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2017届高考数学大一轮总复习 第二章 函数、导数及其应用 2.4 二次函数与幂函数课件 文

2017届高考数学大一轮总复习 第二章 函数、导数及其应用 2.4 二次函数与幂函数课件 文


第二章

函数、导数及其应用

第四节

二次函数与幂函数

基础知识 自主学习

热点命题 深度剖析

思想方法 感悟提升

最新考纲 1.会用二次函数的图像理解、分析、研究二次函数的性质; 1 1 2.了解幂函数的概念;3.结合函数 y=x,y=x ,y=x ,y= ,y=x 的图像, x 2
2 3

了解它们的变化情况。

J 基础知识

自主学习

知 识 梳 理
1.二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 ax2+bx+c(a≠0) ①一般式:f(x)=___________________ ; a(x-m)2+n(a≠0) ; ②顶点式:f(x)=___________________ a(x-x1)(x-x2)(a≠0) 。 ③零点式:f(x)=____________________

(2)图像与性质
函数 y=ax2+bx+c(a>0) y=ax2+bx+c(a<0)

图像

定义域

R
?4ac-b2 ? ? ,+∞? ? 4a ? ____________________

R
? 4ac-b2? ?-∞, ? 4a ? ? ___________________

值域

在 单调性 上

? b? ?-∞,- ? 2a? ? _________________

? b? ?-∞,- ? 在 _________________ 上递 2a? ?







递 减 , 在 ? b ? ? - ,+∞? ? b ? ? 2a ? ____________________ 上递 ?- ,+∞? ? 2a ? _______________ 上 递 减 增

奇偶性

b=0 时为偶函数 当_______

b x=- 2a 对称轴 函数的图像关于直线_____________ 成轴对称

2.幂函数 (1) 定 义 : 如 果 一 个 函 数 , 底 数 是 自 变 量 x , 指 数 是 常 量 α , 即 y=xα ,这样的函数称为幂函数。 _______
(2)幂函数 y=x,y=x ,y=x ,y=x2,y=x-1 的图像与性质
2 3 1

函数 定义域 值域

y=x
R

y=x2
R
________ {y|y≥0} ________ 偶函数

y=x3
R {x|x≥0} _________ {y|y≥0} ________
_________ 非奇非偶 _________ 函数

y=x-1
{x|x≠0} _________ {y|y≠0} _________
_________ 奇函数

R

R
_________ 奇函数

奇偶性 _________ 奇函数

函数 单调

y=x

y=x2

y=x3

d

y=x-1 在(-∞,0) _________ 和 (0,+∞) _________ 上单调递减 _________



在 (-∞,0) ___________ _________ ___________ _________ _________ 在R上单 上单调递减, 在R上单 在 (0,+∞) 调递增 调递增 (0,+∞)上 _________ _______ 在 ___________ _________ 上单调递增 单调递增 __________

图像

公共 点

________ (1,1)

基 础 自 测
[判一判] (1)函数 y=(x+1)3,y=x3+1,y= x都是幂函数。( × ) 解析 错误。根据幂函数的定义可知,y= x是幂函数,而 y= (x+1)3 和 y= x3+1 都不是幂函数。
2

4ac-b2 (2)二次函数 y=ax +bx+c,x∈[m,n]的最值一定是 。( × ) 4a 解析 错误。当二次函数 y=ax2+bx+c 图像的对称轴在区间 [m,n]

4ac-b2 时,最值一定是 ;否则,不是。 4a

(3)二次函数y=ax2+bx+c,x∈R不可能是偶函数。( × )
解析 错误。当b=0时,二次函数为偶函数。 (4)幂函数的图像都经过点(1,1)和点(0,0)。( × )

1 解析 错误。y= 是幂函数,但图像不过点(0,0)。 x
(5)当n>0时,幂函数y=xn是(0,+∞)上的增函数。( √ )

解析 正确。由幂函数的图像可知。
?a>0, (6)关于 x 的不等式 ax +bx+c>0 恒成立的充要条件是? 2 ?b -4ac<0。
2

(× ) 解析 错误。当 a=0,b=0,c>0 时也恒成立。ax2+bx+ c>0(a≠0)恒
?a>0, 成立的充要条件是? ?Δ<0。

[练一练]
? 3 ? 1.已知点 M? ,3?在幂函数 f(x)的图像上,则 f(x)的表达式为( ?3 ?

