9299.net
大学生考试网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

安徽省合肥168中学2016届高三数学上学期10月月考试卷 理(含解析)

安徽省合肥168中学2016届高三数学上学期10月月考试卷 理(含解析)


2015-2016 学年安徽省合肥 168 中学高三 (上) 10 月月考数学试卷 (理 科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.把答案填在答题卡的相应位置.) 1.设集合 M={(x,y)|x2+y2=1,x∈R,y∈R},N={(x,y)|x2﹣y=0,x∈R,y∈R},则集 合 M∩N 中元素的个数为( A.1 2.函数 y= A.[﹣ ,﹣1)∪(1, ] B.2 的定义域是( ) C.3 ) B.(﹣ ,﹣1)∪(1, ) C.[﹣2, D.4

﹣1)∪(1,2]

D.(﹣2,﹣1)∪(1,2) )

3.设曲线 y=ax﹣ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 y=2x,则 a=( A.0 B.1 的点是( C.2 ) C.( , ) D.3

4.在曲线 y=x2 上切线倾斜角为 A.(0,0)

B.(2,4)

D.( , )

5.偶函数 f(x)的定义域为 R,若 f(x+2)为奇函数,且 f(1)=1,则 f(89)+f(90)为 ( ) B.﹣1 C.0 D.1 )

A.﹣2

6.已知 a 为常数,则使得 A.a>0 B.a<0

成立的一个充分而不必要条件是( C.a>e =( C.﹣9
2

D.a<e ) D.﹣6 =( )

7.若 f′(x0)=﹣3,则 A.﹣3 B.﹣12
3

8.已知三次函数 f(x)=ax +bx +cx+d 的图象如图所示,则

-1-

A.﹣1

B.2

C.﹣5

D.﹣3

9.已知 f(x)=x3﹣3x+m,在区间[0,2]上任取三个数 a,b,c,均存在以 f(a),f(b), f(c)为边长的三角形,则 m 的取值范围是( A.m>2 B.m>4 ) C.m>6 D.m>8
2

10.已知 f(x),g(x)都是 R 上的奇函数,f(x)>0 的解集为(a ,b),g(x)>0 的 解集为( , ),且 a < ,则 f(x)g(x)>0 的解集为(
2



A.(﹣ ,﹣a2)∪(a2, ) C.(﹣ ,﹣a )∪(a ,b)
2 2

B.(﹣ ,a2)∪(﹣a2, ) D.(﹣b,﹣a )∪(a , )
2 2

11.设 x,y∈R,且满足 A.1
|x|

,则 x+y=( C.3 D.4



B.2

12.函数 y=2 的定义域为[a,b],值域为[1,16],当 a 变动时,函数 b=g(a)的图象可以 是( )

A.

B.

C.

D.

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中的横线上.)

-2-

13.f(x)=x(x﹣c) 在 x=2 处有极大值,则常数 c 的值为 . 14.已知集合 ,若 3∈M,5?M,则实数 a 的取值范围是 .

2

15.x 为实数,[x]表示不超过 x 的最大整数,则函数 f(x)=x﹣[x]的最小正周期 是 .

16.已知 f(x),g(x)都是定义在 R 上的函数,g(x)≠0,f′(x)g(x)>f(x)g′ (x),且 f(x)=axg(x)(a>0 且 a≠1), 前 n 项和大于 62,则 n 的最小值为 . + = .若数列{ }的

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答 写在答题卡的制定区域内.) 17.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且它的图象关于直线 x=1 对称. (1)证明:f(x)是周期为 4 的周期函数; (2)若 f(x)= (0<x≤1),求 x∈[﹣5,﹣4]时,函数 f(x)的解析式.

18.已知函数 f(x)=

是奇函数.

(1)求实数 m 的值; (2)若函数 f(x)在区间[﹣1,a﹣2]上单调递增,求实数 a 的取值范围. 19.已知函数 f(x)=ln .

(1)求曲线 y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程; (2)求证:当 x∈(0,1)时,f(x)>2(x+ )

20.已知 P(x,y)为函数 y=1+lnx 图象上一点,O 为坐标原点,记直线 OP 的斜率 k=f(x).

