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唐山市滦县二中2018届高三上学期期中考试(理数)

唐山市滦县二中2018届高三上学期期中考试(理数)

唐山市滦县二中 2018 届高三上学期期中考试 数学(理科) 第 I 卷(选择题)
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) . 1.设集合 A={y|y=2x,x∈R},B={x|x2-1<0},则 A∪B= A.(-1,1) B.(0,1) C.(-1,+∞) D.(0,+∞)

2.复数 z 满足 z(1﹣i)=|1+i|,则复数 z 的共轭复数在复平面内的对应点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 的概率为 C. D.ln2 D.第四象限

3.在区间[1,2]上任选两个数 x,y,则 y< A.2ln2﹣1 B.1﹣ln2

4.在等比数列{an} 中,a1=4,公比为 q,前 n 项和为 Sn,若数列{Sn+2}也是等比数列,则 q 等于 A.2 B.﹣2 C.3 D.﹣3

5.函数 f(x)=x|x|.若存在 x∈[1,+∞) ,使得 f(x﹣2k)﹣k<0,则 k 的取值范围是 A. (2,+∞) B. (1,+∞) 6.若 A.0 B.1 C.32 C. (

1 ,+∞) 2

D. (

1 ,+∞) 4

,则|a0|﹣|a1|+|a2|﹣|a3|+|a4|﹣|a5|= D.﹣1

7.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为

A.32

B.18

C.16

D.10

8.如图程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”,执行该程序框图 (图中“m MOD n”表示 m 除以 n 的余数) ,若输入的 m,n 分别为 495,135,则输出的 m= A.0 B.5 C.45 D.90

1

9.设函数 x= 对称,它的周期是 π,则 ,0) B.f(x)在[

的图象关于直线

A. f(x)的一个对称中心是(

]上是减函数

C. f(x)的图象过点(0, ) D.将 f(x)的图象向右平移|φ|个单位得到 y=3sinωx 的 图象 10.过双曲线 ﹣ =1(a>0,b>0)的左焦点 F(﹣c,0)作圆 x2+y2=a2 的切线,切点 = ( + ) ,则双曲线的

为 E,延长 FE 交抛物线 y2=4cx 于点 P,O 为坐标原点,若 离心率为 A. B. C.

D.

11.设正实数 x,y,z 满足 x2﹣3xy+4y2﹣z=0.则当 ( A.0 ) B.1 C.

取得最大值时,

的最大值为

D.3

12. 若直角坐标平面内两点 P,Q 满足条件:①P,Q 都在函数 y=f(x)的图象上;②P,Q 关 于原点对称, 则称(P, Q)是函数 y=f(x)的一个“伙伴点组”(点组(P, Q)与(Q, P)看作同一个“伙
? ?kx-1,x>0, 伴点组”).已知函数 f(x)=? 有两个“伙伴点组”,则实数 k 的取值范围 ? ?-ln ?-x?,x<0,

是 A.(-∞,0) B.(0,1) 1 0, ? C.? ? 2? D.(0,+∞)

第 II 卷(非选择题)
二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) . 13.D 为△ABC 的 BC 边上一点, F,若 ,过 D 点的直线分别交直线 AB、AC 于 E、 = .

, 其中 λ>0,μ>0,

?x ? y ?1 ? 0 2y ? 14.若实数 x , y 满足 ? x ? 0 ,则 的最小值为 2 x ? 1 ?y ? 2 ?

.

15.已知 F 为抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点,过 F 作斜率为 1 的直线交抛物线 C 于 A、B 两点,设|FA|>|FB|,则 = .
2

16.在正三棱锥 V﹣ABC 内,有一个半球,其底面与正三棱锥的底面重合,且与正三棱锥的 三个侧面都相切,若半球的半径为 2,则正三棱锥的体积的最小时,其底面边长为 .

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) . 17.在右图所示的四边形 ABCD 中,∠BAD=90° ,∠BCD=150° ,∠BAC=60° ,AC=2, AB= 3+1. (1)求 BC; (2)求△ACD 的面积.

18.如图,已知矩形 ABCD 所在平面垂直于直角梯形 ABPE 所在平 面于直线 AB,且 AB=BP=2,AD=AE=1,AE⊥AB,且 AE∥BP. (1)设点 M 为棱 PD 的中点,求证:EM∥平面 ABCD; (2)线段 PD 上是否存在一点 N,使得直线 BN 与平面 PCD 所成角的正弦值 2 为 ?若存在,试确定点 N 的位置;若不存在,请说明理由. 5

