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山西省太原市2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题(详细答案)

山西省太原市2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题(详细答案)

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太原市 2018-2019 学年高一上学期期末考试 数学试卷
一、选择题。
1.下列事件中,随机事件的个数为( ) (1)明年 1 月 1 日太原市下雪; (2)明年 NBA 总决赛将在马刺队与湖人队之间展开; (3)在标准大气压下时,水达到 80 摄氏度沸腾. A. 0 【答案】C 【解析】 【分析】 对选项逐个分析, (3)为不可能事件, (1) (2)为随机事件,满足题意。 【详解】 (1) (2)对应的事件可能发生,也可能不发生,为随机事件, (3)在标准大气压下时,水达到 100 摄氏度沸腾,达到 80 摄氏度不可能沸腾,故为不可能事件,故答案为 C. 【点睛】本题考查了随机事件的判断,考查了学生对概念的掌握情况,属于基础题。 2.某工厂对一批产品进行了抽样检测,下图是根据抽样检测后的产品净重(单位:克)数据绘制的频率分布 直方图, 其中产品净重的范围是 则这组数据中众数的估计值是: ( ) ,样本数据分组为 , , , , , B. 1 C. 2 D. 3

A. 100 【答案】B 【解析】 【分析】

B. 101

C. 102

D. 103

由众数是最高的小矩形的底面中点横坐标,即可得到答案。 【详解】由图可知, 答案为 B. 【点睛】本题考查了频率分布直方图,考查了众数,考查了学生对基础知识的掌握。 对应的长方形最高,故众数为它所对应矩形底面中点的横坐标,即为 101,故

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3.某中学为了解高一、高二、高三这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异,拟从这三个年级中按人数 比例抽取部分学生进行调查,则最合理的抽样方法是( ) A. 随机数法 【答案】B 【解析】 【分析】 结合分层抽样、随机数法、抽签法、系统抽样的定义和性质,可选出答案。 【详解】由于为了解高一、高二、高三这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异,从这三个年级中按 人数比例抽取部分学生进行调查,这种抽样方法属于分层抽样,故选 B. 【点睛】本题考查了抽样方法的判断,考查了学生对分层抽样、随机数法、抽签法、系统抽样的定义和性 质的掌握,属于基础题。 4.已知随机事件 和 互斥,且 A. 0.5 【答案】A 【解析】 【分析】 由 ,可求出 ,进而可求出 . , . B. 0.1 , ,则 C. 0.7 ( ) D. 0.8 B. 分层抽样法 C. 抽签法 D. 系统抽样法

【详解】因为事件 和 互斥,所以 则 故答案为 A. ,故

【点睛】本题考查了互斥事件概率加法公式,考查了对立事件的概率求法,考查了计算求解能力,属于基 础题。 5.下图记录了甲乙两名篮球运动员练习投篮时,进行的 5 组 100 次投篮的命中数,若这两组数据的中位数相 等,平均数也相等,则 , 的值为( )

A. 8,2 【答案】D 【解析】 【分析】

B. 3,6

C. 5,5

D. 3,5

由茎叶图可得,甲的中位数是 65,从而可知乙的中位数也是 65,可得到 可求出 的值,即可得到答案。

,再利用二者平均数也相等,

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【详解】由题意可知,甲的中位数为 65,则乙的中位数也是 65,故 因为甲乙的平均数相等,所以 解得 .

, ,

故答案为 D. 【点睛】本题考查了茎叶图的知识,考查了中位数与平均数的求法,考查了学生对基础知识的掌握。 6.已知函数 A. 【答案】C 【解析】 【分析】 先判断函数是定义域上的增函数,然后由 零点所在区间。 【详解】由题意可知,函数 为 , 故函数 的零点的大致区间为 . 单调递增函数, , , , , ,可判断出 ,则其零点在的大致区间为( B. C. ) D.

