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6-特征值与特征向量_图文

6-特征值与特征向量_图文

特征值与特征向量

【探究】 1、计算下列结果:
?1 0 ? ? a ? ? a ? ?0 -1? ? 0 ? ? ? 0 ? ? ?? ? ? ?
?1 0 ? ? 0 ? ? 0 ? ?0 -1? ?b ? ? ? -b ? ? ?? ? ? ?
?

? a ? ? ?0? 以上的计算结果与 ? ? ?0 ? , ? ? ?b? ? ? ? ?

的关系是怎样的?

2、计算下列结果:
?1 0 ? ? a ? ? a ? ?0 2 ? ? 0 ? ? ? 0 ? ? ?? ? ? ?
?

?1 0 ? ? 0 ? ?0 2? ?b? ? ? ?? ?

?0? ? 2b ? ? ?

? a ? ? ?0? 以上的计算结果与 ? ? ?0 ? , ? ? ?b? ? ? ? ?

的关系是怎样的?

例题分析

?1 0 ? ? 表示一个压缩变换,它把下图 矩阵M ? ? 1 ?0 ? ? 2? 中的正方形ABCO沿x轴垂直压缩为原来的一半.
?1 1 ? ? ? M? ?? ?0 ? ?0 ? 0? ?1 ? ?1 ? ? 1? ? ? ? ? ? ?0? ?0? 2? ?1 0 ? ? ? M? ?? ?1 ? ? 0 ?

0? ?0? 0 ? ? ? ? ? 1? ? ? ? ?1? ?1 ? 2? ?2?

?1? ?0? 向量 ? ? 和 ? ? 变换后分别与它们的原象共线. ?0? ?1?

特征值及特征向量的定义

M?=l?
?1 ?1 ? ? M? ?? ?0 ? ?0 ? 0? ?1 ? ?1 ? ? 1? ? ? ? ? ? ?0? ?0? 2?

l为矩阵M的特征值, ?为矩阵M的属于特 征值 l的特征向量。
?1 0 ? ? M? ??? ?1 ? ? 0 ? 0? ?0? 0 ? ? ? ? ? 1? ? ? ? ?1? ?1 ? 2? ?2?

建构数学
?a b ? 设矩阵A= ? c d ? ,如果对于实数l,存在一个 ? ?

非零向量?,使得A?= l?,则称l是矩阵A的一个 特征值。 ?是矩阵A的属于特征值l的一个特征向量。 从几何上看,特征向量的方向经过变换矩 阵A的作用后,保持在同一条直线上。 这时,特征向量或者方向不变(l>0), 或者方向相反(l<0). 特别地,当l=0时,特征向量被变换成了0向量.

?a b ? 设l是矩阵A= ? c d ?的一个特征值,它的一个 ? ? x ? ? 特征向量为 ? ? ? ? ? y? ?ax + by ? l x ? x? ? x? ? x? 则 A ? ? ? l ? ? 即 ? ? 满足方程组 ? ? y? ? y? ? y? ?cx + dy ? l y

? (l - a) x - by ? 0 故 ? ?-cx + (l - d ) y ? 0 此时Dx=0、Dy=0.

(*)

因 ??0,所以x, y不全为0, l - a -b ?0 则 D=0 即 -c l - d

建构数学
?a b ? 设矩阵A= ? c d ? ,l R,我们把行列式 ? ?

-b 2 f (l ) ? ? l - (a + d )l + ad - bc -c l - d 称为A的特征多项式。
分析表明,如果l是矩阵A的特征值,则f (l)?0 ? x0 ? 此时,将l代入方程组(*),得到一组非零解 ? ? ? y0 ? ? x0 ? 即 ? ? 为矩阵A的属于l的一个特征向量. ? y0 ?

l -a

数学运用

?1 0 ? 例1、求出矩阵A= ? 的特征值和特征向量 ? ?0 -1?

总结求二阶矩阵特征值与特征向量的步骤:

思考:
能否从几何变换的角度直接观察出 矩阵A的特征向量?

