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椭圆综合练习题

椭圆综合练习题


12 月 1 日限时作业——椭圆
一、选择题 1.已知椭圆的焦点是 F1,F2 是椭圆上的一个动点,如果延长 F1P 到 Q,使得|PQ|= |PF2|,那么动点 Q 的轨迹是( A.圆 B.椭圆 ) C.双曲线的一支 D.抛物线 )

7.已知椭圆 + =1 的左、右焦点分别为 F1、F2,点 P 在椭圆上.若 P、F1、F2 是一个 16 9 直角三角形的三个顶点,则点 P 到 x 轴的距离为( A. 9 5 B.3 9 7 C. 7 ) D. 9 4

x2

y2

2.如果方程 x2+ky2=2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,那么实数 k 的取值范围是( A.(0,1) 3.P 是椭圆 是( A. ) 64 3 3 B.64(2+ 3) C.64(2- 3) D.64 B.(1,2) C.(0,2) D.(0,1]

x2 y2 8.(2009?江西)过椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P,F2 为 a b
右焦点,若∠F1PF2=60°,则椭圆的离心率为( A. 2 2 B. 3 3 1 C. 2 ) D. 1 3

+ =1 上的一点,F1、F2 是焦点,若∠F1PF2=60°,则△PF1F2 的面积 100 64

x2

y2

x2 y2 9.如图 F1、F2 分别是椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的两个焦点,A 和 B 是以 O 为圆心,以|OF1| a b 为半径的圆与该左半椭圆的两个交点,且△F2AB 是等边三角形,则椭圆的离心率为( )

4.已知 F 是椭圆 b2x2+a2y2=a2b2(a>b>0)的一个焦点,PQ 是过其中心的一条弦,且 c=

a2-b2,则△PQF 面积的最大值是(
1 A. ab 2 B.ab

) D.bc

A.

3 2

1 B. 2

C.

2 2

D. 3-1

C.ac

10.已知点(4,2)是直线 l 被椭圆 + =1 所截得的线 36 9 段的中点,则 l 的方程是( A.x-2y=0 C.2x+3y-4=0 ) B.x+2y-4=0 D.x+2y-8=0

x2

y2

5.椭圆 + =1 的焦点为 F1 和 F2,点 P 在椭圆上.如果线段 PF1 的中点在 y 轴上,那 12 3 么|PF1|是|PF2|的( A.7 倍 ) B.5 倍 C.4 倍 D.3 倍

x2

y2

6.设 0≤α <2π ,若方程 x2sinα -y2cosα =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 α 的取值 范围是( ) 二、填空题

? 3 ? ?7π ? A.?0, π ?∪? ,2π ? 4 4 ? ? ? ? ?π 3π ? C.? , ? 4 ? ?2 ?3π 3π ? D.? , ? 2 ? ? 4

? π 3π ? B.? , ? 4 ? ?2

11.已知椭圆的焦点是 F1(0,-1)、F2(0,1),P 是椭圆上一点,并且|F1F2|是|PF1|与 |PF2|的等差中项,则椭圆的方程是________________. 12.设 F1、F2 是椭圆 + =1 的两个焦点,P 是椭圆上一点,且|PF1|-|PF2|=1,则 3 4 cos∠F1PF2=____________.

x2 y2

13.已知椭圆的短半轴长为 1,离心率 e 满足 0<e≤ ________.

3 ,则长轴的取值范围为 2

x2 y2 14.设 F1,F2 分别为椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左右两个焦点,若椭圆 C 上的点 A(1, a b
3 )到 F1,F2 两点的距离之和为 4,则椭圆 C 的方程是________,焦点坐标是________. 2 三、解答题 15.已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的两个焦点分别为 F1、F2,斜率为 k 的直线 l 过左焦 点 F1 且与椭圆的交点为 A、B,与 y 轴交点为 C,又 B 为线段 CF1 的中点,若|k|≤ 圆离心率 e 的取值范围. 14 ,求椭 2 3 ,过椭圆左焦点 F 的直线交椭圆于 2

x2 y2 a b

17.椭圆中心是坐标原点 O,焦点在 x 轴上,e=

P,Q 两点,|PQ|= ,且 OP⊥OQ,求此椭圆的方程.

