9299.net
大学生考试网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

江苏省淮安市清江中学2014-2015学年高一上学期期末数学试卷

江苏省淮安市清江中学2014-2015学年高一上学期期末数学试卷


江苏省淮安市清江中学 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
一.填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分.不需写出解答过程,请把答案写在答题 纸的指定位置上.) 1. (5 分)集合 A={0,2,a},B={1,a },若 A∪B={0,1,2,3,9},则 a 的值为. 2. (5 分)函数 f(x)=2sin(ωx+ ) (ω>0)的最小正周期为 π,则 ω=.
2

3. (5 分) (文科)已知 α 是第二象限且

,则 tanα 的值是.

4. (5 分)若函数 f(x)=log

(2x﹣1)的定义域是.

5. (5 分)已知向量 =(2,1) , =(0,﹣1) .若( +λ )⊥ ,则实数 λ=.

6. (5 分)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x<0 时,f(x)=3 ,则 f(sin 为.

x

)的值

7. (5 分)已知定义域为 R 的函数 f(x)=

是奇函数,则 a=.

8. (5 分)计算:sin 22.5°﹣cos 22.5°=. 9. (5 分)已知 α∈(0, ) ,若 sin(α﹣ )= ,sinα 的值为.

4

4

10. (5 分)设向量 k=.







的夹角为 120°,则实数

11. (5 分)设函数 y=2sinx(0≤x≤п)的图象为曲线 C,动点 A(x,y)在曲线 C 上,过 A 且 平行于 x 轴的直线交曲线 C 于点 B(A、B 可以重合) ,设线段 AB 的长为 f(x) ,则函数 f(x) 单调递增区间.

12. (5 分)如图,在等腰三角形 ABC 中,底边 BC=2, 则 =.



=

,若

= ,

13. (5 分)已知 =(1,sin x) , =(2,sin2x) ,其中 x∈(0,π) ,若| 的值等于 .

2

|=| |?| |,则 tanx

14. (5 分)已知直线 x=a(0<a<

)与函数 f(x)=sinx 和函数 g(x)=cosx 的图象分别交

于 M,N 两点,若 MN= ,则线段 MN 的中点纵坐标为.

二.解答题:本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤, 请把答案写在答题纸的指定区域内. 15. (14 分) (1)设 α 为第四象限角,其终边上一个点为 求 sinα; (2)若 ,求 tanα 的值. ) (其中 A>0,ω>0)的振幅为 2,周期为 π. ,且 ,

16. (14 分)函数 f(x)=Asin(ωx+

(1)求 f(x)的解析式并写出 f(x)的单调增区间; (2)将 f(x)的图象先左移 个单位,再将每个点的纵坐标不变,横坐标变为原来的 2 倍,

得到 g(x)的图象,求 g(x)解析式和对称中心(m,0) ,m∈[0,π]. 17. (15 分)已知:

(1)求 (2)求满足条件 (3)若向量 满足 的实数 m,n. ,且 求 .

18. (15 分)已知函数 f(x)=4sinxcos(x+ (1)f(x)在区间[﹣ ,

)+



]上的最大值和最小值及取得最值时 x 的值. , ]上有唯一解,求实数 t 的取值范围.

(2)若方程 f(x)﹣t=0 在 x∈[﹣

19. (16 分)已知函数 f(x)=x ﹣2cosθx+1,x∈[﹣ (1)当 θ= 时,求 f(x)的最大值和最小值.

2

, ]

(2)若 f(x)在 x∈[﹣

, ]上是单调函数,且 θ∈[0,2π) ,求 θ 的取值范围. 的值.

(3)若 sinα,cosα 是方程 f(x)= +cosθ 的两个实根,求

20. (16 分)省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后,发现一天中环 境综合放射性污染指数 f(x)与时刻 x(时)的关系为 f(x)=|g(x)﹣a|+2a+ ,x∈[0,24],

其中 g(x)=

,a 是与气象有关的参数,且 a∈[0, ],若用每

天 f(x)的最大值为当天的综合放射性污染指数,并记作 M(a) . (1)令 t=g(x) ,求 t 的取值范围; (2)省政府规定,每天的综合放射性污染指数不得超过 2,试问目前市中心的综合放射性污 染指数是否超标?