(Ⅰ)若函数 f(x)在区间(a,a+ )(a>0)上存在极值,求实数 a 的取值范围;

-3-

(Ⅱ)如果对任意的 x1,x2∈[e ,+∞),有|f(x1)﹣f(x2)|≥m| 取值范围. 21.已知 xn 是函数 f(x)=x +x (1)证明: <xn+1<xn<1; (2)证明: < .
n n﹣1

2

|,求实数 m 的

+x

n﹣2

+…+x﹣1(x>0,n∈N 且 n≥2)的零点.

22.已知曲线 C1:ρ =1,曲线 C2:

(t 为参数)

(1)求 C1 与 C2 交点的坐标; (2)若把 C1,C2 上各点的纵坐标都压缩为原来的一半,分别得到曲线 C1′与 C2′,写出 C1′ 与 C2′的参数方程,C1 与 C2 公共点的个数和 C1′与 C2′公共点的个数是否相同,说明你的理 由.

2015-2016 学年安徽省合肥 168 中学高三(上)10 月月考数学试卷(理科) 参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.把答案填在答题卡的相应位置.) 1.设集合 M={(x,y)|x2+y2=1,x∈R,y∈R},N={(x,y)|x2﹣y=0,x∈R,y∈R},则集 合 M∩N 中元素的个数为( A.1 B.2 ) C.3 D.4

【考点】交集及其运算. 【专题】计算题. 【分析】此题是点集求交集的题,也就是求交点问题,所以此题可以联立方程组,求方程组 有几组解就有几个交点,也可以画图求解. 【解答】解:根据题意,M∩N={(x,y)|x2+y2=1,x∈R,y∈R}∩{(x,y)|x2﹣y=0,x∈R, y∈R}═{(x,y)| }

-4-

将 x ﹣y=0 代入 x +y =1, 得 y2+y﹣1=0,△=5>0, 所以方程组有两组解, 因此集合 M∩N 中元素的个数为 2 个, 故选 B. 【点评】本题既是交集运算,又是函数图形求交点个数问题

2

2

2

2.函数 y= A.[﹣ ,﹣1)∪(1, ]

的定义域是(

) B.(﹣ ,﹣1)∪(1, ) C.[﹣2,

﹣1)∪(1,2]

D.(﹣2,﹣1)∪(1,2)

【考点】函数的定义域及其求法;对数的运算性质. 【专题】计算题. 【分析】由函数表达式知,被开方数大于或等于 0,故对数的真数大于 0 且对数值小于或等于 1,x ﹣1>0,且 x ﹣1≤1;解可得答案.
2 2

【解答】解:

﹣ ∴y=

≤x<﹣1 或 1<x≤

. ,﹣1)∪(1, ].

的定义域为[﹣

答案:A 【点评】考查对数的定义域和单调性.

3.设曲线 y=ax﹣ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 y=2x,则 a=( A.0 B.1 C.2 D.3



【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程. 【专题】导数的概念及应用.

-5-

【分析】根据导数的几何意义,即 f′(x0)表示曲线 f(x)在 x=x0 处的切线斜率,再代入计 算. 【解答】解: ∴y′(0)=a﹣1=2, ∴a=3. 故答案选 D. 【点评】本题是基础题,考查的是导数的几何意义,这个知识点在高考中是经常考查的内容, 一般只要求导正确,就能够求解该题.在高考中,导数作为一个非常好的研究工具,经常会 被考查到,特别是用导数研究最值,证明不等式,研究零点问题等等经常以大题的形式出现, 学生在复习时要引起重视. ,

4.在曲线 y=x 上切线倾斜角为 A.(0,0)

2

的点是(

) C.( , ) D.( , )

B.(2,4)

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程. 【专题】计算题. 【分析】根据切线的倾斜角的大小,求出其切点的坐标,故先设切点的坐标,利用导数求出 在切点处的导函数值,再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率.从而问题解决.

【解答】解:y'=2x,设切点为(a,a ) ∴y'=2a,得切线的斜率为 2a,所以 2a=tan45°=1, ∴a= , 在曲线 y=x2 上切线倾斜角为 故选 D. 【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程 等基础知识,考查运算求解能力.属于基础题. 的点是( , ).