20 9

限时作业——椭圆
一、选择题 16.已知椭圆 E: + =1. 8 4 (1)直线 l:y=x+m 与椭圆 E 有两个公共点,求实数 m 的取值范围. (2)以椭圆 E 的焦点 F1、F2 为焦点,经过直线 l′:x+y=9 上一点 P 作椭圆 C,当 C 的 长轴最短时,求 C 的方程.

x

2

y

2

1.已知椭圆的焦点是 F1,F2 是椭圆上的一个动点,如果延长 F1P 到 Q,使得|PQ|= |PF2|,那么动点 Q 的轨迹是( A.圆 B.椭圆 C.双曲线的一支 )

D.抛物线 [答案] A

256 ①2-②得 r1r2= . 3 1 64 ∴S△PF1F2= r1?r2sin60°= 3. 2 3 4.已知 F 是椭圆 b2x2+a2y2=a2b2(a>b>0)的一个焦点,PQ 是过其中心的一条弦,且 c=

[解析] ∵|PF1|+|PF2|=2a,|PQ|=|PF2|, ∴|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PQ|=2a,即|F1Q|=2a,∴动点 Q 到定点 F1 的距离等于定长 2a,故动点 Q 的轨迹是圆.故选 A. 2.如果方程 x +ky =2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,那么实数 k 的取值范围是( A.(0,1) C.(0,2) [答案] A B.(1,2) D.(0,1]
2 2

)

a2-b2,则△PQF 面积的最大值是(
1 A. ab 2 C.ac [答案] D B.ab D.bc

)

[解析] 椭圆方程化为 + =1. 2 2

x

2

y

2

[解析] 设它的另一个焦点为 F′,则|F′O|=|FO|,|PO|=|QO|,FPF′Q 为平行四边 形.

k
2 焦点在 y 轴上,则 >2,即 k<1.又 k>0,∴0<k<1.

k

S△PQF= SPF′QF=S△PFF′,则当 P 为椭圆短轴端点时,P 到 FF′距离最大,此时 S△PFF′最大为 bc.
即(S△PQF)max=bc. 5.椭圆 + =1 的焦点为 F1 和 F2,点 P 在椭圆上.如果线段 PF1 的中点在 y 轴上,那 12 3

1 2

3.P 是椭圆 是( ) 64 3 A. 3

+ =1 上的一点,F1、F2 是焦点,若∠F1PF2=60°,则△PF1F2 的面积 100 64

x2

y2

x2

y2

B.64(2+ 3) D.64

么|PF1|是|PF2|的( A.7 倍 C.4 倍 [答案] A

) B.5 倍 D.3 倍

C.64(2- 3) [答案] A

[解析] 在△PF1F2 中,设|PF1|=r1,|PF2|=r2,则由椭圆定义知 r1+r2=20 ① 由余弦定理知 cos60°=
2 2 2 2 r2 r2 1+r2-|F1F2| 1+r2-12 = 2r1?r2 2r2?r2

[解析] 不妨设 F1(-3,0),F2(3,0),由条件知 P(3,±

3 3 ),即|PF2|= ,由椭圆定 2 2

7 3 3 义知|PF1|+|PF2|=2a=4 3,|PF1|= ,|PF2|= ,即|PF1|=7|PF2|. 2 2 ② 6.设 0≤α <2π ,若方程 x2sinα -y2cosα =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 α 的取值 范围是( )

1 2 = ,即 r2 1+r2-r1r2=144 2

? 3 ? ?7π ? A.?0, π ?∪? ,2π ? ? 4 ? ? 4 ? ?π 3π ? B.? , ? 4 ? ?2 ?π 3π ? C.? , ? 4 ? ?2
D.?

∴P 是横坐标为± 7的椭圆上的点.(点 P 不可能为直角顶点) 设 P(± 7,|y|),把 x=± 7 7 y2 81 9 2 代入椭圆方程,知 + =1? y = ? |y|= . 16 9 16 4 8.(2009?江西)过椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P,F2 为 右焦点,若∠F1PF2=60°,则椭圆的离心率为( A. 2 2 1 2 B B. D. 3 3 1 3 )

?3π ,3π ? ? 2 ? ? 4
C

x2 y2 a b

[答案]

[解析] 将方程变形为:

x2
1 sinα



y2
1 - cosα

=1. C.

