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上海市宝山区2019届高三数学上学期期末教学质量监测试题2019031302100

上海市宝山区2019届高三数学上学期期末教学质量监测试题2019031302100

宝山区 2018-2019 学年第一学期期末高三年级数学学科教学质量监 测试卷
(120 分钟,150 分) 考生注意: 1.本试卷包括试题卷和答题纸两部分,答题纸另页,正反面; 2.在本试题卷上答题无效,必须在答题纸上的规定位置按照要求答题; 3.可使用符合规定的计算器答题. 一、填空题(本题满分 54 分)本大题共有 12 题,1-6 每题 4 分,7-12 每题 5 分,要求在 答题纸相应题序的空格内直接填写结果,每个空格填对得分,否则一律得零分. 1.函数 f ? x ? ? sin( ?2 x) 的最小正周期为 . .

2.集合 U ? R ,集合 A ? {x | x ? 3 ? 0}, B ? {x | x ? 1 ? 0} ,则 B ? CU A ? 3.若复数 z 满足 ?1 ? i ? z ? 2i ( i 是虚数单位) ,则 z ? 4.方程 ln(9 ? 3 ? 1) ? 0 的根为
x x

.



5.从某校 4 个班级的学生中选出 7 名学生参加进博会志愿者服务,若每一个班级至少有一 名代表,则各班的代表数有______种不同的选法.(用数字作答) 6.关于 x, y 的二元一次方程组的增广矩阵为 ?

? 1 2 -3 ? ? ,则 x ? y ? ?0 1 5 ?



7. 如 果 无 穷 等 比 数 列 ?an ? 所 有 奇 数 项 的 和 等 于 所 有 项 和 的 3 倍 , 则 公 比

q?

. .

8.函数 y ? f ? x ? 与 y ? ln x 的图像关于直线 y ? ? x 对称,则 f ? x ? ? 9.已知 A(2,3), B (1, 4), 且

? 1 ??? ? ? ?? AB ? (sin x,cos y ) , x, y ? ? ? , ? ,则 x ? y ? 2 ? 2 2?
2



10. 将 函 数 y ? ? 1 ? x 的 图 像 绕 着 y 轴 旋 转 一 周 所 得 的 几 何 容 器 的 容 积 是 .

11.张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清,只能看到:在 ?ABC 中, a, b, c 分 别是角 A, B, C 的对边,已知 b ? 2 2, ?A ? 45 ,求边 c 。显然缺少条件,若他打算补充 a 的大小,并使得 c 只有一解 .那么, a 的可能取值是 .(只需填写一个适合的答案)
*

?

12. 如 果 等 差 数 列 ?an ? , ?bn ? 的 公 差 都 为 d ? d ? 0 ? , 若 满 足 对 于 任 意 n ? N , 都 有

1

bn ? an ? kd ,其中 k 为常数, k ? N ? ,则称它们互为“同宗”数列.已知等差数列 ?an ? 中,
首 项 a1 ? 1 , 公 差 d ? 2 , 数 列

?bn ? 为

数 列 .

?an ? 的

“ 同 宗 ” 数 列 , 若

? 1 1 1 ? 1 lim ? ? ?? ? ? ? ,则 k ? n ?? a b anbn ? 3 ? 1 1 a2b2

二、选择题(本题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题都给出四个结论,其中有且只有一个结 论是正确的,必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 13.若等式 1 ? x ? x ? x ? a0 ? a1 (1 ? x) ? a2 (1 ? x) ? a3 (1 ? x) 对一切 x ? R 都成立,其
2 3 2 3

中 a0 , a1 , a2 , a3 为实常数,则 a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? ( (A) 2 . 14. “ x ? ??



? ? ?? , ”是“ sin(arcsin x) ? x ”的( ? 2 2? ?
(B)必要非充分.
2

(B) ?1 .

(C) 4 .

(D) 1 . )条件. (D)既非充分又非必要. )

(A)充分非必要. 15.关于函数 f ( x) ?

(C)充要.

3 的下列判断,其中正确的是( x ?2

(A)函数的图像是轴对称图形. (C)函数有最大值.

(B)函数的图像是中心对称图形. (D)当 x ? 0 时, y ? f ( x) 是减函数.

16.设点 M 、 N 均在双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1 上运动, F1、F2 是双曲线 C 的左、右焦点,则 4 3
) (C) 2 7 . (D)以上都不对.

???? ? ????? ???? ? MF1 ? MF2 ? 2 MN 的最小值为(
(A) 2 3 . (B)4 .

