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[高一数学]知识总结:《直线和圆复习课》课件新人教A版必修_图文

[高一数学]知识总结:《直线和圆复习课》课件新人教A版必修_图文

鹿邑三高 史琳

复习回顾 三角函数值
0
sin cos tan
?

30 45 60 90 120 135 150 180
? ? ? ? ? ? ?

?

0 1 0

1 2 3 2 3 3

2 2 2 2

3 2 1 2

1

3 2

2 2

1 2

0
?1

1

1 2 3 ? ? ? 0 2 2 2 3 不存 3 ? 3 ?1 ? 3 在

0
back

直线的倾斜角
当直线 l 与x轴相交时,我们取x轴作为基准, x轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角α 叫做直 线 l 的倾斜角(angle of inclination) .
当直线l与x轴平行或重合时, 规定它的倾斜角为 0? . y l

直线的倾斜角 ? 的取值范围为:

O

x

0 ? ? ? 180?.
?

直线的倾斜角
直线的倾斜程度与倾斜角有什么关系? 平面直角坐标系中每一条直线都有确定的倾斜角, 倾斜程度不同的直线有不同的倾斜角, 倾斜程 度相同的直线其倾斜角相同. y l?? l 已知直线上的一个点不能 l? 确定一条直线的位置;同样已 知直线的倾斜角α.也不能确定 一条直线的位置. O x 但是,直线上的一个点和 这条直线的倾斜角可以唯一确 定一条直线.

直线的斜率
如果使用“倾斜角”这个概念,那么这里的“坡 度(比)”实际就是“倾斜角α的正切”.

一条直线的倾斜角 ? 的正切值叫做这 条直线的斜率(slope).
通常用小写字母k表示,即

k ? tan?

(? ? 90? )

倾斜角是90? 的直线有斜率吗? 倾斜角是90? 的直线的斜率不存在.

直线的斜率
如:倾斜角 ? ? 45? 时,直线的斜率 k ? tan 45? ? 1.
? tan( 180 ? ? ) ? ? tan ? . 当 ? 为锐角时,
? 如:倾斜角为 ? ? 135 时,由

k ? tan 135? ? ? tan 45? ? ?1 即这条直线的斜率为 ? 1.

倾斜角α不是90°的直线都有斜率,并且倾 斜角不同,直线的斜率也不同.因此,可以用斜 率表示直线的倾斜程度.

直线的倾斜角与斜率
在平面直角坐标系中,当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之 间所成的角α 叫做直线l的倾斜角.

当直线和x轴平行或重合时,我们规定直线的 倾斜角为00.

? ? ?0 ,180 ?
0 0

倾斜角不是900的直线,它的倾斜角的正切叫做这 条直线的斜率,常用k来表示.

k ? tan?

? ? ? ( 90 )

倾斜角是90? 的直线的斜率不存在.

倾斜角与斜率的关系
⒈ 已知直线倾斜角求斜率: ⑴ ?为锐角时,k>0; k 越大,直线倾斜度越大 ⑵ ?为钝角时,k<0;k 越大,直线倾斜度越大

⑶ ?=0°时, k=0; ⑷ ?=90°时,k不存在。 ⒉ 已知直线斜率求倾斜角: k>0 时, ?为锐角; k<0 时, ?为钝角;
k=0 时, ?=0; k不存在, ?= 90°
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两点的斜率公式
经过两点P : 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 )的直线的斜率公式 y2 ? y1 k? ( x1 ? x2 ) x2 ? x1

公式的特点:
(1)与两点的顺序无关; (2) 公式表明,直线对于x轴的倾斜度,可以通过 直线上任意两点的坐标来表示,而不需要求出直 线的倾斜角; (3)当x1=x2时,公式不适用,此时直线与x轴 垂直,α=900

结论1: 如果直线L1,L2的斜率为k1,k2. 那么 L1∥L2 ? k1=k2
注意:上面的等价是在两直线斜率存在的前提下才成立的, 缺少这个前提,结论并不存立.

特殊情况下的两直线平行: 两直线的倾斜角都为90°,互相平行.

