400 +(40t) -2?400?40t?cos45°. ∴4t -40 2t+175=0.∴t=
2 2 2 2 2 2 2

40 2±20 10 2±5 = . 8 2

10 2-5 1 10 2+5 10 2-5 ∴t1= =5( 2- )=4.6(小时),t2-t1= - =5(小时). 2 2 2 2 答:经过 4.6 小时 A 进入台风圈,A 处在台风圈中的时间为 5 小时. 7.解:(1)∵AB=40 2,AC=10 13,∠BAC=θ ,sinθ = 26 2 5 26 ?= . 26 26 26 . 26

由于 0°<θ <90°,所以 cosθ =
2 2

1-?

由余弦定理,得 BC= AB +AC -2AB?AC?cosθ =10 5. 10 5 所以船的行驶速度为 =15 5(海里/时). 2 3 (2)解法一: 如图所示, 以 A 为原点建立平面直角坐标系, 设点 B、 C 的坐标分别是 B(x1,

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y1)、C(x2,y2),BC 与 x 轴的交点为 D.

由题设有 x1=y1=

2 AB=40, 2

x2=ACcos∠CAD=10 13cos(45°-θ )=30, y2=ACsin∠CAD=10 13sin(45°-θ )=20. 20 所以过点 B、C 的直线 l 的斜率 k= =2,直线 l 的方程为 y=2x-40. 10 |0+55-40| 又点 E(0,-55)到直线 l 的距离 d= =3 5<7, 1+4 所以船会进入警戒水域. 解法二:如图所示,设直线 AE 与 BC 的延长线相交于点 Q.在△ABC 中,

AB +BC -AC 由余弦定理,得 cos∠ABC= 2AB?BC = = 40 ?2+10 ?5-10 ?13 2?40 2?10 5 3 10 . 10
2 2 2

2

2

2

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从而 sin∠ABC= 1-cos ∠ABC=

2

9 10 1- = . 10 10

10 40 2? 10 ABsin∠ABC 在△ABQ 中,由正弦定理,得 AQ= = =40. sin?45°-∠ABC? 2 10 ? 2 10 由于 AE=55>40=AQ, 所以点 Q 位于点 A 和点 E 之间,且 QE=AE-AQ=15. 过点 E 作 EP⊥BC 于点 P,则 EP 为点 E 到直线 BC 的距离. 在 Rt△QPE 中, PE=QE?sin∠PQE=QE?sin∠AQC=QE?sin(45°-∠ABC)=15? 3 5<7. 所以船会进入警戒水域. 二、测量问题中的有关名词和术语 (1)坡度(坡比)与坡角: 如下图, 把坡面的铅直高度 h 和水平宽度 l 的比叫做坡度(或叫做坡比), 用字母 i 表示, h 即 i= .坡度一般写成 h∶l 的形式.坡面与水平面的夹角 α 叫做坡角,坡角与坡度之间有 l h 如下关系:i= =tanα . l 5 = 5

(2)仰角与俯角: 如下图,以水平线为基准,视线在水平线上方所成的角叫做仰角;视线在水平线下方所 成的角叫做俯角.

(3)方向角与方位角: 方向角:如下图,把指北或指南方向线与目标方向线所成的小于 90°的水平角,叫做 方向角. 目标方向线方向一般可用“?偏?多少度”来表示, 这里第一个“?”号是“北” 或“南”字,第二个“?”是“东”或“西”字.如图中 OA,OB,OC,OD 的方向角分别为 北偏东 60°,北偏西 45°(或西北方向),南偏西 30°,南偏东 40°.
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方位角:某点开始的指北方向线按顺时针转到目标方向线为止的水平角,叫做方位角.

(4)水平距离、垂直距离、坡面距离: 如下图,BC 代表水平距离,AC 代表垂直距离,AB 代表坡面距离.

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