江苏省淮安市清江中学 2014-2015 学年高一上学期期末数 学试卷
参考答案与试题解析

一.填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分.不需写出解答过程,请把答案写在答题 纸的指定位置上.) 1. (5 分)集合 A={0,2,a},B={1,a },若 A∪B={0,1,2,3,9},则 a 的值为 3. 考点: 并集及其运算. 专题: 集合. 分析: 根据集合的基本运算进行求解即可. 解答: 解:∵A∪B={0,1,2,3,9}, ∴a=3 或 a=9, 当 a=3 时,A={0,2,3},B={1,9},满足 A∪B={0,1,2,3,9}, 当 a=9 时,A={0,2,9},B={1,81},不满足 A∪B={0,1,2,3,9}, 故 a=3, 故答案为:3 点评: 本题主要考查集合的基本运算,比较基础.
2

2. (5 分)函数 f(x)=2sin(ωx+

) (ω>0)的最小正周期为 π,则 ω=2.

考点: 三角函数的周期性及其求法. 专题: 计算题. 分析: 利用正弦函数 y=Asin(ωx+φ) (ω>0)的周期公式 T= 解答: 解:∵函数 f(x)=2sin(ωx+ ∴ =π, 即可求得答案.

) (ω>0)的最小正周期为 π,

∴ω=2. 故答案为:2. 点评: 本题考查三角函数的周期性及其求法,掌握公式是解决问题的关键,属于基础题.

3. (5 分) (文科)已知 α 是第二象限且

,则 tanα 的值是



考点: 同角三角函数间的基本关系. 专题: 计算题. 分析: 由 α 为第二象限的角,得到 cosα 的值小于 0,根据 sinα 的值,利用同角三角函数间 的平方关系 sin α+cos α=1,求出 cosα 的值,再利用同角三角函数间的基本关系 tanα= 即可求出 tanα 的值. 解答: 解:∵α 是第二象限且 ∴cosα=﹣ =﹣ , ,
2 2



则 tanα= 故答案为:﹣

=﹣ .

点评: 此题考查了同角三角函数间基本关系的应用,熟练掌握基本关系是解本题的关键, 学生在求值时注意角度的范围.

4. (5 分)若函数 f(x)=log

(2x﹣1)的定义域是( ,+∞) .

考点: 专题: 分析: 解答:

函数的定义域及其求法. 函数的性质及应用. 根据函数成立的条件即可求函数的定义域. 解:要使函数有意义,则 2x﹣1>0,

解得 x> , 即函数的定义域为( ,+∞) , 故答案为: ( ,+∞) 点评: 本题主要考查函数的定义域的求解,要求熟练掌握常见函数成立的条件.比较基础.

5. (5 分)已知向量 =(2,1) , =(0,﹣1) .若( +λ )⊥ ,则实数 λ=5. 考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 本题先将向量 得到本题答案. 解答: 解:∵向量 =(2,1) , =(0,﹣1) , ∴ ∵( +λ )⊥ , ∴2×2+1×(1﹣λ)=0, λ=5. 故答案为:5. 点评: 本题重点考查的是平面向量的数量积,根据两向量垂直得到相关方程,从而求出本 题的解.本题难度不大,属于基础题. . 坐标化,利用两向量垂直得到它们的数量积为零,求出 λ 的值,

6. (5 分)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x<0 时,f(x)=3 ,则 f(sin 为﹣ .

x

)的值

考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由 f(x)为奇函数,则 f(﹣x)=﹣f(x) ,f(sin )=f( )=﹣f(﹣ ) ,再由已

知解析式,计算即可得到. 解答: 解:f(x)是定义在 R 上的奇函数,则有 f(﹣x)=﹣f(x) , 则 f(sin )=f( )=﹣f(﹣ ) ,
x

当 x<0 时,f(x)=3 , 即有 f(﹣ )= 则 f(sin )=﹣ . = . ,

故答案为:﹣

点评: 本题考查函数的奇偶性的运用:求函数值,考查特殊角的三角函数值,运用奇偶性 的定义是解题的关键.

7. (5 分)已知定义域为 R 的函数 f(x)=

是奇函数,则 a=2.

考点: 专题: 分析: 解答:

函数奇偶性的性质. 函数的性质及应用. 因已知奇函数,又是填空题,可以用特值法来求解. 解:因为所给函数的定义域为 R, ,f(1)= ,

所以 f(﹣1)=

因为所给函数是奇函数,所以 f(﹣1)=﹣f(1) , 所以 ,解得:a=2,

故答案为:2. 点评: 本题考察函数的奇偶性,在利用函数奇偶性解决选择填空题时,我们常用特值法来 求解析式中的参数,但是要先看定义域!

8. (5 分)计算:sin 22.5°﹣cos 22.5°=﹣

4

4



考点: 两角和与差的余弦函数. 专题: 三角函数的求值. 分析: 利用平方差公式展开后,再由平方关系和余弦的倍角公式化简求值. 解答: 解:原式=(sin 22.5°+cos 22.5°) (sin 22.5°﹣cos 22.5°) =﹣cos 45°=﹣ 故答案为:﹣ , .
2 2 2 2

点评: 本题考查了平方差公式,平方关系和余弦的倍角公式的应用,属于基础题.

