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江西省吉安一中2015-2016学年高二数学上学期第一次段考试题 文

江西省吉安一中2015-2016学年高二数学上学期第一次段考试题 文


江西省吉安一中 2015-2016 学年上学期高二年级第一次段考 数学试卷(文科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。) 1. 下列命题中正确的是( ) B. 两条相交直线上的三个点可以确定一个平

A. 两两相交的三条直线共面 面 C. 梯形是平面图形

D. 一条直线和一个点可以确定一个平面 )

2. 已知直线 ax ? y ? 1 ? 0与(a ? 2) x ? 3 y ? 1 ? 0 互相垂直,则实数 a 等于( A. -3 或 1 B. 1 或 3 C. -1 或-3 D. -1 或 3

3. 把球的表面积扩大到原来的 2 倍,那么球的体积扩大到原来的( ) A. 2 倍 B.

2倍

C. 2 2 倍
2

D.

3

2倍


4. 点 M( x 0 , y 0 )在圆 x 2 ? y 2 ? R2 外,则直线 x0 x ? y0 y ? R 与圆的位置关系是( A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 不确定 )

5. 点 B 是点 A(1,2,3)在坐标平面 yOz 内的射影,则 OB 等于( A. 13 B. 14 C. 2 3 D. 13

6. 设 a 、 b 是两个单位向量,其夹角为 ? ,则“ ? ? ? A. 充分不必要条件 C. 充要条件

? 6

? ”是“ | a ? b |? 1 ”的( ) 3

B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

7. 若直线 ax ? by ? 2 ? 0(a ? 0, b ? 0) 被圆 x2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ?1 ? 0 所截得的弦长为 6, 则

2 3 ? 的最小值为( a b
A. 10

) B. 4 ? 2 6 C. 5 ? 2 6 D. 4 6

? 3 ? ? 8. 已知点 ?1,?2 ? 和 ? ? 3 ,0 ? 分别在直线 l : ax ? y ? 1 ? 0?a ? 0? 的两侧,则直线 l 倾斜角的取值 ? ?
范围是( )

-1-

A. ?

?? ? ? , ? ?4 3?

B. ?

? 2? 5? ? , ? ? 3 6 ?

C. ? 0,

? ? ? ? 3? ? ? ? ? ,? ? ? 3? ? 4 ?

D. ?

? ? 2? ? , ? ?3 3 ?

?x ? y ? 2 ? 0 ? 9. 过平面区域 ? y ? 2 ? 0 内一点 P 作圆 O : x2 ? y 2 ? 1 的两条切线,切点分别为 A, B , ?x ? y ? 2 ? 0 ?
记 ?APB ? ? ,则当 ? 最小时 cos ? 的值为( A. )

95 10

B.

19 20

C.

1 2

D.

9 10

10. 如图 1, 已知正方体 ABCD-A1B1ClD1 的棱长为 a, 动点 M、 N、 Q 分别在线段 AD1 , B1C, C1D1 上,当三棱锥 Q-BMN 的俯视图如图 2 所示时,三棱锥 Q-BMN 的正视图面积等于( )

A.

1 2 a 2

B.

1 2 a 4

C.

2a 2 4

D.

3a 2 4

11. 如图,在正方形 SG1G2G3 中,E,F 分别是 G1G2,G2G3 的中点,D 是 EF 的中点,现沿 SE,SF 及 EF 把这个正方形折成一个几何体,使 G1,G2,G3 三点重合于点 G,这样,下列五 个结论:(1)SG⊥平面 EFG;(2)SD⊥平面 EFG;(3)GF⊥平面 SEF;(4)EF⊥平面 GSD; (5)GD⊥平面 SEF,正确的是( )

-2-

A. (1)和(3) C. (1)和(4)

B. (2)和(5) D. (2)和(4)

12. 已知 ?ABC 的三边长分别为 AB ? 5 , BC ? 4 , AC ? 3 , M 是 AB 边上的点, P 是 平面 ABC 外一点,现给出下列四个命题: ①若 PA ? 平面 ABC ,则三棱锥 P ? ABC 的四个面都是直角三角形; ②若 PM ? 平面 ABC ,且 M 是 AB 边的中点,则有 PA ? PB ? PC ;