? ? 1 >0 ∴? -cosα 1 1 ? ?sinα <-cosα
1 >0 sinα

[答案]

[解析] 考查椭圆的性质及三角形中的边角关系运算. ,∴sinα >-cosα >0.

b2 把 x=-c 代入椭圆方程可得 yc=± , a b2 ∴|PF1|= a
2b2 ∴|PF2|= ,

∴α 在第二象限且|sinα |>|cosα |. 7.已知椭圆 + =1 的左、右焦点分别为 F1、F2,点 P 在椭圆上.若 P、F1、F2 是一个 16 9 直角三角形的三个顶点,则点 P 到 x 轴的距离为( A. 9 5 9 7 7 D B.3 9 D. 4 )

x2

y2

a

3b2 故|PF1|+|PF2|= =2a,即 3b2=2a2

a

又∵a =b +c ,∴3(a -c )=2a ,

2

2

2

2

2

2

c 1 3 ∴( )2= ,即 e= . a 3 3
x2 y2 9.如图 F1、F2 分别是椭圆a2+b2=1(a>b>0)的两个焦点,A 和 B 是以 O 为圆心,以|OF1| 为半径的圆与该左半椭圆的两个交点,且△F2AB 是等边三角形,则椭圆的离心率为( )
2

C.

[答案] [解析]

a =16,b =9? c =7? c= 7.
2 2

∵△PF1F2 为直角三角形.

11.已知椭圆的焦点是 F1(0,-1)、F2(0,1),P 是椭圆上一点,并且|F1F2|是|PF1|与 |PF2|的等差中项,则椭圆的方程是________________. [答案] 3 A. 2 [答案] [解析] D 连结 AF1,由圆的性质知,∠F1AF2=90° , 1 B.2 2 C. 2

y2 x2
4

+ =1 3

D. 3-1

[解析] 由题意设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0). ∵|PF1|+|PF2|=2|F1F2|,∴2a=4. ∴a=2,又 c=1,∴b =3, ∴方程为 + =1. 4 3 12.设 F1、F2 是椭圆 + =1 的两个焦点,P 是椭圆上一点,且|PF1|-|PF2|=1,则 3 4 cos∠F1PF2=____________. [答案] 3 5
2

y2 x2 a b

又∵△F2AB 是等边三角形, ∴∠AF2F1=30° , ∴AF1=c,AF2= 3c, c 2c 2c ∴e=a=2a= = 3-1.故选 D. c+ 3c

y2 x2

x2 y2

10.已知点(4,2)是直线 l 被椭圆 + =1 所截得的线段的中点,则 l 的方程是( 36 9 A.x-2y=0 B.x+2y-4=0 C.2x+3y-4=0 D.x+2y-8=0 [答案] D

x2

y2

)

[解析] ∵|PF1|+|PF2|=4,又|PF1|-|PF2|=1, 5 3 ∴|PF1|= ,|PF2|= ,|F1F2|=2, 2 2

∴cos∠F1PF2=

?5?2 ?3?2 2 ?2? +?2? -2 3 ? ? ? ?
5 3 2? ? 2 2

= . 5

[解析] 设截得的线段为 AB,A(x1,y1),B(x2,y2), 中点坐标为(x0,y0),利用“差分 法”得
2 y2 9 y1-y2 y0 9 1-y2 ,即 ? =- , 2 2=- x1-x2 36 x1-x2 x0 36

13.已知椭圆的短半轴长为 1,离心率 e 满足 0<e≤ ________. [答案] (2,4]
2

3 ,则长轴的取值范围为 2

y1-y2 1 1 ∴ k= =- ,∴直线 l 的方程为 y-2=- (x-4),即 x+2y-8=0. x1-x2 2 2
二、填空题

c2 a2-b2 1 [解析] 由 e = 2= 2 =1- 2 a a a
1 3 得 0<1- 2≤ . a 4

1 1 从而-1<- 2≤- , a 4 1 1 ∴ ≤ 2<1,故 1<a2≤4, 4 a ∴1<a≤2,即 2<2a≤4. 14.设 F1,F2 分别为椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左右两个焦点,若椭圆 C 上的点 A(1, 3 )到 F1,F2 两点的距离之和为 4,则椭圆 C 的方程是________,焦点坐标是________. 2 [答案]