【点睛】本题考查了函数的零点,考查了函数的单调性,属于基础题。 7.下列结论正确的是( A. 函数 无零点 B. 函数 在区间 上的图像是连续不断的一条曲线,若 ,则函数 在区间 内 在区间 ) 上的图像是连续不断的一条曲线,若 ,则函数 在区间 内

可能有零点,且零点个数为偶数 C. 函数 在区间 上的图像是连续不断的一条曲线,若 ,则函数 在区间 内

必有零点,且零点个数为奇数 D. 函数 在区间 上的图像是连续不断的一条曲线,若 ,则函数 在区间 内

必有零点,但是零点个数不确定 【答案】D 【解析】 【分析】 结合函数零点存在定理,对选项逐个分析,排除错误选项,可得到正确答案。 【详解】 对于选项 A, 取函数 , 在区间 上满足 , 而函数 在区间

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上有两个零点 2 和-2,故选项 A 错误; 对于选项 B,取函数 ,在区间 上满足 ,而函数 在区间 上有 1 个零

点 0,不是偶数,故选项 B 错误; 对于选项 C,取函数 ,在区间 上满足 ,而函数 在区间 上

有 2 个零点,分别为 0 和 2,不是奇数,故选项 C 错误; 对于选项 D,函数 间 在区间 上的图像是连续不断的一条曲线,若 ,则函数 在区

内必有零点,但是零点个数不确定,符合零点存在定理,故正确。

故答案为 D. 【点睛】本题考查了函数零点存在定理,考查了学生对函数零点问题的掌握情况,属于中档题。 8.经统计某射击运动员随机命中的概率可视为 ,为估计该运动员射击 4 次恰好命中 3 次的概率,现采用随

机模拟的方法,先由计算机产生 0 到 9 之间取整数的随机数,用 0,1,2 没有击中,用 3,4,5,6,7,8, 9 表示击中,以 4 个随机数为一组, 代表射击 4 次的结果,经随机模拟产生了 20 组随机数: 7525,0293,7140,9857,0347,4373,8638,7815,1417,5550 0371,6233,2616,8045,6011,3661,9597,7424,7610,4281 根据以上数据,则可估计该运动员射击 4 次恰好命中 3 次的概率为( ) A. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据 20 组随机数可知该运动员射击 4 次恰好命中 3 次的随机数共 8 组,据此可求出对应的概率。 【详解】由题意,该运动员射击 4 次恰好命中 3 次的随机数为:7525,0347,7815,5550,6233,8045, 3661,7424,共 8 组,则该运动员射击 4 次恰好命中 3 次的概率为 故答案为 A. 【点睛】本题考查了利用随机模拟数表法求概率,考查了学生对 基础知识的掌握。 9.已知函数 为 上的连续函数,且 ) C. 4 D. 5 ,使用二分法求函数零点,要求近似值的精确度达 . B. C. D.

到 0.1,则需对区间至多等分的次数为( A. 2 【答案】C 【解析】 【分析】 区间 B. 3

的长度为 1,没经过一次操作,区间长度变成原来的一半,经过 次后,区间长度变成 ,据此可

列出不等式。

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【详解】区间 则 ,即

的长度为 1,没经过一次操作,区间长度变成原来的一半,经过 次后,区间长度变成 , ,故对区间只需要分 4 次即可。

【点睛】本题考查了利用二分法求函数的零点,考查了精确度与区间长度和计算次数之间的关系,属于基 础题。 10.在边长分别为 3,3, 是( ) A. 【答案】B 【解析】 【分析】 作出满足题意的图形,分别求出三角形的面积和阴影部分的面积,利用几何概型的概率公式即可求出答案。 【详解】如下图, ,则 中 , , ,过点 作 边的垂线,垂足为 ,则 , B. C. D. 的三角形区域内随机确定一个点 ,则该点离三个顶点的距离都不小于 1 的概率

作出如下图的三个半径为 1 的扇形, 则图中阴影部分的点到三个顶点的距离都不小于 1, 设扇形的面积为 , 则 , ,

设阴影部分面积为 ,则

故该点离三个顶点的距离都不小于 1 的概率是 故答案为 B.