)

A.f(x)=x2 1 C.f(x)=x 2
解析
α

B.f(x)=x-2 D.f(x)=x

? 3?α 设 f(x)= x ,则 3=? ? , ?3 ?

∴ α=-2,即 f(x)= x- 2。 答案 B

2.如果二次函数f(x)=3x2+2(a-1)x+b在区间(-∞,1)上是减函数,

则(

)
A.a=-2 C.a≤-2
2

B.a=2 D.a≥2

1-a 解析 函数 f(x)=3x +2(a-1)x+b 的对称轴为 x= , 即函数 f(x) 3 1-a 1-a 的单调递减区间为-∞, 。所以 ≥1,即 a≤-2。 3 3 答案 C

3.函数f(x)=(m-1)x2+2mx+3为偶函数,则f(x)在区间(-5,-3)上 ( ) A.先减后增 B.先增后减

C.单调递减
解析

D.单调递增

因为f(x)=(m-1)x2+2mx+3为偶函数,所以2m=0,即m=

0。所以f(x)=-x2+3。
由二次函数的单调性可知, f(x) =- x2 + 3 在 ( - 5 ,- 3) 上为增函 数。

答案 D

4 .函数 f(x) = x2 - 4x + 3 , x∈[0,4] ,则 f(x) 的最大值、最小值分别为 -1 3 ________ 、________ 。 解析 因为 f(x) = (x - 2)2 - 1 , x∈[0,4] ,所以 x = 2 时, f(x)min =- 1 , f(x)max=f(0)=f(4)=3。

5.二次函数f(x)的图像与x轴有两个交点A(1,0),B(-2,0),且图像过点 3 - (x-1)(x+2) 。 (0,3),则f(x)=_________________ 2

解析 设 f(x)=a(x-1)(x+2),又因为 f(0)=3,所以-2a=3,故 a=- 3 3 ,即 f(x)=- (x-1)(x+2)。 2 2

R

热点命题

深度剖析

考点一 幂函数的图像与性质
【例1】
A.-3

(1)已知幂函数f(x)=(n2+2n-2)·xn2-3n(n∈Z)的图像关于y
) B.1

轴对称,且在区间(0,+∞)上是减函数,则n的值为(

C.2

D.1或2

【解析】 由于f(x)为幂函数,所以n2+2n-2=1, 解得n=1或n=-3,经检验只有n=1适合题意,故选B。 【答案】 B

1 1 (2)若(2m+1) >(m2+m-1) ,则实数 m 的取值范围是( 2 2
? - 5-1? ? A.?-∞, 2 ? ? ? 5-1 ? B.? ,+∞? ? 2 ? ? 5-1 ? D.? ,2? ? 2 ?

)

C.(-1,2)

1 【解析】 因为函数 y=x 的定义域为[0,+∞), 2 且在定义域内为增函数, 2m+1≥0, ? ? 2 所以不等式等价于?m +m-1≥0, ? ? 2m+1>m2+m-1。 1 解 2m+1≥0,得 m≥- ; 2 - 5-1 5-1 解 m2+m-1≥0,得 m≤ 或 m≥ 。 2 2 解 2m+1>m2+m-1,得-1<m<2, 5-1 综上所述, ≤m<2。 2 【答案】 D