15 ③若 PC ? 5 , PC ? 平面 ABC ,则 ?PCM 面积的最小值为 2 ;
④若 PB ? 5 , PB ? 平面 ABC ,则三棱锥 P ? ABC 的外接球体积为 其中正确命题的个数是( A. 1 B. 2 ) C. 3 D. 4
125 2? 3 ;

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答卷的相应位置。) 13. 经过点 (?2,1) ,且与直线 2 x ? 3 y ? 5 ? 0 平行的直线方程是________。 14. 若圆 C : x ? y ? 4 x ? 2 y ? m ? 0 与 y 轴交于 A, B 两点,且 ?ACB ? 90? ,则实数 m
2 2

的值为__________。 15. 若函数

f ( x) ? 2 x ? ? k 2 ? 3? ? 2? x

,则 k ? 2 是函数 f ( x ) 为奇函数的________条件。(选

填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”) 16. 如图所示,在正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F,G,H 分别是 CC1,C1D1,D1D,DC 的中点,N 是 BC 的中点,点 M 在四边形 EFGH 上或其内部运动,且使 MN⊥AC。对于下列命题: ①点 M 可以与点 H 重合;②点 M 可以与点 F 重合;③点 M 可以在线段 FH 上;④点 M 可以与点 E 重合。其中真命题的序号是________(把真命题的序号都填上)。

-3-

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. ( 本 小 题 满 分 10 分 ) 已 知 命 题

p : 2x2 ? 3x ? 1 ? 0 和 命 题

q : 2x? ( 2a ?

1x ? )

是 q 的必要不充分条件 ,求实数 a 的取值范围。 a ? (a ,若 ? 1p ) 0

18. (本小题满分 12 分)如图是某直三棱柱被削去上底后的直观图与三视图的侧视图、俯 视图,在直观图中,M 是 BD 的中点, AE ? 角形,有关数据如图所示。

1 CD ,侧视图是直角梯形,俯视图是等腰直角三 2

(Ⅰ)求出该几何体的体积; (Ⅱ)试问在边 CD 上是否存在点 N,使 MN ? 平面 BDE ? 若存在,确定点 N 的位置 (不需证明);若不存在,请说明理由。

19. (本小题满分 12 分)如图,在正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, E , F 分别为 BB1 , AC 中点。

-4-

(1)求证: BF / / 平面 A1EC ; (2)求证:平面 A 1 EC ? 平面 ACC1 A 1。

20. (本小题满分 12 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,平行于 x 轴且过点 A (3 3,2) 的入射光线 l1 被直线 l : y ? 切。 (1)求 l 2 所在直线的方程和圆 C 的方程; (2)设 P, Q 分别是直线 l 和圆 C 上的动点,求 PB ? PQ 的最小值及此时点 P 的坐标。

3 反射光线 l 2 交 y 轴于 B 点, 圆 C 过点 A 且与 l1 , l2 都相 x 反射。 3

21. (本小题满分 12 分)如图,已知四边形 AAC 1 1C 和 AA 1B 1B 都是菱形,平面 AA 1B 1B 和

?ACC1 ? ?BAA1 ? 60 , AA1 ? 2 。 平面 AAC 1 1C 互相垂直,且
?