2

5.偶函数 f(x)的定义域为 R,若 f(x+2)为奇函数,且 f(1)=1,则 f(89)+f(90)为 ( )
-6-

A.﹣2

B.﹣1

C.0

D.1

【考点】函数奇偶性的性质. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】根据函数的奇偶性的性质,得到 f(x+8)=f(x),即可得到结论. 【解答】解:∵f(x+2)为奇函数, ∴f(﹣x+2)=﹣f(x+2), ∵f(x)是偶函数, ∴f(﹣x+2)=﹣f(x+2)=f(x﹣2), 即﹣f(x+4)=f(x), 则 f(x+4)=﹣f(x),f(x+8)=﹣f(x+4)=f(x), 即函数 f(x)是周期为 8 的周期函数, 则 f(89)=f(88+1)=f(1)=1, f(90)=f(88+2)=f(2), 由﹣f(x+4)=f(x), 得当 x=﹣2 时,﹣f(2)=f(﹣2)=f(2), 则 f(2)=0, 故 f(89)+f(90)=0+1=1, 故选:D. 【点评】本题主要考查函数值的计算,利用函数奇偶性的性质,得到函数的对称轴是解决本 题的关键.

6.已知 a 为常数,则使得 A.a>0 B.a<0

成立的一个充分而不必要条件是( C.a>e D.a<e



【考点】微积分基本定理;必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】计算题;导数的概念及应用. 【分析】由定积分计算公式,求出函数 f(x)= 的一个原函数 F(x)=lnx,从而利用微积分 基本定理得到 充分而不必要条件. 【解答】解:由积分运算法则,得
-7-

=lne,结合充分条件、必要条件的定义,即可得到不等式成立的一个

=lnx 因此,不等式即

=lne﹣ln1=1 即 a>1,对应的集合是(1,+∞)

将此范围与各个选项加以比较,只有 C 项对应集合(e,+∞)是(1,+∞)的子集

∴原不等式成立的一个充分而不必要条件是 a>e 故选:C 【点评】本题给出关于定积分的一个不等式,求使之成立的一个充分而不必要条件,着重考 查了定积分计算公式和充要条件的判断等知识,属于基础题.

7.若 f′(x0)=﹣3,则 A.﹣3 【考点】导数的运算. 【专题】导数的概念及应用. 【分析】根据 = [4 B.﹣12 C.﹣9

=(

) D.﹣6

]=4



)=4f′(x0),利用条件求得结果.

【解答】解:∵f′(x0)=﹣3,则

=

[4 =﹣12, 故选:B.

]=4



)=4f′(x0)=4×(﹣3)

【点评】本题主要考查函数在某一点的导数的定义,属于基础题.

8.已知三次函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d 的图象如图所示,则

=(



-8-

A.﹣1

B.2

C.﹣5

D.﹣3

【考点】函数在某点取得极值的条件;导数的运算. 【专题】导数的综合应用. 【分析】根据函数导数和极值之间的关系,求出对应 a,b,c 的关系,即可得到结论.

【解答】解:由三次函数的图象可知,x=2 函数的极大值,x=﹣1 是极小值, 即 2,﹣1 是 f′(x)=0 的两个根, ∵f(x)=ax3+bx2+cx+d, ∴f′(x)=3ax2+2bx+c, 由 f′(x)=3ax +2bx+c=0, 得 2+(﹣1)= ﹣1×2= =﹣2, =1,
2

即 c=﹣6a,2b=﹣3a, 即 f′(x)=3ax +2bx+c=3ax ﹣3ax﹣6a=3a(x﹣2)(x+1), 则 故选:C 【点评】本题主要考查函数的极值和导数之间的关系,以及根与系数之间的关系的应用,考 查学生的计算能力. = = =﹣5,
2 2

9.已知 f(x)=x3﹣3x+m,在区间[0,2]上任取三个数 a,b,c,均存在以 f(a),f(b), f(c)为边长的三角形,则 m 的取值范围是( A.m>2 B.m>4 ) C.m>6 D.m>8

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性. 【专题】计算题;压轴题.

-9-

【分析】三角形的边长为正数,而且任意两边之和大于第三边才能构成三角形,故只需求出 函数在区间[0,2]上的最小值与最大值,从而可得不等式,即可求解. 【解答】解:由 f′(x)=3x2﹣3=3(x+1)(x﹣1)=0 得到 x1=1,x2=﹣1(舍去)

∵函数的定义域为[0,2] ∴函数在(0,1)上 f′(x)<0,(1,2)上 f′(x)>0, ∴函数 f(x)在区间(0,1)单调递减,在区间(1,2)单调递增, 则 f(x)min=f(1)=m﹣2,f(x)max=f(2)=m+2,f(0)=m 由题意知,f(1)=m﹣2>0 ①;

f(1)+f(1)>f(2),即﹣4+2m>2+m② 由①②得到 m>6 为所求. 故选 C 【点评】本题以函数为载体,考查构成三角形的条件,解题的关键是求出函数在区间[0,2] 上的最小值与最大值

10.已知 f(x),g(x)都是 R 上的奇函数,f(x)>0 的解集为(a ,b),g(x)>0 的 解集为( , ),且 a2< ,则 f(x)g(x)>0 的解集为( )

2

A.(﹣ ,﹣a2)∪(a2, ) C.(﹣ ,﹣a2)∪(a2,b) 【考点】函数奇偶性的性质. 【专题】函数的性质及应用.