1 2 2 ≤e <1? ≤e<1. 2 2 16.已知椭圆 E: + =1. 8 4 (1)直线 l:y=x+m 与椭圆 E 有两个公共点,求实数 m 的取值范围.

x2 y2

x2 y2 a b

(2)以椭圆 E 的焦点 F1、F2 为焦点,经过直线 l′:x+y=9 上一点 P 作椭圆 C,当 C 的 长轴最短时,求 C 的方程. [解析] (1)直线 l 与椭圆 E 有两个公共点的条件是:

x2 y2
4

+ =1 3

(±1,0)

[解析] 由|AF1|+|AF2|=2a=4 得 a=2.

x2 y2 ? ? + =1 方程组? 8 4 ? ?y=x+m
消去 y,得 3x2+4mx+2m2-8=0.

有两组不同解,

x2 y2 3 2 ∴原方程化为: + 2=1,将 A(1, )代入方程得 b =3. 4 b 2
∴椭圆方程为: + =1,焦点坐标为(±1,0). 4 3 三、解答题

x2 y2

∴Δ =16m2-12(2m2-8)>0, -2 3<m<2 3. ∴实数 m 的取值范围是(-2 3,2 3). (2)依题意,F1(-2,0)、F2(2,0). 作点 F1(-2,0)关于 l′的对称点 F1′(9,11). 设 P 是 l′与椭圆的公共点,则 2a=|PF1|+|PF2| =|PF′1|+|PF2|≥|F′1F2|= 7 +11 = 170.
2 2

x2 y2 15.已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的两个焦点分别为 F1、F2,斜率为 k 的直线 l 过左焦 a b
点 F1 且与椭圆的交点为 A、B,与 y 轴交点为 C,又 B 为线段 CF1 的中点,若|k|≤ 圆离心率 e 的取值范围. [解析] 设 l:y=k(x+c)则 C(0,kc),B(- , ). 2 2 14 ,求椭 2

c kc

∴(2a)min= 170, 170 85 77 此时,a2= = ,b2=a2-c2= . 4 2 2 ∴长轴最短的椭圆方程是 + =1. 85 77 2 2

c2 k2c2 ∵B 在椭圆上,∴ 2+ 2 =1. 4a 4b c2 k2c2 ke2 2 即 2+ 2 = 1 ? e + =4. 4a 4(a -c2) 1-e2
(4-e )(1-e ) 7 ∴k2= ≤ ? 2e4-17e2-8≤0? e2 2
2 2

x2

y2

18.椭圆中心是坐标原点 O,焦点在 x 轴上,e=

3 ,过椭圆左焦点 F 的直线交椭圆于 2

∵OP⊥OQ,∴ ? =-1, 即 x1x2+y1y2=0, ∴(1+k )x1x2+k c(x1+x2)+c k =0,② 联立①②解得 c2=3,k2= ∴a2=4,b2=1. 故椭圆方程为 +y =1. 4 4 . 11
2 2 2 2

y1 y2 x1 x2

P,Q 两点,|PQ|= ,且 OP⊥OQ,求此椭圆的方程.
[解析] 设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0),

20 9

x2 y2 a b

b2 当 PQ⊥x 轴时,F(-c,0),|FP|= . a
又∵|FQ|=|FP|, 且 OP⊥OQ, ∴|OF|=|FP|,即 c= , ∴ac=a2-c2,e2+e-1=0. ∴ e= +c), 5-1 3 .与题设 e= 不符,所以 PQ 不垂直于 x 轴,设 PQ 所在直线方程为 y=k(x 2 2

x2

2

b2 a

P(x1,y1),Q(x2,y2),
∵ e= 3 4 1 ,∴a2= c2,b2= c2. 2 3 3

∴椭圆方程可化为 3x2+12y2-4c2=0. 将 PQ 所在直线方程代入,得(3+12k )x +24k cx+12k c -4c =0. 24k2c 由韦达定理,得 x1+x2=- 2, 3+12k
2 2 2 2 2 2

x1x2=

12k2c2-4c2 . 3+12k2 24k c 2 4(12k c -4c ) (- )- 3+12k2 3+12k2
2 2 2 2

20 由|PQ|= ,得 1+k2. 9 = 20 .① 9


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