,

【点睛】本题考查了利用几何概型的概率公式求概率,考查了三角形面积与扇形面积的计算,属于中档题。

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11.下列说法正确的是( ) A. 对任意的 B. 若 C. 若 D. 若 , , , ,必有 ,对任意的 ,对任意的 ,总存在 ,必有 ,必有 ,当 时,总有

【答案】D 【解析】 【分析】 结合指数函数,对数函数,幂函数的性质,对选项逐个分析,利用特殊值法可排除错误选项。 【详解】对于选项 A,取 对于选项 B,取 故选项 B 错误; 对于选项 C,取 ,则 ,故选项 C 错误; ,可知 和 都是增函数,同时二者图象关于直线 对 , ,则 , , ,则 ,不满足 ,故 A 错误; , ,

故选项 D 一定正确。 (选项 D 中, 称,而函数 故存在 , ,当

也是增函数,当 足够大时,指数函数的增长速度最大,对数函数的增长速度最慢, 时,总有 .)

【点睛】本题考查了指数函数,对数函数及幂函数的性质,考查了学生对函数知识的掌握,属于中档题。 12.已知函数 值为( ) A. 1 【答案】C 【解析】 【分析】 有两个不同的根 , ,设 【详解】由题意, 设 则 故 故选 C. 【点睛】本题考查了函数的零点,考查了对数函数的性质,考查了学生分析问题、解决问题的能力,属于 中档题。 ,则 , , , , ,可得到 , ,计算可得 的值。 B. 2 C. 4 D. 不确定 ,若存在实数 ,使得关于 的方程 有两个不同的根 , ,则 的

有两个不同的根 , , ,

二、填空题。

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13.若 【答案】 【解析】 【分析】





,则这三个数字中最大的是___

将三个数都转化为 10 进制的数,然后比较大小即可。 【 详 解 】 , 故 最大。 【点睛】本题考查了不同进制间的转化,考查了学生的计算能力,属于基础题。 14.执行下图所示的程序框图,则输出的结果是______ , ,

【答案】16 【解析】 【分析】 运行程序,当 时, 不成立,输出 , , , , , . .

【详解】程序开始运行, 判断 判断 判断 判断 判断 成立,则 成立,则 成立,则 成立,则 不成立,则输出

【点睛】本题考查了程序框图,考查了学生的逻辑推理能力与计算求解能力,属于基础题。 15.下表记录了某公司投入广告费 与销售额 的统计结果,由表可得线性回归方程为 报当 时, __. ,据此方程预

..

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4 49

2 26

3 39

5 54

附:参考公式:



【答案】65.5 【解析】 【分析】 根据表中数据,先求出回归方程,然后将 【 详 解 】 由 题 意 , 代入,可得到答案。 , ,



, , 当 时, .



,故回归方程为

【点睛】本题考查了回归方程的求法,考查了学生的计算求解能力,属于基础题。 16.已知函数 (1) , (2) , , (3) ,且 , (4) ,给出下列结论: , (5) ,

则上述正确结论的序号是____. 【答案】 (2) (5) 【解析】 【分析】 利用函数的单调性及零点的定义可求出 【详解】因为函数 , , , 则 因为 令 ,故(2)正确, (1)错误; ,所以(3) (4)都错误; , ,则 , , , 的范围,通过函数的对称性,可求出 都是增函数,所以 ,即 ,即 , , , ,从而得到答案。 都是增函数。

..

..