-5-

(Ⅰ)求证: AA 1 ? BC1; (Ⅱ)求四面体 A ? CC1B1 的体积。

22. (本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中, 圆 O : x 2 ? y 2 ? 4 交 x 轴于点 A, B(点

A 在 x 轴的负半轴上),点 M 为圆 O 上一动点, MA, MB 分别交直线 x ? 4 于 P, Q 两点。
(1)求 P, Q 两点纵坐标的乘积; (2)若点 C 的坐标为 (1, 0) ,连接 MC 交圆 O 于另一点 N , ①试判断点 C 与以 PQ 为直径的圆的位置关系,并说明理由; ②记 MA, NA 的斜率分别为 k1 , k2 ,试探究 k1k2 是否为定值?若是,请求出该定值;若不 是,请说明理由。

-6-

参考答案 一、选择题(12×5=60 分) CACBAA 二、填空题(4×5=20 分) 13. 2x-3y+7=0 14. -3 15. 充分不必要 16. ①②③ CCDBCC

三、解答题(5×12+10=70 分) 17. 解:对于命题

1 p : 2 x 2 ? 3x ? 1 ? 0 ,解得: x ? 或x ? 1 2
由 p 是 q 的必要

对于命题 q : x2 ? (2a ? 1) x ? a(a ? 1) ? 0,解得: x ? a或x ? a ? 1 不充分条件,所以 q ? p 且

1 1 ? ? 1 ?a ? ?a ? 所以 ? 2 ,解得 ? 2 ,即: 0 ? a ? 2 ? ? ?a ? 1 ? 1 ?a ? 0
所以实数 a 的取值范围是 0 ? a ?

1 2

18. 解:(Ⅰ)∵EA⊥平面 ABC,∴EA⊥AB, 又 AB⊥AC, ∴AB⊥平面 ACDE ∴四棱锥 B-ACDE 的高 h=AB=2,梯形 ACDE 的面积 S= 6,∴ VB? ACDE ? 所求几何体的体积为 4; (Ⅱ)以 A 为原点,CA,AB,AE 分别为 x,y。z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,则 A (0,0,0),B(0,2,0),C(-2,0,0) D(-2,0,4),E(0,0,2),M(-1,1,2), DB ? (2,2,?4) , DE ? (2,0,?2) ,

1 ?s?h ? 4, 即 3

DC ? (0,0,?4) ,

DM ? (1, 1,?2) ,

假 设 在

DC

边 上 存 在 点

N

满 足 题 意 ,

??? ? ??? ? 设DN ? ? DC ? (0,0,?4?), ? ? ?0,1,? ,则 NM ? DM

??? ? ?DN ? (1,1,?2) ? (0,0,?4?) ? (1,1,?2 ? 4?),? MN ? 平面BDE ,

-7-

??? ? ? NM ? ? ? ??? ? ? NM ?

??? ? DB ? 0 ,即: ??? ? DE ? 0
, 解之得 ? ?

?2 ? 2 ? 8 ? 16? ? 0 ? ?2 ? 4 ? 8? ? 0
时, NM ? 平面 BDE

3 3 ? ?0,1?. ∴边 DC 上存在点 N, DC 满足 DN ? 4 4

19. 证明:(1)连 AC1 交 AC 1 于点 O ,? F 为 AC 中点, ? OF / / CC1且OF =

1 CC1 , 2

1 ? E 为 BB1 中点,? BE / / CC1且BE = CC1 , 2

? BE / /OF 且BE =OF ,? 四边形 BEOF 是平行四边形, ? BF / / OE ,又 BF ? 平面 A1EC , OE ? 平面 A1EC ,? BF / / 平面 A1EC ;

? AB ? CB , (2) 由 (1) 知 BF / / OE , 所以 BF ? AC , 所以 OE ? AC , F 为 AC 中点,
又因为 AA1 ? 底面 ABC ,而 BF ? 底面 ABC ,所以 AA1 ? BC , 则由 BF / / OE ,得 OE ? AA1 ,而 AA 1 , AC ? 平面 ACC1 A 1 ,且 AA 1 ? AC ? A , 所以 OE ? 面 ACC1 A 1, 又 OE ? 平面 A 1EC ,所以平面 A 1 EC ? 平面 ACC1 A 1。 20. 解:(1)直线 l1 :y=2, 设 l1 交 l 于点 D ,则 D 2 3, 2 ∴ l2 的倾斜角为 60? ∴ k 2 ? 3 ∴反射光线 l2 所在直线的方程为 y ? 2 ? 3( x ? 2 3) 即 3x ? y ? 4 ? 0 已知圆 C 与 l1 切于点 A ,设 C ? a, b? ∵圆心 C 在过点 D 且与 l 垂直的直线上,∴ b ? ? 3a ? 8 又圆心 C 在过点 A 且与 l1 垂直的直线上, ∴ a ? 3 3 由①②得 ? ① ②

?