三、 解答题 (本题满分 76 分) 本大题共有 5 题, 解答下列各题必须在答题纸的规定区域 (对 应的题号)内写出必要的步骤. 17. (满分 14 分)本题有 2 小题,第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分. 如 图 , 在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , PA ? 平 面 ABCD , 正 方 形 ABCD 的 边 长 为 2, PA ? 4 ,设 E 为侧棱 PC 的中点. (1)求正四棱锥 E ? ABCD 的体积 V ; 2)求直线 BE 与平面 PCD 所成角 ? 的大小.

2

18. (满分 14 分)本题有 2 小题,第 1 小题 7 分,第 2 小题 7 分.

3 sin 2 x ?1 已知函数 f ? x ? ? 1 cos 2 x 2 ,将 f ? x ? 的图像向左移 ? ?? ? 0 ? 个单位得函数 0 0 1

y ? g ( x) 的图像.
,求 y ? g ? x ? 的单调递增区间; 4 ? ? ?? ? ?? (2)若 ? ? ? 0, ? , y ? g ? x ? 的一条对称轴为 x ? ,求 y ? g ? x ? , x ? ? 0, ? 的 12 ? 2? ? 2? (1)若 ? ? 值域.

?

19. (满分 14 分)本题有 2 小题,第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分. 某温室大棚规定:一天中,从中午 12 点到第二天上午 8 点为保温时段,其余 4 小时为 工人作业时段.从中午 12 点连续测量 20 小时,得出此温室大棚的温度 y (单位 : 度)与时间 t (单位:小时, t ? [0, 20] )近似地满足函数 y ? t ? 13 ?

b 关系,其中, b 为大棚内一天 t +2

中保温时段的通风量. (1)若一天中保温时段的通风量保持 100 个单位不变,求大棚一天中保温时段的最低温度 (精确到 0.1 C ) ;
0

3

(2)若要保持大棚一天中保温时段的最低温度不小于 17 C ,求大棚一天中保温时段通风 量的最小值.

0

20. (满分 16 分)本题有 3 小题,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 6 分. 已知椭圆 ? :

x2 ? y 2 ? 1 的左、右焦点为 F1、F2 . 4

(1)求以 F1 为焦点,原点为顶点的抛物线方程; (2)若椭圆 ? 上点 M 满足 ?F1MF2 ?

?
3

,求 M 的纵坐标 yM ;
?

(3)设 N (0,1 ) ,若椭圆 ? 上存在两个不同点 P, Q 满足 ?PNQ ? 90 ,证明直线 PQ 过 定点,并求该定点的坐标.

21. (满分 18 分)本题有 3 小题,第 1 小题 4 分,第 2 小题 7 分,第 3 小题 7 分. 如果数列 ?an ? 对于任意 n ? N ,都有 an ? 2 ? an ? d ,其中 d 为常数,则称数列 ?an ?
*

是“间等差数列” , d 为“间公差” . 若 数 列 ?an ? 满 足 an ? an ?1 ? 2n ? 35 , n ? N ,
*

a1 ? a ? a ? R ? .
(1)求证:数列 ?an ? 是“间等差数列” ,并求间公差 d ;

4

(2)设 S n 为数列 ?an ? 的前 n 项和,若 S n 的最小值为 ?153 ,求实数 a 的取值范围; (3)类似地:非零数列 ?bn ? 对于任意 n ? N ,都有
*

bn ? 2 ? q ,其中 q 为常数,则称数 bn

列 ?bn ? 是“间等比数列” , q 为“间公比” 。已知数列 ?cn ? 中,满足 c1 ? k ? k ? 0, k ? Z ? ,

?1? cn cn ?1 ? 2018 ? ? ? ?2?

n ?1

, n ? N ,试问数列 ?cn ? 是否为“间等比数列” ,若是,求最大的整
* *

数 k 使得对于任意 n ? N ,都有 cn ? cn ?1 ;若不是,说明理由.

高三数学参考答案 2018/12/15 一、填空题 1.

?
2 3

2. ? ?1,3? 8. y ? ?e 14.
?x

3. ?1 ? i 9.

4.0

5. 20

6. ?8 12. 2

7. ?

?
6

或? 15.

?
2



10.