由于函数 和



和 ,则

都相交,且



关于

对称,

也关于

对称,

的交点为

,即(5)正确。

故答案为(2) (5)

【点睛】本题考查了函数的零点知识,考查了指数函数、对数函数的性质,考查了函数图象的对称性,属 于难题。

三、解答题(解答应写出必要的文字说明,过程或演算步骤)
17.如图所示的茎叶图,是随机抽取某中学甲乙两班各 10 名同学,测量他们的身高(单位: 据。 )获得的数

(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高。 (2)计算甲班的样本方差。 【答案】 (1)乙班(2) 57.2 【解析】 【分析】 (1)分别根据茎叶图求出两个班的平均身高,比较大小即可得到答案; (2)利用方差公式计算即可。 【详解】 (1)甲班的平均数 乙班的平均数 故乙班的平均身高较高; (2)利用方差公式得甲班的样本方差为: 【点睛】本题考查了茎叶图知识,考查了平均数与方差的求法,考查了计算能力,属于基础题。 18.在某中学举行的电脑知识竞赛中,将高一年级两个班参赛的学生成绩进行整理后分成五组,绘制如图所 示的频率分布直方图.已知图中从左到右的第一,第三,第四,第五小组的频率分别是 0.30,0.15,0.10, 0.05,第二小组的频数是 40. , , ,

..

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(1)补齐图中频率分布直方图,并求这两个班参赛学生的总人数; (2)利用频率分布直方图,估算本次比赛学生成绩的平均数和中位数. 【答案】 (1)补图略,100(2) 平均数为 66.5 分,中位数为 64.5 分 【解析】 【分析】 (1) 由频率之和等于 1, 可求出第二小组的频率, 即可补全频率分布直方图, 进而可以求出总人数 结合频率分布直方图中平均数和中位数的求法,求出即可。 【详解】 (1)第二小组的频率为 这两个班参赛学生的总人数为 人. ,所以补全的频率分布直方图如图. ; (2)

(2)本次比赛学生成绩的平均数为:

中位数出现在第二组中,设中位数为 ,则 所以估计本次比赛学生成绩的平均数为 66.5 分,中位数为 64.5 分.



【点睛】本题考查了频率分布直方图的知识,考查了平均数与中位数的求法,属于基础题。 19.一袋中有 3 个红球,2 个黑球,1 个白球,6 个球除颜色外其余均相同,摇匀后随机摸球, (1)有放回地逐一摸取 2 次,求恰有 1 红球的概率; (2)不放回地逐一摸取 2 次,求恰有 1 红球的概率;

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【答案】 (1) 【解析】 【分析】

(2)

(1)有放回,每次抽取概率保持不变,分两种情况,①第一次摸到红球,第二次摸到黑球或白球,②第一 次摸到黑球或者白球,第二次摸到红球,然后分别求出两种情况的概率,然后相加即可; (2)无放回,每 次抽取概率发生变化,分两种情况,①第一次摸到红球,第二次摸到黑球或白球,②第一次摸到黑球或者 白球,第二次摸到红球,然后分别求出两种情况的概率,然后相加即可。 【详解】 (1) (2) 【点睛】本题考查了概率的求法,考查了相互独立事件的概率乘法公式,互斥事件概率加法公式,考查了 计算能力,属于基础题。 20.说明:请同学们在(A) (B)两个小题中任选一题作答. (A)小明计划搭乘公交车回家,经网上公交实时平台查询,得到 838 路与 611 路公交车预计到达公交 站 的时间均为 8:30,已知公交车实际到达时间与网络报时误差不超过 10 分钟. (1)若小明赶往公交 站搭乘 611 路,预计小明到达 站时间在 8:20 到 8:35,求小明比车早到的概率; (2)求两辆车到达 站时间相差不超过 5 分钟的概率. (B)小明计划搭乘公交车回家,经网上公交实时平台查询,得到 838 路与 611 路公交车预计到达公交 站 的之间均为 8:30.已知公交车实际到达时间与网络报时误差不超过 10 分钟 (1)求两辆车到达 站时间相差不超过 5 分钟的概率 (2)求 838 路与 611 路公交车实际到站时间与网络报时的误差之和不超过 10 分钟的概率。 【答案】 (A) (1) 【解析】 【分析】 (A) (1) 设公交车 611 路到达时间为 由几何概型得到概率为 , 小明到达时间为 ; (2)设 611 路公交车的到达时间为 , 小明比车早到, 则 , (2) (B) (1) (2)

,838 路公交车

的到达时间为

,两辆车相差时间不超过 5 分钟,则



.