?

∵ l 的倾斜角为 30°,

?a ? 3 3 ? b ? ?1

圆 C 的半径 r ? 3

故所求圆 C 的方程为

( x ? 3 3) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 9
-8-

(2)设点 B ? 0, ?4? 关于 l 的对称点 B ' ? x0 , y0 ?



y0 ? 4 3 x0 ? ? 2 3 2



y0 ? 4 ?? 3 x0

得 B ' ?2 3, 2

?

?

, 固定点 Q 可发现,当 B ', P, Q 共线时, PB ? PQ 最小,

故 PB ? PQ 最小值为 B ' C ? 3

?y ?1 x ?3 3 ? ? ?2 ?1 ? 2 3 ? 3 3 3 1 解 得 P( , ) ? 2 2 3 ? y? x ? 3 ?

∴ PB ? PQ 最 小 值 为

B ' C ? 3 ? 2 21 ? 3
21. (1)证明:设 AA1 的中点为 O ,连接 OB ,
O C 1



因为四边形 AAC 1 1C 和 AA 1B 1B 都是菱形, 且 ?ACC1 ? ?BAA 1 ? 60? ,所以三角形

AA1 B 和三角形 AAC 1 1 都是等边三角形,所以 AA 1 ? OB, AA 1 ? OC1 又 OB ? OC1 ? O ,所以 AA1 ? 平面OBC1 所以 AA1 ? BC1
(2)解:因为三角形 CC1B1和CC1B 面积相等, 所以 VA?CC1B1 = VA?CC1B ? VB ?CC1 A ?

1 S ACC1 OB ? 1 3

所以四面体 A ? CC1B1 的体积为 1 。 22. 解:(1)由题意,得 A(?2, 0) , B(2, 0) ,设 M ( x0 , y0 ) ,

? 直线 AM 的方程为 y ?

y0 6 y0 6 y0 ( x ? 2) ,令 x ? 4 ,则 y ? ) ,同 ,? P(4, x0 ? 2 x0 ? 2 x0 ? 2

理 Q(4,

2 y0 6 y0 2 y0 12 y0 2 ) ,? yP yQ ? ? ? ? ?12 x0 ? 2 x0 ? 2 x0 ? 2 x0 2 ? 4

( 2 ) ① ? C (1, 0) , 由 ( 1 ) 知 CP ? ( 3 ,

??? ?

6 y0 x0 ? 2

) CQ ? (3, ,

??? ?

2 y0 ) , x0 ? 2

??? ? ??? ? 6 y0 2 y0 ? ? ? ?3 ,即 ?PCQ ? ,? 点 C 在圆内 ? CP ? CQ ? 9 ? x0 ? 2 x0 ? 2 2
-9-

②设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,当直线 MN 的斜率不存在时, M (1, 3) , N (1, ? 3) ,此 时 k1k2 ? ?

1 3

当直线 MN 的斜率存在时,设直线 MN 的方程为 y ? k ( x ? 1) , 代入圆方程 x2 ? y 2 ? 4 ,整理得 (1 ? k 2 ) x2 ? 2k 2 x ? k 2 ? 4 ? 0 ,

? x1 ? x2 ?

y1 y2 k 2 ( x1 x2 ? x1 ? x2 ? 1) 2k 2 k2 ? 4 k k ? ? , x1 x2 ? ,又 1 2 , ( x1 ? 2)( x2 ? 2) x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 1? k 2 1? k 2

k 2 ? 4 2k 2 ? ?1 2 2 1 2 1? k 1 ? k ? k1k2 ? k 2 ?? 2 k ? 4 4k 3 ? ?4 2 2 1? k 1? k

- 10 -


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