2 ? 3

11. a ? 2或a ? 2 2

二、选择题 13. D 三、解答题

B

A

16.B

17.解:(1)因为正方形 ABCD 的边长为 2,所以 S ABCD ? 4 ,…………2 分

1 16 VP ? ABCD ? S ABCD ? PA ? , …………………………………4 分 3 3 因为 E 为侧棱 PC 的中点,所以 1 8 V ? VP ? ABCD ? .…………………………………………………6 分 2 3
(2)建立空间直角坐标系, A(0, 0, 0) , 如图所示: B (2, 0, 0) , P (0, 0, 4), C (2, 2, 0), E (1,1, 2) ,……8 分

??? ? ??? ? ???? BE ? ? ?1,1, 2 ? , PC ? ? 2, 2, ?4 ? , DC ? ? 2, 0, 0, ? ……………9 分
设平面 PCD 的一条法向量为 n ? ( a, b, c)

?

??? ? ? ? PC ? n ? 0 ? 2a ? 2b ? 4c ? 0 ? , ? ? ? ??? CD ? n ? 0 ? 2 a ? 0 ? ? ? 令 c ? 1 ,则 n ? (0, 2,1) ,……………………………………………………11 分

5

??? ? ? BE ? n 2 30 故 sin ? ? ??? , ? ? ? 15 BE n

……………………………………………13 分

所以,直线 BE 与平面 PCD 所成角大小 arcsin 18.解:(1) f ? x ? ?

2 30 .……………………14 分 15

3 cos 2 x ? sin 2 x ? ?2sin(2 x ? ) ……………………………3 分 3

?

g ? x ? ? f ? x ? ? ? ? ?2sin(2 x ? 2? ? ) 3 ?? ? ) ,…………………………………5 分 6 ? ? ? 3? ? 令 2 x ? ? ? 2 k? ? , 2 k? ? ? k ? Z ? ,……………………………6 分 6 ? 2 2 ? ? ? 2? ? ? 解得 x ? ? k? ? , k? ? ?k ? Z ? , 6 3 ? ? ? ? 2? ? ? 所以 y ? g ? x ? 的单调递增区间是 x ? ? k? ? , k? ? ? k ? Z ? 。………7 分 6 3 ? ? ? 4

?

?

,? g ? x ? ? ?2sin(2 x ?

?

(2)若 y ? g ? x ? 的一条对称轴 x ? 则 2?

?

? ? ?? ? ? ? 2? ? ? k? ? ,……………………………………………8 分 3 2 ? 12 ? k? ? ? ?k ? Z ? , 解得 ? ? 2 3
因为 ? ? (0,

12



?

?? ? g ? x ? ? ?2sin ? 2 x ? ? , 3? ? ? ? ? 4? ? ? ?? 因为 x ? ? 0, ? ,所以 2 x ? ? ? , ,……………………………12 分 3 ?3 3 ? ? 2? ? ?? ? 3 ? ? 因而 sin ? 2 x ? ? ? ? ? ,1? ,即值域为 [?2, 3 ] .……………………14 分 3? ? 2 ? ?
100 , D1 =[0,13) , D2 ? [13, 20] , t +2 100 当 t ? D1 时, y ? 13 ? t ? 是减函数, ………………………………………2 分 t?2 100 当 t ? D2 时, y ? t ? 13 ? 是增函数,………………………………………4 分 t +2
19.解:(1) y ? t ? 13 ? 所以, ymin ? y (13) ? 6.7 ,
0

2

) ,所以 ? ?

?

3

.…………………………………………10 分

因而,大棚一天中保温时段的最低温度是 6.7 C .………………………………6 分
6

0

(2)由题意 y ? t ? 13 ?

b ? 17 ,所以 b ? (t ? 2) ?17 ? t ? 13 ? ,…………8 分 t +2

令 g (t ) ? (t ? 2) 17 ? t ? 13 ? ?

?

?

?(t ? 2)(4+t ), t ? D1 , ?(t ? 2)(30 ? t ), t ? D2

只需求 g (t ) 的最大值,……………………………………………………………10 分 当 t ? D1 时, g (t ) 递增, g (t ) ? g (13)=255 ,…………………………………11 分 当 t ? D2 时, t ? 2=30 ? t ,即 t =14 , g max (t ) ? g (14) ? 256 ,……………12 分 故, g max (t ) ? g (14) ? 256 , 所以,大棚一天中保温时段通风量的最小值为 256 个单位. …………………14 分 20.解:(1)因为 c ? a ? b ? 3 ,所以 F1 ( ? 3, 0) , p ? 2 3 ,…………2 分
2 2 2

所以抛物线的标准方程是 y ? ?4 3 x .…………………………………………4 分
2

(2)设 MF1 ? m, MF2 ? n ,由椭圆性质得 m ? n ? 4 , 又 ?F1MF2 ?