B.(﹣ ,a2)∪(﹣a2, ) D.(﹣b,﹣a2)∪(a2, )

【分析】根据函数奇偶性的性质,求出不等式 f(x)<0 和 g(x)<0 的解集,进行求解即 可. 【解答】解:∵f(x),g(x)都是 R 上的奇函数,f(x)>0 的解集为(a2,b),g(x) >0 的解集为( , ),且 a2< ,
2

∴f(x)<0 的解集为(﹣b,﹣a ),g(x)<0 的解集为(﹣ ,﹣

),

则不等式 f(x)g(x)>0 等价为





- 10 -

即 a <x< 或﹣ <x<﹣a , 故不等式的解集为(﹣ ,﹣a2)∪(a2, ), 故选:A. 【点评】本题主要考查不等式的求解,根据函数奇偶性的对称性的性质求出 f(x)<0 和 g (x)<0 的解集是解决本题的关键.

2

2

11.设 x,y∈R,且满足 A.1 【考点】函数的零点. 【专题】函数的性质及应用. B.2 C.3

,则 x+y=( D.4



【分析】根据条件,构造函数 f(t)=t +2t+sint,利用函数 f(t)的奇偶性和单调性解方程 即可. 【解答】解:∵(x﹣2) +2x+sin(x﹣2)=2, ∴(x﹣2)3+2(x﹣2)+sin(x﹣2)=2﹣4=﹣2, ∵(y﹣2) +2y+sin(y﹣2)=6, ∴(y﹣2) +2(y﹣2)+sin(y﹣2)=6﹣4=2, 设 f(t)=t +2t+sint, 则 f(t)为奇函数,且 f'(t)=3t2+2+cost>0, 即函数 f(t)单调递增. 由题意可知 f(x﹣2)=﹣2,f(y﹣2)=2, 即 f(x﹣2)+f(y﹣2)=2﹣2=0, 即 f(x﹣2)=﹣f(y﹣2)=f(2﹣y), ∵函数 f(t)单调递增 ∴x﹣2=2﹣y, 即 x+y=4, 故选:D. 【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用,利用条件构造函数 f(t)是解决本题的关键,综 合考查了函数的性质.
- 11 3 3 3 3

3

12.函数 y=2|x|的定义域为[a,b],值域为[1,16],当 a 变动时,函数 b=g(a)的图象可以 是( )

A.

B.

C.

D.

【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域;函数的图象. 【专题】计算题;压轴题;数形结合. 【分析】根据 a 变动时,以及函数的值域可知 b 为定值 4,结合选项即可得到答案.

【解答】解:根据选项可知 a≤0 a 变动时,函数 y=2 的定义域为[a,b],值域为[1,16], ∴2 =16,b=4 故选 B.
|b| |x|

【点评】本题主要考查了指数函数的定义域和值域,同时考查了函数图象,属于基础题.

- 12 -

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中的横线上.)

13.f(x)=x(x﹣c)2 在 x=2 处有极大值,则常数 c 的值为 6 . 【考点】利用导数研究函数的极值. 【专题】计算题. 【分析】先求出 f′(x),根据 f(x)在 x=2 处有极大值则有 f′(2)=0 得到 c 的值为 2 或 6, 先让 c=2 然后利用导数求出函数的单调区间, 从而得到 x=2 取到极小值矛盾, 所以舍去, 所以得到 c 的值即可. 【解答】解:f(x)=x3﹣2cx2+c2x,f′(x)=3x2﹣4cx+c2, f′(2)=0? c=2 或 c=6.若 c=2,f′(x)=3x ﹣8x+4,
2

令 f′(x)>0? x< 或 x>2,f′(x)<0? <x<2, 故函数在(﹣∝, )及(2,+∞)上单调递增,在( ,2)上单调递减, ∴x=2 是极小值点.故 c=2 不合题意,c=6. 故答案为 6 【点评】考查学生利用导数研究函数极值的能力,会利用待定系数法求函数解析式.