9. (5 分)已知 α∈(0,

) ,若 sin(α﹣

)= ,sinα 的值为



考点: 两角和与差的正弦函数. 专题: 三角函数的求值. 分析: 利用两角和差的正弦公式进行求解即可. 解答: 解:∵α∈(0, ∴α﹣ ∈(﹣ , ) , ) ,

∵sin(α﹣ ∴α﹣

)= >0, ) , = + = )=sin(α﹣ , = , )cos +cos(α﹣ )sin

∈(0, )=

则 cos(α﹣

则 sinα=sin(α﹣ = + ×

故答案为: 点评: 本题主要考查三角函数值的计算,利用两角和差的正弦公式是解决本题的关键.

10. (5 分)设向量 k=3.







的夹角为 120°,则实数

考点: 数量积表示两个向量的夹角. 专题: 计算题;平面向量及应用.

分析: 由向量夹角公式可得,cos120°= 程即可求解 k 解答: 解:由向量夹角公式可得,cos120°= ∴k>0 2 整理可得,k =9 ∴k=3

=

<0 可知,k>0,解方

=

=﹣

故答案为:3 点评: 本题主要考查了向量夹角公式的坐标表示,解题中不要漏掉对 k 的范围的判断,本 题容易漏掉判断 k 而产生两解 k=±3 11. (5 分)设函数 y=2sinx(0≤x≤п)的图象为曲线 C,动点 A(x,y)在曲线 C 上,过 A 且 平行于 x 轴的直线交曲线 C 于点 B(A、B 可以重合) ,设线段 AB 的长为 f(x) ,则函数 f(x) 单调递增区间( ,π) .

考点: 专题: 分析: 解答: 当

正弦函数的图象. 三角函数的图像与性质. 由已知可得线段 AB 的长的函数表达式,据此求出函数的单调递增区间. 解:由图象可知:当 x=0 或 π 时,y=π; 时,f(x)=0; 时,线段 AB 的长随着 x 的增大而减小,

又当 0<x<

∵A 点的坐标为(x,y) ,则 B(π﹣x,y) , 则 f(x)=π﹣x﹣x=﹣2x+π,此时函数单调递减; 又当 <x≤π 时,线段 AB 的长随着 x 的增大而增大,

且 f(x)=x﹣(π﹣x)=2x﹣π. ,此时函数单调递增, 故函数 f(x)的递增求解为( 故答案为: ( ,π) ,π)

点评: 本题主要考查三角函数的图象和性质,根据长度公式求出函数 f(x)的表达式是解 决本题的关键.

12. (5 分)如图,在等腰三角形 ABC 中,底边 BC=2, 则 =0.



=

,若

= ,

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 在等腰三角形 ABC 中,底边 BC=2,因此可取 BC 的中点 O 作为坐标原点距离平面 直角坐标系.利用向量的坐标运算解决共线与数量积即可得出答案. 解答: 解:∵在等腰三角形 ABC 中,底边 BC=2,∴可取 BC 的中点 O 作为坐标原点距离 平面直角坐标系. 则 B(﹣1,0) ,C(1,0) , 设 A(0,a) (a>0) .∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ = ,∴ = . = =0. = = ,∴ . , = . , ,∴D .

=(1,﹣a) . ,解得 .

故答案为 0.

点评: 熟练掌握通过建立平面直角坐标系,利用向量的坐标运算解决共线和数量积是解题 的关键.
2

13. (5 分)已知 =(1,sin x) , =(2,sin2x) ,其中 x∈(0,π) ,若| 的值等于 1. 考点: 平面向量数量积的运算. 分析: 根据| 答案. 解答: 解:∵|
2

|=| |?| |,则 tanx

|=| || ||cosθ|=| |?| |可得|cosθ|=1,即 ∥ ,进而求出 sinx=cosx.从而得到

|=| || ||cosθ|=| |?| |,∴|cosθ|=1

即 ∥

∵ =(1,sin x) , =(2,sin2x) , ∴sin2x=2sin x∴sinx=cosx ∴tanx=1 故答案为:1 点评: 本题主要考查向量的数量积运算.属基础题.
2

14. (5 分)已知直线 x=a(0<a<

)与函数 f(x)=sinx 和函数 g(x)=cosx 的图象分别交 .