结论2: 如果两直线的斜率为k1, k2,那么,这两条直线垂直 的充要条件是

k1· k2= -1
注意:上面的等价是在两直线斜率存在的前提下才成立的, 缺少这个前提,结论并不存立. 特殊情况下的两直线平行与垂直. 当两条直线中有一条直线没有斜率时: 当另一条直线的斜率为0时, 则一条直线的倾斜角为900,另一条直线的倾斜角为0° 两直线互相垂直

l1 ? l2 ? k1 ? k2 ? ?1或l1 , l2一斜率不存在另一斜率 为0

㈠复习提问:

①直线方程有几种形式?

点斜式:已知直线上一点P1(x1,y1)的坐标, 和直线的斜率k,则直线的方程是 y ? y ? k ( x ? x ) 1 1 斜截式:已知直线的斜率k,和直线在y轴上的 截距b则直线方程是 y ? kx ? b
两点式:已知直线上两点P1(x1,y1),P2(x2, y2)则直线的方程是: y ? y1 x ? x1 ? y2 ? y1 x2 ? x1 截距式:已知直线在X轴Y轴上的截距为a,b, 则直线的方程是

x y ? ?1 a b

㈠复习提问:

方程名称 点斜式 斜截式 两点式 截距式

已知条件 点与斜率

直线方程
y ? y0 ? k ( x ? x0 )

局限性
垂直于x 轴直线 垂直于x 轴直线 垂直于坐 标轴直线 垂直坐标轴 过原点直线

斜率与截距 y ? kx ? b 两点 两截距
y ? y1 x ? x1 ? y2 ? y1 x2 ? x1

x y ? ?1 a b

1、直线方程的一般式Ax+By+c=0(A,B不同时为零)的两 方面含义:

(1)直线方程都是关于x,y的二元一次方程 (2)关于x,y的二元一次图象又都是一条直线
2、掌握直线方程的一般式与特殊式的互化。

一、新课引入
已知l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0, l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0

几何元素及关系

代数表示 A(a, b) l : Ax ? By ? C ? 0

点A
直线l 点A在直线l上
直线l1与l2的交点是A

Aa ? Bb ? C ? 0
? A1a ? B1b ? C1 ? 0 ?A a ? B b ? C ? 0 2 2 ? 2

问题1:方程组解的情况与方程组所表示的两条 直线的位置关系有何对应关系?

?l1 , l2相交 ? 唯一解 ? ? 直线l1 , l2解方程组?无穷多解 ? ?l1 , l2重合 ? ?l , l ? 无解 ? 1 2平行

复习回顾
方程组解的情况与方程组所表示的两条 直线的位置关系有何对应关系?

?l1 , l2相交 ? 唯一解 ? ? 直线l1 , l2解方程组?无穷多解 ? ?l1 , l2重合 ? ?l , l ? 无解 ? 1 2平行

两点间的距离
y
P1 P2

y
P2 P1

o

x

o

x

|P 1P 2 |?| x2 ? x1 |

|P 1P 2 |?| y2 ? y1 |

小结
平面内两点P1(x1,y1), P2(x2,y2) 的距离公式是

|P ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 ) 1P 2 |?
2

2

特别地, 原点O与任一点P( x, y )的距离 : | OP |? x ? y
2 2

|P 1P 2 |?| x2 ? x1 |

|P 1P 2 |?| y2 ? y1 |

小结

第一步:建立坐标系,用坐标表示有关的量; 第二步:进行有关的代数运算; 第三步:把代数运算结果“翻译”几何关系.

小结
1.平面内一点P(x0,y0) 到直线Ax+By+C=0

的距离公式是

d=

Ax0 + By0 + C A 2 + B2

当A=0或B=0时,公式仍然成立.

2.两条平行线Ax+By+C1=0与
Ax+By+C2=0的距离是
d= C1 - C2 A 2 + B2

复习回顾

第一步:建立坐标系,用坐标表示有关的量; 第二步:进行有关的代数运算; 第三步:把代数运算结果“翻译”所几何关系.

圆的方程
圆上任意点M(x, y)与圆心A (a,b)之间的距离能 用什么公式表示?

根据两点间距离公式:P 1P 2 ? 则点M、A间的距离为:MA ?
即:

?x2 ? x1 ? ? ? y2 ? y1 ?
2

2

.

?x ? a ?2 ? ? y ? b?2 .

p ? ?M | MA |? r?
( x ? a ) 2 ? ( y ? b) 2 ? r

( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2

知识小结
圆的标准方程

( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2

圆心在原点时,圆的方程
点与圆的位置关系

x ?y ?r
2 2

2

(x0-a)2+(y0-b)2>r2时,点M在圆C外; (x0-a)2+(y0-b)2=r2时,点M在圆C上;

(x0-a)2+(y0-b)2<r2时,点M在圆C内.