【定理1】
如果?是矩阵A的属于特征值l的一个特征向 量,则对任意的非零常数t,t?也是矩阵A的属于 特征值l的特征向量。 其几何意义是什么? 属于矩阵的同一个特征值的特征向量共线.

思考:
属于矩阵的不同特征值的特征向量有何关系?

【定理2】
属于矩阵的不同特征值的特征向量不共线。

探究:
?1 0 ? 1、矩阵A= ? 的特征向量是什么? ? ?0 2 ?

怎样从几何角度加以解释?
? ? 2、从几何角度解释 ? ? ? ? 3 - 1? 2? 2 ? 的特征向量。 1 3? 2 2 ? ?

?0 0? 练习:求投影变换矩阵 M=? 的特征值和 ? ?0 1? 特征向量。
P73 习题2.5 1.求特征值与特征向量:

(2008江苏高考)
设椭圆4x2+y2=1在矩阵 A ? 曲线F, 求F的方程.
? 2 0? ? ? 对应的变换下得到 ?0 1 ?

? 3 2? (2009江苏高考)求矩阵 A ? ? ? 的逆矩阵. ?2 1 ?

(2010江苏高考)
在平面直角坐标系xoy中, 已知点A(0, 0), B(-2, 0),
? k 0? ?0 1? C(-2, 1), 设k为非零实数, 矩阵M= ? , ? , N= ? ? ?0 1 ? ?1 0?

点A, B, C在矩阵MN对应的变换下得到点分别为A1, B1,
C1, △A1B1C1的面积是△ABC面积的2倍, 求k的值。

知识回顾
1、平面向量基本定理: 如果e1 , e2是同一平面 内两个不共线的向量, 那么对于这一平面 内的任一向量a, 有且只有一对实数 l1,l2, 使a ? l1e1 + l2 e2

? x1 ? ? x2 ? ? x1 + x2 ? 2、向量?=? ?, ? ? ? ?.则?+?=? ? ? y1 ? ? y2 ? ? y1 + y2 ?

新课讲解
?1? ?1? ?0 ? 1、已知向量?=? ?  ,e1 ? ? ?, e2 ? ? ? ?3? ?0 ? ?1? 求实数m, n使?=m e 1 + ne2 .
2、自学课本69至70页内容,总结求 M ? 的步骤。
n

建构数学
【定义】

?a b ? 设矩阵 M= ? , ? 是矩阵 M 的属于特征值 l ? ?c d ? * n n 的任意一个特征向量,则 M ? ? l ? ( n ? N )

建构数学
【性质】 设 l1 、 l2 是二阶矩阵 M 的两个不同特征值, ? 1 、

? 2 是矩阵 A 的分别属于特征值 l1 、 l2 的特征向
量,对于平面上任意一个非零向量 ? ,设

? ? t1?1 + t2?2 ,则 M ? = t l ?1 + t l ?2
n

n 1 1

n 2 2

任意向量都可以用特征向量来表示。

数学运用
?1 2 ? ?1 ? 50 例2、已知M=? ,?=? ? ,试计算M ? . ? ?2 1? ?7 ? ?1 ? ?0? 例3、若矩阵A有特征向量i ? ? ? , 和j ? ? ? . ?0? ?1 ?

且它们所对应的特征值分别为l1=2,l2=-1 ?2 0 ? -1 A=? (1)求矩阵A及其逆矩阵A . ? ?0 -1? ? 1 -1 (2)求逆矩阵A 的特征值和特征向量; A -1= ? 2 ? x? ? 100 -1 (3)对任意向量?= ? ? , 求A ? 及A ? . ?0 ? y?

? 0? ? -1?

P73 习题2.5 3.
例4.已知二阶矩阵M有特征值l ? 8及对应的一个特征
?1? 向量 e1 ? ? ? ,并且矩阵对应的变换将点(-1,2)变成(-2,4) ?1?

? 6 2? (1) 求矩阵M; M ? ? ? ?4 4 ?

(2) 求矩阵M的另一个特征值及对应的特征向量;
(3) 求直线l: x-y+1=0在矩阵M的作用下的直线l/.

l/: x-y+1=0


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