14.已知集合 25] . 【考点】其他不等式的解法. 【专题】集合.

,若 3∈M,5?M,则实数 a 的取值范围是 [1, )∪(9,

【分析】根据分式不等式的解法,对实数 a 进行分类讨论,然后结合条件 3∈M,5?M 进行求 解. 【解答】解:∵集合 得 (ax﹣5)(x2﹣a)<0, 当 a=0 时,显然不成立,
- 13 -



当 a>0 时,原不等式可化为 , 若 时,只需满足



解得 若

; ,只需满足

, 解得 9<a≤25, 当 a<0 时,不符合条件, 综上, 故答案为[1, )∪(9,25]. 【点评】本题重点考查分式不等式的解法,不等式的性质及其应用和分类讨论思想的灵活运 用,属于中档题.

15.x 为实数,[x]表示不超过 x 的最大整数,则函数 f(x)=x﹣[x]的最小正周期是 1 .

【考点】函数的周期性. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】当 x∈[0,1)时,画出函数 f(x)=x﹣[x]的图象,再左右扩展知 f(x)为周期函 数.由此利用数形结合思想能求出函数 f(x)=x﹣[x]的最小正周期. 【解答】解:∵x 为实数,[x]表示不超过 x 的最大整数, ∴如图,当 x∈[0,1)时,画出函数 f(x)=x﹣[x]的图象,

- 14 -

再左右扩展知 f(x)为周期函数. 结合图象得到函数 f(x)=x﹣[x]的最小正周期是 1. 故答案为:1. 【点评】本题考查函数的最小正周期的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意数形结合 思想的合理运用.

16.已知 f(x),g(x)都是定义在 R 上的函数,g(x)≠0,f′(x)g(x)>f(x)g′ (x),且 f(x)=axg(x)(a>0 且 a≠1), 前 n 项和大于 62,则 n 的最小值为 6 . 【考点】数列的求和;导数的运算. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】由已知条件推导出 + =a ,利用导数的性质求出
n x

+

= .若数列{

}的

=a 是增函数,利用

x

= 推导出 a=2.从而得到数列{

}为{2 }.由此能求出结果.

【解答】解:∵f(x)=a g(x)(a>0 且 a≠1), ∴ =ax,

x

又∵f′(x)g(x)>f(x)g′(x), ∴( )′= >0,

∴ ∴a>1, ∵
1 ﹣1

=ax 是增函数,

+

= .

∴a +a = ,解得 a= 或 a=2. 综上得 a=2. ∴数列{ ∵数列{ }为{2 }. }的前 n 项和大于 62,
n

- 15 -

∴2+22+23+…+2n= 即 2n+1>64=26, ∴n+1>6,解得 n>5. ∴n 的最小值为 6. 故答案为:6.

=2n+1﹣2>62,

【点评】本题考查等比数列的前 n 项和公式的应用,巧妙地把指数函数、导数、数列融合在 一起,是一道好题.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答 写在答题卡的制定区域内.) 17.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且它的图象关于直线 x=1 对称. (1)证明:f(x)是周期为 4 的周期函数; (2)若 f(x)= (0<x≤1),求 x∈[﹣5,﹣4]时,函数 f(x)的解析式.

【考点】函数奇偶性的性质;函数解析式的求解及常用方法;函数的周期性. 【专题】计算题;证明题. 【分析】(1)由函数 f(x)的图象关于直线 x=1 对称,有 f(x+1)=f(1﹣x),即有 f(﹣ x)=f(x+2).又函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,故 f(x+2)=﹣f(x),得到 f(x) 是周期为 4 的周期函数. (2)根据函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,得到 x∈[﹣1,0]时的解析式.当 x∈[﹣5, ﹣4]时,x+4∈[﹣1,0],写出解析式,得到 x∈[﹣5,﹣4]时,函数 f(x)的解析式.

【解答】(1)证明:由函数 f(x)的图象关于直线 x=1 对称, 有 f(x+1)=f(1﹣x),即有 f(﹣x)=f(x+2). 又函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,有 f(﹣x)=﹣f(x).故 f(x+2)=﹣f(x).

从而 f(x+4)=﹣f(x+2)=f(x).即 f(x)是周期为 4 的周期函数.