【规律方法】

(1)幂函数y=xα的图像与性质由于α的值不同而比较复

杂,一般从两个方面考查:
① α 的正负: α>0 时,图像过原点和 (1,1) ,在第一象限的图像上升; α<0时,图像不过原点,在第一象限的图像下降。

②曲线在第一象限的凹凸性: α>1 时,曲线下凸; 0<α<1 时,曲线上
凸;α<0时,曲线下凸。 (2)在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数。借

助其单调性进行比较,准确掌握各个幂函数的图像和性质是解题的关键。

1 变式训练 1 (1)函数 f(x)=x- 的大致图像是( 2

)

解析 A。

函数的定义域为 (0,+ ∞) ,且在定义域上为减函数。故选

答案 A

?3?2 ?2?3 ?2?2 a>c>b 。 (2)设 a=? ? ,b=? ? ,c=? ? ,则 a,b,c 的大小关系是________ ?5?5 ?5?5 ?5?5

2 解析 ∵ y=x (x>0)为增函数,∴a>c。 5
?2? ∵ y=? ?x(x∈ R)为减函数,∴c>b。∴a>c>b。 ? 5?

考点二

求二次函数的解析式
已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大

【例2】

值是8,求此二次函数的解析式。

【解】 解法一(利用一般式): 设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),

?4a+2b+ c=-1, ?a-b+c=-1, 由题意得? 2 4 ac - b ? ? 4a =8,

a=-4, ? ? 解得?b=4, ? ?c=7。

∴所求二次函数为 f(x)=-4x2+4x+7。

解法二(利用顶点式):设 f(x)=a(x-m)2+n。 ∵f(2)=f(-1), 2+ ?-1? 1 ∴抛物线的对称轴为 x= = 。 2 2 1 ∴m= 。又根据题意函数有最大值 8,∴n=8。 2
? 1?2 ? ∴ y=f(x)=a x- ? +8。 2? ? ? 1?2 ? ∵f(2)=-1,∴a 2- ? +8=-1, 2? ? ? 1?2 ? 解得 a=-4,∴f(x)=-4 x- ? +8=-4x2+4x+7。 2? ?

解法三(利用零点式):由已知 f(x)+1=0 两根为 x1=2,x2=-1, 故可设 f(x)+1=a(x- 2)(x+1), 即 f(x)=ax2-ax-2a-1。 又函数有最大值 ymax= 8, 4a?-2a-1?-a2 即 =8。 4a 解得 a=-4 或 a=0(舍 )。 ∴所求函数的解析式为 f(x)=-4x2+4x+7。

【规律方法】 二次函数解析式的求法
根据已知条件确定二次函数解析式,一般用待定系数法,选择规律如 下:

(1)已知三个点坐标,宜选用一般式;
(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等,宜选用顶点式; (3)已知图像与x轴两交点坐标,宜选用两根式。

变式训练2

已知二次函数f(x)的图像经过点(4,3),它在x轴上截得的线

段长为2,并且对任意x∈R,都有f(2-x)=f(2+x),求f(x)的解析式。 解 ∵f(2-x)=f(2+x)对x∈R恒成立, ∴f(x)的对称轴为x=2。 又∵f(x)图像被x轴截得的线段长为2, ∴f(x)=0的两根为1和3。

设f(x)的解析式为f(x)=a(x-1)(x-3)(a≠0)。
又∵f(x)的图像过点(4,3), ∴3a=3,a=1。

∴所求f(x)的解析式为f(x)=(x-1)(x-3),
即f(x)=x2-4x+3。

考点三

二次函数的图像与性质

高考对二次函数图像与性质进行单独考查的频率较低。二次函数的图 像与性质和一元二次方程、一元二次不等式等知识交汇命题是高考的热 点,常以选择题、填空题的形式出现,考查二次函数的图像识别、最值及 与其他函数图像的交点问题。

角度一:二次函数图像的识别问题 1.如图是二次函数y=ax2+bx+c图像的一部分,图像过点A(-3,0),对 称轴为x=-1。给出下面四个结论:

