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最新高三教案-函数的和差积商的导数1 精品

最新高三教案-函数的和差积商的导数1 精品

函数的和差积商的导数(1) 目的要求 1.了解函数的和差积的推导. 2.掌握两个函数的和、差、积的求导法则. 3.能正确运用两个函数的和、差、积的求导法则及已有的导数公式求某些简 单函数的导数. 教学过程 一、导入新课 1.复习 求下列导数: (x n ) ' , (x 3 ) ' , (x 2 ) ' . 2.提出问题:求函数 y=x 3 +x 2 的导数. (1)利用导数定义求 f ( x) ? x 3 ? x 2 的导数. f ' ( x ) ? lim ?x ? 0 f ( x ? ?x ) ? f ( x ) ( x ? ?x) 3 ? ( x ? ?x) 2 ? ( x 3 ? x 2 ) ? = lim ?x ?0 ?x ?x 3x 2 ? ?x ? 3x ? (?x)2 ? (?x)3 ? 2 x ? ?x ? (?x) 2 lim = lim (3x 2 ?3x ? ?x ? (?x)2 ? 2x + ?x ?0 ?x ?0 ?x ?x) ? 3x 2 ? 2 x. (2)探究: ( x 3 ) ' ? 3x 2 , ( x 2 ) ' ? 2x, ( x 3 ? x 2 ) ' ? 3x 2 ? 2x. 结论: ( x 3 ? x 2 ) ' ? ( x 3 ) ' ? ( x 2 ) ' . 3.猜想: [u( x) ? v( x)]' ? ? [u( x) ? v( x)]' ? ?. 二、新授 1. 对上面猜想的证明: [u( x) ? v( x)]' ? u ' ( x) ? v ' ( x). 证明:令 y ? f ( x) ? u( x) ? v( x). ?y ? [u( x ? ?x) ? v( x ? ?x)] ? [u( x) ? v( x)] ? [u( x ? ?x) ? u( x)] ? [v( x ? ?x) ? v( x)] ? ?u ? ?v. ? ?y ?u ?u ? ? . ?x ?x ?x ?y ?u ?v ? ?u ?v ? ? lim ? ? ? lim ? lim . 即 [u( x) ? v( x)]' ? u ' ( x) ? v ' ( x). ? ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x ? x ? ? lim 2. 法则 1 两个函数的和 (或差 )的导数,等于这两个函数的导数的和 (或差), 即: ( u ? v) ' ? u ' ? v ' . 3. 范例: ① 求 y ? x 3 ? sin x 的导数. ② 求 y ? x 4 ? x 2 ? x ? 3 的导数. 4. 法则 2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数, 加上第一个函数乘以第二个函数的导数,即: (uv) ' ? u ' v ? uv' . 指导学生尝试法则 2 的证明: 令 y ? f ( x) ? u( x) ? v( x). ?y ? u( x ? ?x)v( x ? ?x) ? u( x)v( x) = u( x ? ?x) ? v( x ? ?x) ? u( x) ? v( x ? ?x) ? u( x) ? v( x ? ?x ? u( x)v( x). ? y u ( x ? ?x) ? u ( x) vA ( x ? ?x ) ? v( x ) ? v( x ? ?x) ? u ( x ) ? lim = . ? x ? 0 ?x ?x ?x 因为 v( x) 在点 x 处可导,所以它在点 x 处连续,于是当 ?x ? 0 时, v( x ? ?x) ? v( x) .从而 ?y u ( x ? ?x) ? u ( x) v( x ? ?x) ? v( x) ? lim ? v( x ? ?x) ? u ( x) ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x ?0 ?x ?x lim ? u ' ( x)v( x) ? u( x)v ' ( x). 即: y ' ? (uv) ' ? u ' v ? uv' 说明: 1. (uv) ' ? u ' v ' . 2.若 C 为常数,则 (Cu) ' ? C 'u ? Cu ' ? 0 ? Cu ' ? Cu ' .即常数与函数的积的导数 等于常数乘以函数的导数. (Cu ) ' ? Cu ' . 三、 例1 例题 求 y ? 2x 3 ? 3x 2 ? 5x ? 4 的导数. 例 2 求 y ? (2 x 2 ? 3)(3x ? 2) 的导数. 解法 1: y ' ? (2x 2 ? 3) ' (3x ? 2) ? (2x 2 ? 3)(3x ? 2) ' ? 4x(3x ? 2) ? (2x 2 ? 3) ? 3 = 18x 2 ? 8x ? 9. 解法 2:? y ? (2x 3 ? 3)(3x ? 2) ? 6x 3 ? 4x 2 ?9 x ? 6 ? y ' ? 18x 2 ? 8x ? 9. 注:在可能的情况下,求导时应尽量少用甚至不用乘积的求导法则. 1 1 例 3 求 y ? x( x 2 ? ? 3 ) 的导数. x x 例 4 求 y ? ( x ? 1)( 1 x ? 1) 的导数. x x 例 5 求 y ? x ? sin cos 的导数. 2 2 提示:在求导之前,应利用代数、 三角恒等式等变形对函数进行化简, 然后求导, 这样可以减少运算量,提高运算速度,减少差错。 四、作业 同步练习 X18181

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