(B) (1) 设 838 路到达公交 站的时刻为 8 点 分钟, 611 路到达公交 站的时刻为 8 点 分钟, 则



..

..

结合图形可得到两辆车到达 站时间相差不超过 5 分钟的概率

; (2)设 838 路公

交车实际到站时刻为 8 点 分钟,611 路公交车实际到站时刻为 8 点 分钟,则 图形可知,838 路与 611 路公交车实际到站时间与网络报时的误差之和不超过 10 分钟的概率 . 【详解】 (A) (1)设公交车 611 路到达时间为 到,则 ,由几何概型得到概率为 ,小明到达时间为

,结合

,小明比车早

(2)设 611 路公交车的到达时间为 时间不超过 5 分钟,则 ,

,838 路公交车的到达时间为 .

,两辆车相差

(B) (1) 设 838 路到达公交 站的时刻为 8 点 分钟, 611 路到达公交 站的时刻为 8 点 分钟, 则

..

..

由图可知,两辆车到达 站时间相差不超过 5 分钟的概率 (2)设 838 路公交车实际到站时刻为 8 点 分钟,611 路公交车实际到站时刻为 8 点 分钟,则

由图可知,838 路与 611 路公交车实际到站时间与网络报时的误差之和不超过 10 分钟的概率

【点睛】本题考查了几何概型,考查了数形结合的数学思想,考查了学生分析问题、解决问题的能力,属 于中档题。 21.说明:请考生在(A) 、 (B)两个小题中任选一题作答。 (A)已知函数 (1)求 (2)若 (B)已知函数 (1)求 (2)若 的零点; , 有 4 个零点,求 的取值范围. 的零点; 有三个零点,求实数 的取值范围. ;

【答案】 (A) (1) 【解析】



(2)

(B) (1)





,-1(2)

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【分析】 (A) (1)分 讨论即可。 (B ) (1)结合函数表达式,可得到 与值域,分三种情况 【详解】 (A) (1) 当 ∴ (2) ∴ 在 , 时, 的零点是 , , ∴ , . ,在 上,单调递增,值域为 ,如图: 或 ,解方程即可; (2)结合函数 讨论即可。 ∴ , ; 当 时, ∴ , , 与 的单调性 和 解方程即可得到答案; (2)结合函数 的单调性及值域,分 2 种情况 与

上,单调递增,值域是

若 令 则当 当 , , 时,

有三个零点, 时, 有 1 个解, 时, 有 2 个解,

有 2 个解,不成立, 有 1 个解,则 得 ,或者 ,-1, 的零点为 , , ,-1. ,在 上,单调递增,值域为 , , 在 上,单 或 , ,即 , ,满足题意。

(B ) (1)由 当 当 故 (2) 在 时, ,

上,单调递增,值域是 ,在 , 只有一个解, 有 2 个解 有两解,若 ,

调递增,值域为 令 当 当 若 ,则 时, 时, 时,

上,单调递增,值域为

,不成立; , 时, , 最多 1 个解,

..

..

即 当 若 即 故 .

时, 时, 有 2 个解 时, 时,

至多三个解,不合题意。 , , 时, , 有 2 解,

有 2 解,若 有 4 个解,满足题意。

【点睛】本题考查了函数的单调性与值域,考查了分段函数的性质,考查函数的零点,考查了学生逻辑推 理能力与计算求解能力,考查了数形结合的数学思想,属于难题。

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