①b2>4ac;②2a-b=1;③a-b+c=0;④5a<b。

其中正确的是(
A.②④ C.②③

)
B.①④ D.①③

解析 因为图像与 x 轴交于两点,所以 b2-4ac>0,即 b2>4ac,①正 b 确;对称轴为 x=-1,即- =-1,2a-b=0,②错误;结合图像,当 2a x=-1 时,y>0,即 a-b+c>0,③错误;由对称轴为 x=-1 知,b=2a。 又函数图像开口向下,所以 a<0,所以 5a<2a,即 5a<b,④正确。 答案 B

2.设abc>0,二次函数f(x)=ax2+bx+c的图像可能是(

)

解析

b A 项,∵a<0,- <0,∴b<0。 2a

又∵abc>0,∴c>0,由图知 f(0)=c<0,故 A 错; b B 项,∵a<0,- >0,∴b>0。 2a 又∵abc>0,∴c<0,而 f(0)= c>0,故 B 错; b C 项,∵a>0,- <0,∴b>0。 2a 又∵abc>0,∴c>0,而 f(0)= c<0,故 C 错; b D 项,∵a>0,- >0,∴b<0。 2a 又∵abc>0,∴c<0,由图知 f(0)=c<0,故选 D。 答案 D

角度二:二次函数的最值问题
3.已知函数f(x)=-x2+2ax+1-a在x∈[0,1]时有最大值2,求a的值。 解 函数 f(x)=- x2+2ax+ 1-a=-(x-a)2+a2-a+1, 对称轴方程为

x=a。 当 a<0 时,f(x)max= f(0)=1-a, ∴1-a=2。∴a=-1。 当 0≤a≤1 时,f(x)max= a2-a+1, ∴a2-a+1=2,∴a2-a-1=0, 1± 5 ∴a= (舍去 )。 2 当 a>1 时,f(x)max= f(1)=a,∴a=2。 综上可知,a=-1 或 a=2。

4.设函数y=x2-2x,x∈[-2,a],若函数的最小值为g(a),求g(a)。

解 ∵函数 y=x2-2x= (x-1)2-1, ∴对称轴为直线 x=1。 ∵ x=1 不一定在区间[-2,a]内, ∴应进行讨论。 当-2<a≤1 时,函数在[-2,a]上单调递减,则当 x=a 时, y 取得最 小值,即 ymin=a2-2a; 当 a>1 时,函数在[-2,1]上单调递减,在[1,a]上单调递增,则当 x= 1 时,y 取得最小值,即 ymin=-1。
?a2-2a,-2<a≤1, 综上,g(a)=? ?-1,a>1。

角度三:求解一元二次不等式恒成立问题

5.(2016·景德镇模拟)设函数f(x)=ax2-2x+2,对于满足1<x<4的一切
?1 ? ? ,+∞? x值都有f(x)>0,则实数a的取值范围为________________ 。 ?2 ?

解析

? 1?2 1 解法一:当 a>0 时,f(x)=a?x- ? + 2- , a? a ?

1 ? ?a≤1, 由 f(x)>0,x∈ (1,4)得:? ? ?f?1?=a-2+2≥0

?1<1<4, ? a 或? ?1? 1 ?f?a?=2-a>0 ?? ?

1 ? ? ≥4, 或?a ? ?f?4?=16a-8+2≥0。

?1<a<1, ?4 ?a≥1, 所以? 或? 1 a ≥ 0 ? ?a>2 ?

?a≤1, ? 4 或? 3 ?a≥8, ?

1 1 所以 a≥1 或 <a<1 或?,即 a> 。 2 2
?f?1?=a-2+2≥0, 当 a<0 时,? 解得 a∈?; f ? 4 ? = 16 a - 8 + 2 ≥ 0 , ?

