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高中数学人教A版必修五优化练习:第二章 2.1 第2课时 数列的通项公式与递推公式 含解析

高中数学人教A版必修五优化练习:第二章 2.1 第2课时 数列的通项公式与递推公式 含解析

[课时作业] [A 组 基础巩固]
?3n+1?n为奇数?, ? 1.数列{an}的通项公式为 an=? 则 a2a3 等于( ?2n-2?n为偶数?, ?

)

A.70 C.20 答案:C 2.数列 1,3,6,10,15,…的递推公式是(
? ?a1=1, A.? * ?an+1=an+n?n∈N ? ? ?a1=1, ? B.? * ?an=an-1+n?n≥2,n∈N ? ? ?a1=1, ? C.? * ? ?an+1=an+?n-1??n≥2,n∈N ? ? ?a1=1, D.? * ?an=an-1+?n-1??n∈N ? ?

B.28 D.8

)

解析:将数值代入选项验证即可. 答案:B 3.已知数列{an}满足 a1=2,an=nan-1(n≥2),则 a5 等于( A.240 C.60 解析:逐项代入可求. 答案:A an 4.若数列{an}中,a1=1,an+1= ,则数列{an}的第 4 项是( 3an+1 1 A. 16 1 C. 10 an 解析:∵a1=1,an+1= , 3an+1 1 4 a1 1 1 a2 1 ∴a2= = = ,a3= = = , 7 3a1+1 3+1 4 3a2+1 3 +1 4 1 B. 17 1 D. 25 ) B.120 D.30 )

1 7 a3 1 a4= = = ,故选 C. 10 3a3+1 3 +1 7 答案:C 5.数列{an}满足 a1=1,an+1=2an-1(n∈N*),则 a1 000=( A.1 C.1 000 B.1 999 D.-1 )

解析:a1=1,a2=2×1-1=1,a3=2×1-1=1,a4=2×1-1=1,…,可知 an=1(n∈N*), ∴a1 000=1. 答案:A 6.数列{an}中,a1=a2=1,an+2=an+1+an,则 a4=________. 解析:由 an+2=an+1+an, ∴a3=a1+a2=2, a4=a2+a3=1+2=3. 答案:3 7.已知数列{an}满足:a4n-3=1,a4n-1=0,a2n=an,n∈N*,则 a2 ________. 解析: 依题意得 a2 017=a4×505-3=1,a2 014=a2×1 007=a1 007=a4×252-1=0.故分别填 1,0. 答案:1 0
017=________;a2 014=

1 8. 数列{an}的通项公式 an=(-1)n· , 则 a3=________, a10=________, a2n-1=________. 2n+1 解析:分别用 3,10 和 2n-1 去代换通项公式中的 n,得 1 1 a3=(-1)3· =- , 7 2×3+1 1 1 a10=(-1)10· = , 2×10+1 21 1 1 - a2n-1=(-1)2n 1· =- . 2?2n-1?+1 4n-1 1 答案:- 7 1 21 1 - 4n-1

9.已知数列{an}中,a1=2,an+1=3an(n∈N*),求数列{an}的通项公式. an+1 解析:由 an+1=3an 得 =3. an a2 a3 a4 an 因此可得 =3, =3, =3,…, =3(n≥2). a1 a2 a3 an-1 将上面的 n-1 个式子相乘可得

a2 a3 a4 an - ··· …· =3n 1. a1 a2 a3 an-1 an - 即 =3n 1, a1 所以 an=a1· 3 n 1,


又 a1=2,故 an=2· 3n 1.


当 n=1 时,a1=2×30=2 也满足,故 an=2· 3n 1.


2an 10.已知数列{an}满足 a1=1,an+1= (n∈N*),试探究数列{an}的通项公式. an+2 2 2 2 2 解析:法一:将 n=1,2,3,4 依次代入递推公式得 a2= ,a3= ,a4= ,又 a1= , 3 4 5 2 2 ∴可猜想 an= . n+1 2 应有 an+1= ,将其代入递推关系式验证成立, n+2 2 ∴an= . n+1 2an 法二:∵an+1= , an+2 ∴an+1an=2an-2an+1. 1 1 1 两边同除以 2an+1an,得 - = . an+1 an 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ∴ - = , - = ,…, - = . a2 a1 2 a3 a2 2 an an-1 2 1 1 n-1 把以上各式累加得 - = . an a1 2 2 又 a1=1,∴an= . n+1 故数列{an}的通项公式为 an= 2 (n∈N*). n+1 [B 组 能力提升] 1.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n3,则 a6+a7+a8+a9 等于( A.729 C.604 B.387 D.854 )

解析:a6+a7+a8+a9=S9-S5=93-53=604,故选 C. 答案:C 2.数列 7,9,11,…中,2n-1 是数列的第________项( A.n-3 C.n-1 B.n-2 D.n )

解析:an=2(n+3)-1,设 2n-1 是数列的第 m 项,则 2n-1=2(m+3)-1,解得 m=n-3. 答案:A 3.已知数列{an}对任意的 p,q∈N*满足 ap+q=ap+aq,且 a2=-6,则 a10=________. 解析:∵ap+q=ap+aq, ∴a4=2a2=-12, a8=2a4=-24, a10=a2+a8=-30. 答案:-30 4.已知数列{an},a1=-1,a2=2,an=an-1+an-2(n≥3),则 a7=________. 解析:分别求出 a3,a4,a5,a6,即可求 a7. 答案:11 5.在数列{an}中,已知 a1=1,Sn=n2an,求该数列的通项公式. 解析:因为 Sn=n2an,① 所以 Sn-1=(n-1)2an-1 (n≥2).② ①-②得 an=Sn-Sn-1=n2an-(n-1)2an-1, 可得(n2-1)an=(n-1)2an-1, 即(n+1)an=(n-1)an-1,故 an n-1 = . an-1 n+1

n-1 a2 a3 所以 an=a1· · · ……· a1 a2 n+1 n-1 1 2 =1× × ×… 3 4 n+1 = 2 . n?n+1? 2 n?n+1?

答案:

6.已知数列{an}满足 lg(1+a1+a2+…+an)=n(n∈N*),求数列{an}的通项公式. 解析:∵Sn=a1+a2+…+an, 又 lg(1+a1+a2+…+an)=n,∴lg(1+Sn)=n. ∴Sn=10n-1. 当 n=1 时,a1=S1=9; 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(10n-1)-(10n 1-1)


=9×10n 1.


∵当 n=1 时也满足上式, ∴an=9×10n 1.



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