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【创新设计】2015高考数学二轮专题整合:补偿练6平面向量与解三角形

【创新设计】2015高考数学二轮专题整合:补偿练6平面向量与解三角形


补偿练 6

平面向量与解三角形

(建议用时:40 分钟) → → 1.在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(1,3),B(-2,k),若向量OA⊥AB,则实数 k =________. 解析 → → → 因为 A(1,3),B(-2,k),所以AB=(-3,k-3),因为OA⊥AB,所以

-3+3k-9=0,解得 k=4. 答案 4

2.已知向量 a=(1,2),b=(2,0),c=(1,-2),若向量 λa+b 与 c 共线,则实数 λ 的值为________. 解析 由题知 λa+b=(λ+2,2λ),又 λa+b 与 c 共线,

∴-2(λ+2)-2λ=0,∴λ=-1. 答案 -1

3.若向量 m=(1,2),n=(x,1)满足 m⊥n,则|n|=________. 解析 ∵m⊥n,∴m· n=0,即 x+2=0,∴x=-2,

∴|n|= ?-2?2+12= 5. 答案 5

→ → 4. 如图所示的方格纸中有定点 O,P,Q,E,F,G,H,则OP+OQ=________.

解析

以 F 为坐标原点,FP,FG 所在直线为 x,y 轴建系,假设一个方格长

→ → 为单位长,则 F(0,0),O(3,2),P(5,0),Q(4,6),则OP=(2,-2),OQ=(1,4), → → → → → → 所以OP+OQ=(3,2),而恰好FO=(3,2),故OP+OQ=FO. 答案 → FO

-1-

3 5. 在△ABC 中, ∠A=60° , AB=2, 且△ABC 的面积为 2 , 则 BC 的长为________. 解析 1 S=2×AB· ACsin 1 3 3 60° =2×2× 2 AC= 2 ,所以 AC=1,所以 BC2=

AB2+AC2-2AB· ACcos 60° =3,所以 BC= 3. 答案 3

→ → 6. 在边长为 1 的正方形 ABCD 中, E, F 分别为 BC, DC 的中点, 则AE· AF=________.

解析

→ → 1 → → → 1→ → → → → → 因为AE=AB+2AD,AF=AD+2AB,AD· AB=0,所以AE· AF=(AB+

1 → → 1→ 1→2 1 → 2 (AD+2AB)=2AB +2AD =1. 2AD)· 答案 1

7.在不等边△ABC(三边均不相等)中,三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b, cos A b c,且有cos B=a,则角 C 的大小为________. 解析 2A=sin 依题意得 acos A=bcos B,sin Acos A=sin Bcos B,sin

π 2B,则 2A=2B 或 2A=π-2B,即 A=B 或 A+B=2,又△ABC 是不

π π 等边三角形,因此 A+B=2,C=2. 答案 π 2

8.已知直角坐标系内的两个向量 a=(1,3),b=(m,2m-3),使平面内的任意一个 向量 c 都可以唯一地表示成 c=λa+μb,则 m 的取值范围是________. 解析 答案 m 2m-3 由题意可知向量 a 与 b 为基底,所以不共线, 1 ≠ 3 ,得 m≠-3. (-∞,-3)∪(-3,+∞)

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→ 1→ → → 9.在边长为 1 的正三角形 ABC 中,BD=3BA,E 是 CA 的中点,则CD· BE等于 ________.

解析

建立如图所示的直角坐标系,则

? 1 ? A?-2,0?, ? ? ? 3? ?1 ? B?2,0?,C?0, ?,依题意设 D(x1,0),E(x2,y2), ? ? 2? ? → 1→ ∵BD=3BA, 1 1 ? ? 1 ∴?x1-2,0?=3(-1,0),∴x1=6. ? ? 1 3 ∵E 是 CA 的中点,∴x2=-4,y2= 4 . → → ?1 3? ? 3 3? ?- , ? ∴CD· BE=? ,- ?· 6 2 4 4 ? ?? ? 1 ? 3? ? 3 1 3? =6×?-4?+?- ?× 4 =-2. ? ? ? 2? 答案 1 -2

10.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,S 表示△ABC 的面积, 若 acos 解析 B+bcos A=csin 1 C,S=4(b2+c2-a2),则角 B 等于________. B+sin Bcos A=sin Csin C,即 sin(B

由正弦定理得 sin Csin

Acos

+A)=sin

C,因为 sin(B+A)=sin

C,所以 sin

C=1,C=90° ,根据 A,代入

1 三角形面积公式和余弦定理得,S=2bcsin
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A,b2+c2-a2=2bccos

1 已知得2bcsin 答案 45°

1 A=4· 2bccos

A,所以 tan A=1,A=45° ,因此 B=45° .

11.在△ABC 中,三个内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若△ABC 的面积为 S,且 2S=(a+b)2-c2,则 tan C 等于________. 解析 1 由 2S=(a+b)2-c2,得 2S=a2+b2+2ab-c2,即 2×2absin C-2ab=a2+b2-c2,又 cos C+1= C= C=a2

+b2+2ab-c2,所以 absin absin

a2+b2-c2 2ab = C 2 cos

C-2ab sin C = 2 -1,所以 cos 2ab

sin C 2C 2 ,即 2cos 2 =sin

C 2 ,所以 tan 4 -3

C 2tan 2 2×2 C 4 = 2 ,所以 tan C = = 2=- . 2 C 3 1 - 2 1-tan2 2

答案

→ 12.已知△ABC 的外接圆的圆心为 O,半径为 1,若 3OA+ → → 4OB+5OC=0,则△AOC 的面积为________. 解析
2

→ → → → → → → → 依题意得,(3OA+5OC)2=(-4OB)2,9OA2+25OC2+30OA· OC=16OB

3 4 , 即 34+30cos∠AOC=16, cos∠AOC=-5, sin∠AOC= 1-cos2∠AOC=5, 2 ∠AOC=5.

1→ → △AOC 的面积为2|OA||OC|sin 答案 2 5

13.已知向量 a 是与单位向量 b 夹角为 60° 的任意向量,则对任意的正实数 t,|ta -b|的最小值是________. 解析 ∵a 与 b 的夹角为 60° ,且 b 为单位向量,

|a| ∴a· b= 2 ,|ta-b|= ?ta-b?2= |a|2t2-|a|t+1= 1 ? 3 3 ? |a|2?t-2|a|?2+4≥ 2 . ? ?

-4-

答案

3 2

14.给出以下结论: → → ①在三角形 ABC 中,若 a=5,b=8,C=60° ,则BC· CA=20; → → → ②已知正方形 ABCD 的边长为 1,则|AB+BC+AC|=2 2; → → → ③已知AB=a+5b,BC=-2a+8b,CD=3(a-b),则 A,B,D 三点共线. 其中正确结论的序号为__________. 解析

→ → → → 对于①, BC· C A =abcos(π-C)=-abcos C=-20; 对于②, |AB+BC

→ → → → → → → +AC|=|2AC|=2|AC|=2 2;对于③,因为AB=a+5b,BD=BC+CD=a+5b, → → 所以AB=BD,则 A,B,D 三点共线.综上可得,②③正确. 答案 ②③

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