- 16 -

(2)解:由函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,有 f(0)=0.x∈[﹣1,0)时,﹣x∈(0, 1], 4]时,x+4∈[﹣1,0], 从而,x∈[﹣5,﹣4]时,函数 f(x)的解析式为 .故 x∈[﹣1,0]时, . . .x∈[﹣5,﹣

【点评】本题考查函数奇偶性的性质,函数解析式的求解常用的方法,本题解题的关键是根 据函数是一个奇函数对函数式进行整理,本题是一个中档题目.

18.已知函数 f(x)=

是奇函数.

(1)求实数 m 的值; (2)若函数 f(x)在区间[﹣1,a﹣2]上单调递增,求实数 a 的取值范围. 【考点】奇偶性与单调性的综合. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】(1)根据函数奇偶性的性质建立条件关系即可. (2)利用数形结合,以及函数奇偶性和单调性的关系进行判断即可. 【解答】解:(1)∵f(x)是奇函数, ∴设 x>0,则﹣x<0, ∴f(﹣x)=(﹣x)2﹣mx=﹣f(x)=﹣(﹣x2+2x) 从而 m=2. (2)由 f(x)的图象知,若函数 f(x)在区间[﹣1,a﹣2]上单调递增, 则﹣1≤a﹣2≤1 ∴1≤a≤3

【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用以及函数单调性的判断,利用数形结合是解决本题 的关键.

- 17 -

19.已知函数 f(x)=ln



(1)求曲线 y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程; (2)求证:当 x∈(0,1)时,f(x)>2(x+ )

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性. 【专题】导数的概念及应用;导数的综合应用;不等式的解法及应用. 【分析】(1)求得函数的导数,求得切线的斜率和切点坐标,即可得到所求切线的方程;

(2)构造函数 y=ln

﹣2(x+

),0<x<1,求得导数,判断符号,由单调性即可得证.

【解答】(1)解:f(x)=ln

的导数为

f′(x)=

=﹣



可得在点(0,f(0))处的切线斜率为 2,切点(0,0), 即有在点(0,f(0))处的切线方程为 y=2x; (2)证明:由 y=ln ﹣2(x+ ),0<x<1,

导数为 y′=

﹣2(1+x2)

=

﹣2(1+x2)=



由 0<x<1 可得

>0,

即导数 y′>0 在(0,1)恒成立, 则有函数 y=ln 则有 ln ﹣2(x+ )在(0,1)递增,

﹣2(x+

)>0, ).

故有当 x∈(0,1)时,f(x)>2(x+

【点评】本题考查导数的运用:求切线的方程和单调区间,考查不等式的证明,注意运用单 调性,属于中档题.
- 18 -

20.已知 P(x,y)为函数 y=1+lnx 图象上一点,O 为坐标原点,记直线 OP 的斜率 k=f(x).

(Ⅰ)若函数 f(x)在区间(a,a+ )(a>0)上存在极值,求实数 a 的取值范围;

(Ⅱ)如果对任意的 x1,x2∈[e2,+∞),有|f(x1)﹣f(x2)|≥m| 取值范围. 【考点】利用导数研究函数的极值;利用导数研究曲线上某点切线方程. 【专题】导数的综合应用. 【分析】(I)由斜率计算公式可得 f(x)= 上存在极值时与参数的关系即可得出; ((II)由(I)可知:函数 f(x)在∈[e2,+∞)单调递减,不妨设 (x1)﹣f(x2)|≥m| |≥m ? |,?f(x2)﹣f(x1)

|,求实数 m 的

,再利用函数在区间(a,a+ )(a>0)

,则|f

.?函数 F(x)=f(x)﹣ 在∈[e ,
2

+∞)单调递减,再利用导数研究其单调性即可. 【解答】解:(I)k=f(x)= ,f′(x)= ,

当 0<x<1 时,f′(x)>0,函数 f(x)单调递增;当 1<x 时,f′(x)<0,函数 f(x) 单调递减. 故 f(x)在 x=1 处取得极大值 1. ∵函数 f(x)在区间(a,a+ )(a>0)上存在极值,



,解得



∴实数 a 的取值范围是


2

(II)由(I)可知:函数 f(x)在∈[e ,+∞)单调递减, 不妨设 , |?f(x2)﹣f(x1)|≥m
- 19 -

则|f(x1)﹣f(x2)|≥m|

?

?函数 F(x)=f(x)﹣ 在 x∈[e ,+∞)单调递减.