当 a=0 时,f(x)=-2x+2,f(1)=0,f(4)=-6,所以不合题意。 1 综上可得,实数 a 的取值范围是 a> 。 2

解法二:由 f(x)>0,即 ax2-2x+2>0,x∈ (1,4), 2 2 得 a>- 2+ 在 (1,4)上恒成立。 x x 2 2 ?1 1? 2 1 令 g(x)=- 2+ =-2? - ? + , x x ? x 2? 2 1 ?1 ? 1 ∈? ,1?,所以 g(x)max= g(2)= , x ?4 2 ? 1 所以要使 f(x)>0 在 (1,4)上恒成立,只要 a> 即可。 2

6.若关于x的不等式x2-4x-2-a>0在区间(1,4)内有解,则实数a的取 值范围是( ) B.a>-2 D.a<-6 A.a<-2 C.a>-6

解析

不等式x2-4x-2-a>0在区间(1,4)内有解等价于a<(x2-4x-

2)max ,令 g(x) = x2 - 4x - 2 , x∈(1,4) ,所以 g(x)≤g(4) =- 2 ,所以 a< - 2,故选A。 答案 A

角度四:二次函数的零点问题 7.已知关于x的二次函数f(x)=x2+(2t-1)x+1-2t。

(1)求证:对于任意t∈R,方程f(x)=1必有实数根;
证明 ∵f(x)=x2+(2t-1)x+1-2t, ∴f(x)=1?(x+2t)(x-1)=0。(*)

∴x=1是方程(*)的实根,即f(x)=1必有实数根。

1 3 ? 1? ? (2)若 <t< ,求证:函数 f(x)在区间(-1,0)及 0, ?上各有一个零点。 2 4 2? ? 1 3 证明 当 <t< 时,f(-1)=3-4t>0, 2 4
?1 ? f(0)=1-2t=2? -t?<0, ?2 ? ?1? 1 1 3 ? ? f = + (2t-1)+1-2t= - t>0。 4 ? 2? 4 2

又函数 f(x)的图像连续不间断,
? 1? ? 因此 f(x)在区间(-1,0)及 0, ?上各有一个零点。 2? ?

【规律方法】
或逐项排除。

(1)图像识别问题的处理技巧,辨析二次函数的图像应

从开口方向、对称轴、顶点坐标以及图像与坐标轴的交点等方面着手讨论

(2)二次函数的区间最值问题的类型及处理思路
①类型:A.对称轴、区间都是给定的; B.对称轴动、区间固定; C.对 称轴定、区间变动。

②解决这类问题的思路:抓住“三点一轴”数形结合,三点是指区间
两个端点和中点,一轴指的是对称轴,结合配方法,根据函数的单调性及 分类讨论的思想即可完成。

(3)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键
①一般有两个解题思路:一是分离参数;二是不分离参数。 ②两种思路都是将问题归结为求函数的最值,至于用哪种方法,关键

是看参数是否已分离。这两个思路的依据是: a≥f(x) 恒成立 ? a≥f(x)max ,
a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min。

S

思想方法

感悟提升

⊙1个注意——二次函数的二次项系数
在研究二次函数时,要注意二次项系数对函数性质的影响,往往需要 对二次项系数分大于零与小于零两种情况讨论。

⊙1组关系——“三个二次”之间的关系
(1)在研究一元二次方程根的分布问题时,常借助于二次函数的图像数 形结合来解,一般从:①开口方向;②对称轴位置;③判别式;④端点函 数值符号四个方面分析。 (2)在研究一元二次不等式的有关问题时,一般需借助于二次函数的图 像、性质求解。

⊙2种方法——二次函数图像对称轴的判断方法

(1)对于二次函数 y=f(x),如果 f(x1)=f(x2),那么函数 y=f(x)的图像关 x1+x2 于 x= 对称。 2 (2)对于二次函数y=f(x)对定义域内所有x,都有f(a+x)=f(a-x)成立的
充要条件是函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称(a为常数)。


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