19. 汽车 4S 店是一种以“四位一体”为核心的特许经营模式, 包括整车销售、 零配件销售、售后服务、信息反馈等.某品牌汽车 4S 店为了了解 A,B,C 三种类型汽车 质量问题, 对售出的三种类型汽车各取前 100 辆进行跟踪服务, 发现各车型一年内需要维修 的车辆数如下表 1. (1)某公司一次性从 4S 店购买该品牌 A,B,C 型汽车各一辆,记 ξ 表示这三辆车一年 内需要维修的车辆数,求 ξ 的分布列及数学期望.(把各类型汽车维修的频率视为其需要维 修的概率). (2)该品牌汽车 4S 店为了对厂家新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定 的各种价格进行试销相等时间,得到数据如下表 2. ^ 预计在今后的销售中, 销量与单价仍然服从y=bx+a, (b=-0.2, a= y -b x )的关系, 且该产品的成本是 500 元/件,为使 4S 店获得最大利润(利润=销售收入-成本),该产品的 单价应定为多少元? 表1 车型 频数 单位 x(元) 销量 y(件) 800 90 A 20 表2 820 84 840 83 860 80 880 75 900 68 B 20 C 40

x2 y2 20.设椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0),F1,F2 为左、右焦点,B 为短轴端点,且 S△BF1F2=4, a b 离心率为 2 ,O 为坐标原点. 2
3

(1)求椭圆 C 的方程; (2)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 C 恒有两个交点 M,N, → 且满足 → → → |OM+ON|=|OM-ON|?若存在,求出该圆的方程,若不存在,说明理由.

x+1 21.已知函数 f(x)= 2x . e m2 (1)当 x≥0 时,f(x)≤ (m>0)恒成立,求实数 m 的取值范围; x+1 x+1 (2)求证:f(x)ln x< x+2 . e

请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. 选修 4-4:坐标系与参数方程 将圆 曲线 . (1)求曲线 的普通方程; (2)设 , 是曲线 上的任意两点,且 23. 选修 4-5:不等式选讲 已知函数 (1)当 (2)若存在 时,解不等式 满足 , ; ,求 的取值范围. . ,求 的值. ( 为参数)上的每一个点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的 ,得到

4

数学(理科)参考答案
CDACD
13. 3

AACAA 4 14. 3

BB
15. 3+2 16.

17.(1)在△ABC 中,由余弦定理得 BC2=AB2+AC2-2AB· ACcos∠BAC=6,所以 BC= 6. BC AC (2)在△ABC 中,由正弦定理得 = , sin∠BAC sin∠ABC 则 sin∠ABC= 2 ,又 0° <∠ABC<120° , 2

所以∠ABC=45° ,从而有∠ACB=75° ,由∠BCD=150° ,得∠ACD=75° ,又∠DAC=30° , 所以△ACD 为等腰三角形,即 AD=AC=2,故 S△ACD=1.

18.(1)证明:因为平面 ABCD⊥平面 ABPE,且 BC⊥AB,所以 BC⊥平面 ABPE,所以 BA, → → → BP,BC 两两垂直.以 B 为原点,BA,BP,BC的方向分别为 x 轴、y 轴 、z 轴的正方向, 1? 建立如图所示的空间直角坐标系,则 P(0,2,0),D(2,0,1),M? ?1,1,2?,E(2,1,0),C(0,0,1), 1 -1,0, ?. 所以EM=? 2? ? → → 易知平面 ABCD 的一个法向量为 n=(0,1,0), →

1? 所以EM· n=? (0,1,0)=0,所以EM⊥n. ?-1,0,2?· 又 EM?平面 ABCD,所以 EM∥平面 ABCD. 2 (2)当点 N 与点 D 重合时,直线 BN 与平面 PCD 所成角的正弦值为 . 5 → → 理由如下:因为PD=(2,-2,1),CD=(2,0,0),设平面 PCD 的法向量为 n1=(x1,y1,z1),

? ?n · PD=0, 由? → ? ?n · CD=0,
1 1



?2x1-2y1+z1=0, ? 得? 取 y1 = 1 ,得平面 PCD 的一个法向量为 n1 = ? ?2x1=0.

(0,1,2). 2 假设线段 PD 上存在一点 N,使得直线 BN 与平面 PCD 所成角 α 的正弦值为 . 5 → → → → |BN· n1| → 设PN=λPD(0≤λ≤1), 则PN=λ(2,-2,1)=(2λ,-2λ,λ), → → → →

BN=BP+PN=(2λ,2-2λ,λ). 所以 sinα=|cos〈BN,n1〉|= 2 2 2 = . 2 2= 2 5· ? 2 λ? +? 2 -2λ? +λ 5· 9λ -8λ+4 5
2

|BN|· |n1| =

5

1 所以 9λ2-8λ+4=5,解得 λ=1 或 λ=- (舍去). 9 因此,线段 PD 上存在一点 N,当 N 点与 D 点重合时,直线 BN 与平面 PCD 所成角的 2 正弦值为 . 5 1 1 2 19.(1)根据表格,A 型车维修的概率为 ,B 型车维修的概率为 ,C 型车维修的概率为 . 5 5 5 由题意,ξ 的可能取值为 0,1,2,3, 4 4 3 48 1 4 3 4 1 3 4 4 2 56 P(ξ=0)= × × = ; P(ξ=1)= × × + × × + × × = ; 5 5 5 125 5 5 5 5 5 5 5 5 5 125 1 1 3 1 4 2 4 1 2 19 1 1 2 2 P(ξ=2)= × × + × × + × × = ; P(ξ=3)= × × = . 5 5 5 5 5 5 5 5 5 125 5 5 5 125 所以 ξ 的分布列为: ξ P 0 48 125 1 56 125 2 19 125 3 2 125

