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新课标高中总复习课件(第1轮)(人教A版文科数学)广东专版第67讲 直线与圆的位置关系_图文

新课标高中总复习课件(第1轮)(人教A版文科数学)广东专版第67讲 直线与圆的位置关系_图文

1.了解下列定理:圆周角定理和圆心角定理 及其推论、圆内接四边形的性质与判定定理、 圆的切线的判定定理及性质定理、弦切角定 理、相交弦定理、割线定理、切线长定理、 切割线定理,并能应用上述定理及推论解 决相关的几何问题. 2.体会用分类讨论的方法证明定理,用运动 变化的思想进行探究. 1.与圆有关的角的概念 ?1?圆心角:顶点在圆心,两边和圆相交的角 叫做圆心角(如图①中的?AOB ). ? 2 ?圆周角:顶点在圆上,两边和圆相交的角 叫做圆周角(如图②中的?BAC ). ? 3? 弦切角:顶点在圆上,一边和圆相交,另 一边和圆相切的角叫弦切角(如图③中的?BAT ). 2.圆周角和圆心角定理 圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半. 圆心角的度数等于它所对弧的① ________ 推论1:同弧或等弧所对的圆周角② ______ ; 同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也③ _____.  推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是④ ________ ; 90?圆周角所对的弦是⑤ __________ . 3.圆内接四边形的判定 ?1? 如果一个四边形的一组对角互补,那么 这个四边形⑥ __________ 圆. ? 2 ? 如果一个四边形的一个外角等于它的内角 的对角,那么这个四边形的四个顶点共圆. 4.圆内接四边形的性质 圆的内接四边形的对角⑦ __________ ,并且 任何一个外角都等于它的⑧ __________ . 5.圆的切线的判定 经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线, 是圆的⑨ __________ . 6.圆的切线的性质 圆的切线垂直过切点的半径. 推论1:经过圆心且垂直于切线的直线 必经过⑩ ______. 推论2:经过切点且垂直于切线的直线 必经过 ________. ____ . 7.弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧所对的 8.相交弦定理 圆内的两条相交弦,被交点分成的两条 线段长的积 __________. 9.切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点 到割线与圆交点的两条线段长的 10.切线长定理 从圆外一点引圆的切线,它们的切线长 圆心和这一点的连线 ____ ; ______ 两条切线的夹角. ________. 【要点指南】 ①度数;②相等;③相等;④直角; ⑤直径;⑥内接于;⑦互补; ⑧内切角;⑨切线;⑩切点; 圆心; 圆周角; 相等; 比例中项; 相等; 平分 1.如图,四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形,已知 ∠BOD=100° ,则∠BCD 的大小是( A.100° C.50° ) B.130° D.150° 1 【解析】由题设∠BAD=2∠BOD=50° , 则∠BCD=180° -∠BAD=130° ,故选 B. 2.如图, AB 是⊙O 的直径, 点 P 在 AB 的延长线上, PC 与⊙O 相切于点 C,已知∠CAB=21° ,则∠CPA 的 大小为( ) B.69° D.59° A.48° C.21° 【解析】由题设∠BCP=∠CAB=21° , 且∠ABC=90° -∠CAB=69° , 则∠CPA=∠ABC-∠BCP=69° -21° =48° ,故选 A. 3.如图,四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形, 延长 AB 和 DC 相交于点 P,若 PB=1,PD=3, BC 1 2 则AD的值为 3 ;若 PA=2,则 PC 等于 3 . 【解析】因为∠P=∠P,∠A=∠PCB, PB BC 1 所以△PCB∽△PAD,所以PD=AD=3. PB PD PB· PA 2 由割线定理PC= PA ,则 PC= PD =3. 4.如图,PT 与⊙O 相切于点 T,割线 PA 与⊙O 相交于 点 A、B,PA 与 CT 相交于 D,已知 CD=2,AD=3,BD =4,则 PB= 20 . 【解析】由相交弦定理,CD· DT=AD· BD, AD· BD 3×4 所以 DT= CD = 2 =6. 由勾股定理,PT2=(PB+4)2-62=PB(PB+7), 求得 BP=20.故填 20. 一 圆内接四边形的判定与应用 【例 1】已知 AP 是⊙O 的切线,P 为切点,AC 是⊙O 的割线,与⊙O 交于 B,C 两点,圆心 O 在∠PAC 的内部, 点 M 是 BC 的中点. (1)求证:A,M,O,P 四点共圆; (2)求∠OAB+∠APM 的大小. 【解析】 (1)证明:连接 OP、OM. 因为 AP 是⊙O 的切线,所以 AP⊥OP. 因为 M 是 BC 的中点,所以 OM⊥AC. 因为四边形 AMOP 中,AP⊥OP,OM⊥AC, 所以∠OPA+∠OMA=180° , 所以 A,M,O,P 四点共圆. (2)由(1)得 A,P,O,M 四点共圆, 所以∠OAB=∠OPM, 又由 AP⊥PO, 所以∠OAB+∠APM=∠OPM+∠APM=∠APO=90° . 【点评】推理论证平面几何问题,结合图形细心观察, 合理联想,恰当转化,通过适当的添加辅助线,方能实 现由已知到待证的简捷推导. 素材1 如图,已知 CA、CB 是⊙O 的两条切线,A、B 是切 点,OC 交直线 AB 于 D,OF 垂直于 CF 于 F,交直线 AB 于 E,求证:OD· OC=OE· OF=OA2. 【分析】由证明结论的形式,可联想到射影定理及圆幂定理. 【解析】因为 AC、BC 是⊙O 的切线,A、B 为切点, 所以 OC⊥AB 于 D. 在△COA 中,∠CAO=90° , 故 OA2=OD· OC. 又 OF⊥CF 于 F,故∠CDE=∠EFC=90° , 故 D、C、E、F 四点共圆,所以 OD· OC=OE· OF, 所以有 OD· OC=OE· OF=OA2. 二 切割线定理及应用 【例 2】如图,△ABC 内接于圆 O,P 是△AB

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