于 M,N 两点,若 MN= ,则线段 MN 的中点纵坐标为

考点: 中点坐标公式. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 先画出图象,由题意可得|sina﹣cosa|= ,于是 sin2a= 将其平方即可得出. 解答: 解:先画出图象,由题意可得|sina﹣cosa|= ,两边平方得 1﹣sin2a= 设线段 MN 的中点纵坐标为 b>0,则 b= 故答案为 . ,∴ = ,∴sin2a= ,∴b= . . .要求的中点是 ,

点评: 本题考查三角函数的图象和性质,数形结合思想是解决问题的关键. 二.解答题:本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤, 请把答案写在答题纸的指定区域内. 15. (14 分) (1)设 α 为第四象限角,其终边上一个点为 求 sinα; ,且 ,

(2)若

,求 tanα 的值.

考点: 同角三角函数间的基本关系;任意角的三角函数的定义. 专题: 计算题. 分析: (1)先利用余弦函数的定义,求得 x =3,从而
2

,进而利用正弦函数的

定义可求 sinα; (2)两边平方,再利用同角三角函数的商数关系,即可求得 tanα 的值. 解答: 解: (1)∵α 终边上一个点为 ∴ ∴x =3 ∴ ∴ ;
2

,且



(2)∵ 2 ∴两边平方,化简得:4sinαcosα+3sin α=4 ∴

∴ 解得 tanα=2. 点评: 本题重点考查三角函数的定义,考查同角三角函数的关系,熟练运用三角函数的定 义是关键.

16. (14 分)函数 f(x)=Asin(ωx+

) (其中 A>0,ω>0)的振幅为 2,周期为 π.

(1)求 f(x)的解析式并写出 f(x)的单调增区间; (2)将 f(x)的图象先左移 个单位,再将每个点的纵坐标不变,横坐标变为原来的 2 倍,

得到 g(x)的图象,求 g(x)解析式和对称中心(m,0) ,m∈[0,π]. 考点: 正弦函数的图象;函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1)根据函数振幅和周期求出 A,ω 的值即可求 f(x)的解析式并写出 f(x)的单 调增区间; (2)根据三角函数的平移关系求出 g(x)的表达式,结合对称函数的性质即可得到结论. 解答: 解: (1)由题可知:A=2 且 解得 ω=2,

则 f(x)=2sin(2x+ 令 2kπ 得 ≤2x+ +kπ≤x≤

) ;…(5 分) ,k∈Z,

≤2kπ

+kπ, (k∈Z) +kπ, +kπ](k∈Z) ;…(10 分) )+ ]=2sin(2x+ ) ; ) ,

故 f(x)的单调增区间为[ (2)将 f(x)的图象先左移

个单位,得到 2sin[2(x+

再将每个点的纵坐标不变,横坐标变为原来的 2 倍,得到 g(x)=2sin(x+ 由 x+ =kπ,解得 x=kπ﹣ ,k∈Z,

∵m∈[0,π]. ∴当 k=1,得 x=m= 即函数的对称中心( , ,0) ,…(14 分)

点评: 本题主要考查三角函数的解析式的求解以及三角函数图象的变换,根据条件求出函 数的解析式是解决本题的关键.

17. (15 分)已知: (1)求 (2)求满足条件 (3)若向量 满足 的实数 m,n. ,且 求 .

考点: 向量的模;平行向量与共线向量;向量的共线定理. 专题: 计算题. 分析: (1)由 坐标,代入向量模的公式,即可得到答案. (2)由 m,n 的方程组,解方程组,即可得到实数 m,n 的值. (3)若 ,由向量的共线定理,我们易得 ,又由 及 ,我们可构造一个关于 ,我们易求出 的

,我们可以得到一个关于 λ 的方程,解方程求出 λ 的值,进而求以求出向量 的坐 标.

解答: 解: (1) ∴ (2)由 得 (5 分)

=(4,7) (3 分)

(3,2)=m(﹣1,2)+n(4,1)=(﹣m+4n,2m+n) (6 分) ∴ (8 分)



(10 分)

(3) ∴ ∴ ∴ (λ∈R) (11 分) ∴ (14 分) , (15 分) . (16 分) 点评: 判断两个向量的关系(平行或垂直)或是已知两个向量的关系求未知参数的值,要 熟练掌握向量平行(共线)及垂直的坐标运算法则,即“两个向量若平行,交叉相乘差为 0, 两个向量若垂直,对应相乘和为 0”. 18. (15 分)已知函数 f(x)=4sinxcos(x+ (1)f(x)在区间[﹣ , )+ .

]上的最大值和最小值及取得最值时 x 的值. , ]上有唯一解,求实数 t 的取值范围.