48 56 19 2 4 所以 E(ξ)=0× +1× +2× +3× = . 125 125 125 125 5 (2)设获得的利润为 w 元,根据计算可得 x =850, y =80, ^ 代入回归方程得 y =- 0.2x + 250. 所以 w= ( - 0.2x + 250)(x - 500) =- 0.2x2 + 350x - 125000, 350 该函数图象是开口向下,以直线 x=- =875 为对称轴的抛物线, -2× 0.2 所以当 x=875 时,w 取得最大值,即为使 4S 店获得最大利润,该产品的单价应定为 875 元. x2 y2 1 c 2 (1)因为椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0),由题意得 S△BF1F2= × 2c× b=4,e= = , a b 2 a 2

20.

a2=b2+c2,
?a2=8, ? x2 y2 所以? 2 椭圆 C 的方程为 + =1. 8 4 ? ?b =4,

(2)假设存在圆心在原点的圆 x2+y2=r2, 使得该圆的任意一条切线与椭圆 C 恒有两个交 → → → → → → 点 M,N,且满足|OM+ON|=|OM-ON|,则有OM· ON=0, 设 M(x1,y1),N(x2,y2),当切线斜率存在时,设该圆的切线方程为 y=kx+m,解方程 y=kx+m, ? ?2 2 组?x y 得 x2+2(kx+m)2=8,即(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0, ? 8 + 4 =1, ? 则 Δ=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-8)=8(8k2-m2+4)>0,即 8k2-m2+4>0, -4km± 16k2m2-4? 1 +2k2? ? 2 m2-8? 2m2-8 4km x1,2= ,∴x1+x2=- , 2 2,x1x2= 2? 1 +2k ? 1+2k 1+2k2
6

2 2 k2? 2 m2-8? 4k2m2 2 m -8k y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2= - 2 2+m = 2, 1+2k 1+2k 1+2k

→ → 要使OM· ON=0,需 x1x2+y1y2=0,

2m2-8 m2-8k2 即 + =0, 1+2k2 1+2k2

3m2-8 所以 3m2-8k2-8=0,所以 k2= ≥0, 8
2 ? ?m >2, 8 2 6 2 6 ? 又 8k -m +4>0,所以 所以 m2≥ ,即 m≥ 或 m≤- , 2 3 3 3 ?3m ≥8, ? 2 2

因为直线 y=kx+m 为圆心在原点的圆的一条切线, 所以圆的半径为 r= |m| m2 m2 8 2 6 8 2 , r = = = ,r= ,所求的圆为 x2+y2= , 2 2 2 3 3 3 1 + k 3 m - 8 1+k 1+ 8

2 6 2 6 此时圆的切线 y=kx+m 都满足 m≥ 或 m≤- , 3 3 2 6 x2 y2 2 6 2 6? 而当切线的斜率不存在时, 切线为 x=± , 与椭圆 + =1 的两个交点为? 或 ,± 3 8 4 3 ? ? 3 8 2 6? ?-2 6,± ,满足OM· ON=0.综上,存在圆心在原点的圆 x2+y2= 满足条件. 3 3 ? ? 3 m2 21.(1)∵x≥0,f(x)≤ (m>0)恒成立, x+1 ?x+1?2 x+1 ∴m2≥ >0 在 x≥0 时恒成立,即 m≥ x 在 x≥0 时恒成立. 2x e e x+1 -x 令 g(x)= x (x≥0),即 g′(x)= x ≤0,∴g(x)在[0,+∞)上单调递减, e e ∴g(x)max=g(0)=1,∴m 的取值范围是[1,+∞). x+1 x+1 x+1 - (2)证明:要证 f(x)ln x< x+2 ,即证 2x ln x< x+2 , ∵x>0,∴x+1>0,只需证 ln x<ex e e e
2

→ →

. 1 1 1 - - 令 h(x)=ex 2-ln x,则 h′(x)=ex 2- ,且 h′(1)= -1<0,h′(2)=1- >0, x e 2 1 ∴必有 x0∈(1,2),使得 h′(x0)=0,即 ex0-2- =0, ∴x0-2=-ln x0. x0 ∴h(x)在(0,x0)上是减函数,在(x0,+∞)上是增函数, ∴h(x)min=h(x0)=ex0-2-ln x0 ?x0-1?2 1 - - = +x0-2= >0,∴ex 2-ln x>0,即 ln x<ex 2. x0 x0 x+1 故 f(x)ln x< x+2 . e

22.(1)设 则有

为圆上的任意一点,在已知的变换下变为

上的点



7

(2) 曲线 C 化为极坐标方程得:

, 设A (

B ) , (

) ,

则|OA|=

,|OB|=

= 23.(Ⅰ)当 当 当 当 时,

= , ,解得 ,即 ,解得 . ,∴

=

.

时,不等式等价于 时,不等式等价于 时,不等式等价于



,∴解集为空集; ,∴ .

故原不等式的解集为 (Ⅱ) , ∵原命题等价于 ∴ .

,即



8


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