?
3

,所以在 ?F1MF2 中,

?m ? n ? 4 ? 2 ,……………………6 分 ? m 2 ? n 2 ? F1 F2 2 2 cos ? F MF ? ? m ? n ? mn ? 12 ? 1 2 2mn ?

4 1 ? 3 ? S ?F1MF2 ? mn sin ? ,…………………………8 分 3 2 3 3 1 1 又 S ?F1MF2 ? F1 F2 ? yM ? 3 yM ? yM ? ,……………………………9 分 2 3 1 所以: yM ? ? .………………………………………………………………10 分 3 (3)设 lPQ : y ? kx ? b ,由题可知 k 必存在,
化简得: mn ?

? x2 ? ? y2 ? 1 ? ?1 ? 4k 2 ? x 2 ? 8kbx ? 4b 2 ? 4 ? 0 ,……………………………11 分 ?4 ? y ? kx ? b ? ??? ? ???? 设 P ( x1 , y1 ), Q ( x2 , y2 ) ,得 NP ? NQ ? 0 ,

即 x1 x2 ? ? y1 ? 1?? y2 ? 1? ? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? ? kb ? 1? ( x1 ? x2 ) ? b 2 ? 2b ? 1 ? 0 (*)……13 分

?8kb ? x1 ? x2 ? ? ? 1 ? 4k 2 2 由于 ? 代入(*)式得 5b ? 2b ? 3 ? 0 ,………………………15 分 2 ? x x ? 4b ? 4 1 2 ? 1 ? 4k 2 ? 3? 3 ? 解得 b ? 1 (舍)或 ? ,所以定点为 ? 0, ? ? .…………………………………16 分 5? 5 ?
21.解:(1)由 an ? an ?1 ? 2n ? 35 得 an ?1 ? an ? 2 ? 2n ? 33 ,……………………2 分

7

作差得 an ? 2 ? an ? 2 ? d ,………………………………………………………3 分 即数列 ?an ? 是“间等差数列” ,间公差 d ? 2 .…………………………………4 分 (2)由(1)得 ?a2 n ?1? , ?a2 n ? 分别以 a1 ? a, a2 ? ? a ? 33 为首项,公差为 2 的等差数列, 因此, ?

? ?a2 k ?1 ? a1 ? 2 ? k ? 1? ? 2k ? 2 ? a ? ?a2 k ? a2 ? 2 ? k ? 1? ? 2k ? 35 ? a
n ? 2k ? 1 ?n ? a ? 1 , , ? k ? N * ? ,……………………………………6 分 n ? 35 ? a , n ? 2 k ?

所以 an ? ?

又 an ? an ?1 ? 2n ? 35 ,所以, 当 n 为偶数时, S n ? ? a1 ? a2 ? ? ? a3 ? a4 ? ? ? ? an ?1 ? an ? ?

?33 ? 2n ? 37 n n 2 ? 35n , ? ? 2 2 2

当 n ? 18 时, S n 最小值为 S18 ? ?153 .……………………………7 分 当 n 为奇数, S n ? ? a1 ? a2 ? ? ? a3 ? a4 ? ? ? ? an ? 2 ? an ?1 ? ? an

?

?33 ? 2n ? 39 n ? 1 n 2 ? 35n ? ? n ? a ?1 ? ? a ? 17 ,…………8 分 2 2 2

当 n ? 17 时, S n 最小值为 S17 ? ?136 ? a ,因为 S n 的最小值为 ?153 , 因此只需 ?136 ? a ? ?153 ? a ? ?17 . ………………………10 分

?1? (3)由 cn cn ?1 ? 2018 ? ? ? ?2?
作比得,

n ?1

得 cn ?1cn ? 2

?1? ? 2018 ? ? ? ………………………11 分 ?2?

n

cn ? 2 1 ? ,所以数列 ?cn ? 是“间等比数列”. ………………13 分 cn 2



cn ? 2 1 2018 1 为首项,公比为 的等比数列, ? 得 ?c2 n ?1? , ?c2 n ? 分别以 c1 ? k , c2 ? cn 2 k 2

又 cn ? cn ?1 ,所以 c1 ? c2 ? c3 ? ? ,又因为 c1 ? 2c3 ? 4c5 ? ? , c2 ? 2c4 ? 4c6 ? ? , 所以,由 ?

?k ? 0 2018 k 得k ? ? ,……………………………………16 分 k 2 ?c1 ? c2 ? c3

解得 2018 ? k ?

4036 ,

即最大的整数 k ? 63 . …………………………………………………………18 分
8


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