2

F(x)=

,x∈[e ,+∞).∴F′(x)=

2

≤0 在 x∈[e ,+∞)恒成立,

2

∴m≤lnx 在 x∈[e2,+∞)上恒成立, ∴m≤2. 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、在给出含参数区间上取得极值 的条件、恒成立问题的等价转化方法,考查了推理能力和计算能力,属于难题.

21.已知 xn 是函数 f(x)=xn+xn﹣1+xn﹣2+…+x﹣1(x>0,n∈N 且 n≥2)的零点. (1)证明: <xn+1<xn<1; (2)证明: < .

【考点】综合法与分析法(选修);函数零点的判定定理;利用导数求闭区间上函数的最值.

【专题】综合题;导数的综合应用. 【分析】(1)求导数,证明 f(x)在(0,+∞)上是增函数,利用 f(1)=n﹣1>0,f( ) =1﹣ <0,可得 f(x)在( ,1)内有唯一零点,利用反证法证明 xn+1<xn;

(3)原不等式等价于 x2+x3+…+xn< ,证明 xn< + 【解答】证明:(1)∵f(x)=xn+xn﹣1+xn﹣2+…+x﹣1, ∴f′(x)=nx ∵x>0, ∴f′(x)>0, ∴f(x)在(0,+∞)上是增函数,且连续 ∵f(1)=n﹣1>0,f( )=1﹣ ∴f(x)在( ,1)内有唯一零点, <0,
n﹣1

,即可得出结论.

+(n﹣1)x

n﹣2

+…+2x+1,

- 20 -

∴ <xn<1, 假设:xn+1≥xn, ∴xn+1 +xn+1 +x
n+1 n n﹣2

+…+xn+1﹣1>xn +xn

n

n﹣1

+xn

n﹣2

+…+xn﹣1,

∴f(xn+1)>f(xn), 即 0>0,矛盾, ∴xn+1<xn, ∴ <xn+1<xn<1; (2)原不等式等价于 x2+x3+…+xn< , ∵|f(xn)﹣f( )|=|xn +xn f(xn)=0,f( )=﹣ ∴xn< + ,
n n﹣1

+xn ,

n﹣2

+…+xn﹣1﹣

) ﹣…﹣ +1|>xn﹣

n

∴x2+…+xn<

+

=

+ ﹣





< .

【点评】本题考查导数知识的运用,考查函数的零点,考查不等式的证明,考查学生分析解 决问题的能力,难度大.

22.已知曲线 C1:ρ =1,曲线 C2:

(t 为参数)

(1)求 C1 与 C2 交点的坐标; (2)若把 C1,C2 上各点的纵坐标都压缩为原来的一半,分别得到曲线 C1′与 C2′,写出 C1′ 与 C2′的参数方程,C1 与 C2 公共点的个数和 C1′与 C2′公共点的个数是否相同,说明你的理 由. 【考点】简单曲线的极坐标方程. 【专题】计算题;转化思想;综合法;坐标系和参数方程.

- 21 -

【分析】(1)分别求出 C1 的直角坐标方程和 C2 的普通方程,联立方程组能求出 C1 与 C2 交点 的坐标.

(2)压缩后的参数方程分别为



(θ 为参数)



(t

为参数),化为普通方程,联立消元,由其判别式得到压缩后的直线 有一个公共点,和 C1 与 C2 公共点个数相同. 【解答】解:(1)∵曲线 C1:ρ =1,∴C1 的直角坐标方程为 x2+y2=1, ∴C1 是以原点为圆心,以 1 为半径的圆,

与椭圆

仍然只

∵曲线 C2:

(t 为参数),∴C2 的普通方程为 x﹣y+

=0,是直线,

联立

,解得 x=﹣

,y=



∴C2 与 C1 只有一个公共点:(﹣ (2)压缩后的参数方程分别为



).



(θ 为参数)



(t 为参数),

化为普通方程为: 联立消元得 其判别式 ∴压缩后的直线

:x2+4y2=1, , , 与椭圆

:y=



仍然只有一个公共点,和 C1 与 C2 公共点个数相同.

【点评】本题考查两曲线的交点坐标的求法,考查压缩后的直线与椭圆的公共点个数的判断, 是基础题,解题时要认真审题,注意一元二次方程的根的判别式的合理运用.

- 22 -


推荐相关:
网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 大学生考试网 9299.net
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com