知识小结
2 2 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 圆的一般方程:

(当D2 ? E 2 ? 4F ? 0),方程表示以 D E 1 (? , ? )为圆心, D 2 ? E 2 ? 4F为半径的圆 2 2 2

圆的一般方程的特点:
(1)x 与y 的系数相同,不等于0 (2)没有xy项 (3)D ? E ? 4F ? 0
2 2 2 2

知识小结

当D=0,E=0或F=0时, 圆 有什么特点?
y C o y C x x

的位置分别
y C o

o

x

D=0

E=0

F=0

知识小结
有无交点,有几个.

判断直线与圆 的位置关系

直线l与圆C的方程组成的方 程组是否有解,有几个解.

判断圆C的圆心到直线l的距 离d与圆的半径r的关系(大 于、小于、等于).

知识小结
平面几何中,直线与圆有三种位置关系:
(1)直线与圆相交,有两个公共点; (2)直线与圆相切,只有一个公共点; (3)直线与圆相离,没有公共点.

(1)

(2)

(3)

知识小结 在平面几何中,判断直线与圆的位置关系?

△>0

△=0

△<0

知识小结
在平面几何中,判断直线与圆的位置关系?
d r r d

d r

d <r

d =r

d >r

知识小结 代数法: 1.将直线方程与圆方程联立成方程组; 2.通过消元,得到一个一元二次方程; 3.求出其判别式△的值; 4.比较△与0的大小关系: 若△>0,则直线与圆相交; 若△=0,则直线与圆相切; 若△<0,则直线与圆相离.

知识小结 几何法: 1.把直线方程化为一般式,并求出圆心坐 标和半径r; 2.利用点到直线的距离公式求圆心到直线的 距离d; 3.比较d与r的大小关系: 若d>r,则直线与圆相离; 若d=r,则直线与圆相切; 若d<r,则直线与圆相交.

课堂总结

(1) 利用两个圆的方程组成方程组的实数 解的个数: 2 2 2 ?( x ? a) ? ( y ? b) ? r1 设方程组? 2 2 2 ?( x ? c) ? ( y ? d ) ? r2 的解的个数为 n 两个圆相离 △<0 n=0
△=0 △>0

n=1
n=2

两个圆相切
两个圆相交

课堂总结 设两圆的半径分别为R和r (R>r),圆

心距为d ,那么:
(1)两圆外离 (2)两圆外切 (3)两圆相交 (4)两圆内切 (5)两圆内含 d>R+r d=R+r R-r<d<R+r d=R-r d<R-r

z D'

一、坐标平面内的点
C'

xoy平面上的点竖坐标为0 yoz平面上的点横坐标为0

A'

B'

O
C y x A

xoz平面上的点纵坐标为0

B

二、坐标轴上的点
x轴上的点纵坐标竖坐标为0 y轴上的点横坐标竖坐标为0 z轴上的点横坐标纵坐标为0

练习1:

点M(x,y,z)是空间直角坐标系Oxyz中的一点,写出满足 z 下列条件的点的坐标
(1)与点M关于x轴对称的点 (2)与点M关于y轴对称的点 (3)与点M关于z轴对称的点

(x,-y,-z) (-x,y,-z)
(-x,-y,z)
x M O y

(4)与点M关于原点对称的点 (-x,-y,-z)

(5)与点M关于xOy平面对称的点 (x,y,-z) (6)与点M关于xOz平面对称的点 (x,-y,z) (7)与点M关于yOz平面对称的点 (-x,y,z)

课堂小结
空间两点 M1 ( x1 , y1 , z1 )、 M 2 ( x2 , y2 , z2 ) 间的距 离公式为:
M1 M 2 ?

? x2 ? x1 ?2 ? ? y2 ? y1 ?2 ? ? z2 ? z1 ?2 .

x1 ? x2 y1 ? y2 , 的线段P1P2的中点M的坐标为P1( ), 2 2

连接平面上两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)

那么已知空间两点P1(x1,y1,z1)、 P2(x2,y2,z2),线段P1P2的中点M的坐标为什么?

x1 ? x2 y1 ? y2 z1 ? z2 ( , , ) 2 2 2


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