(2)若方程 f(x)﹣t=0 在 x∈[﹣

考点: 三角函数中的恒等变换应用;三角函数的最值. 专题: 三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 分析: (1)首先通过三角函数的关系式对函数进行恒等变换,进一步把函数的关系式变形 成正弦型函数,进一步利用三角函数的定义域求出函数的最值. (2)利用(1)的结论,对具有严格单调区间的函数具有唯一解. 解答: 解: (1)f(x)= = =sin2x+ )+

=2 因为:﹣ 所以: 所以 所以﹣1≤f(x)≤2, 当 即 x= (2)因为 且单调递增, 所以 , 时,f(x)min=﹣1,当 时, 时, ,即: , , ,且单调递减, 时,f(x)max=2, , ,

所以 f(x)=t,有唯一解时对应 t 的范围为 t 或 t=2 点评: 本题考查的知识要点:三角函数关系式的恒等变换,正弦型函数的性质的应用,利 用函数的定义域求三角函数的值域,最值的应用,单调性的应用,属于基础题型.
2

19. (16 分)已知函数 f(x)=x ﹣2cosθx+1,x∈[﹣ (1)当 θ= 时,求 f(x)的最大值和最小值.

, ]

(2)若 f(x)在 x∈[﹣

, ]上是单调函数,且 θ∈[0,2π) ,求 θ 的取值范围. 的值.

(3)若 sinα,cosα 是方程 f(x)= +cosθ 的两个实根,求

考点: 三角函数的最值;二次函数的性质. 专题: 三角函数的求值. 分析: (1)当 θ= 时,f(x)=x ﹣x+1=
2

+ ,x∈[﹣

, ],再利用二次函

数的性质求得 f(x)的最值. (2)由条件利用二次函数的性质可得 cosθ≥ 或 cosθ≤﹣ θ 的取值范围. (3)由条件利用韦达定理可得 sinα+cosα=2cosθ,sinαcosα= ﹣cosθ.再利用同角三角函数的 基本关系求得 cosθ= ,可得 = 的值 (舍去) ,结合 θ∈[0,2π) ,求得

解答: 解: (1)当 θ=

时,∵f(x)=x ﹣x+1=

2

+ ,x∈[﹣

, ], .

∴当 x= 时,f(x)取得最小值为 ,当 x=﹣ (2)若 f(x)=x ﹣2cosθx+1 在 x∈[﹣ 则有 cosθ≥ 或 cosθ≤﹣ (舍去) ,
2

时,f(x)取得最大值为

, ]上是单调函数,

结合 θ∈[0,2π) ,求得 θ 的取值范围为[0,

]∪[

, 2π) .
2

(3)若 sinα,cosα 是方程 f(x)= +cosθ 的两个实根,即 sinα,cosα 是方程 x ﹣2cosθx+ ﹣ cosθ=0 的两个实根, ∴sinα+cosα=2cosθ,sinαcosα= ﹣cosθ. ∴1+2( ﹣cosθ)=4cos θ,解得 cosθ= ∴ = = =
2

, = .

点评: 本题主要考查二次函数的性质,同角三角函数的基本关系,属于中档题. 20. (16 分)省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后,发现一天中环 境综合放射性污染指数 f(x)与时刻 x(时)的关系为 f(x)=|g(x)﹣a|+2a+ ,x∈[0,24],

其中 g(x)=

,a 是与气象有关的参数,且 a∈[0, ],若用每

天 f(x)的最大值为当天的综合放射性污染指数,并记作 M(a) . (1)令 t=g(x) ,求 t 的取值范围; (2)省政府规定,每天的综合放射性污染指数不得超过 2,试问目前市中心的综合放射性污 染指数是否超标? 考点: 分段函数的应用. 专题: 计算题;应用题;函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析: (1)由正弦函数的图象和性质和幂函数的单调性,即可得到 t 的范围;

(2)当 a∈[0, ]时,记 g(t)=|t﹣a|+2a+ ,则 g(t)=

,运用一次

函数的单调性,可得最大值和最小值,作差即可得到 M(a) ,当且仅当 a≤ 即可判断.

时,M(a)≤2,

解答: 解(1)当 0≤x≤2 时,y= sin 当 2<x≤24 时,y= ∈[ , ) ,

∈[0, ],

则当 0<x≤24 时,t 的取值范围是[0, ]; (2)当 a∈[0, ]时,记 g(t)=|t﹣a|+2a+ ,

则 g(t)=



∵g(t)在[0,a]上单调递减,在(a, ]上单调递增, 且 g(0)=3a+ ,g( )=a+ ,g(0)﹣g( )=2 (a﹣ ) .

故 M(a)=

=



∴当且仅当 a≤ 故当 0≤a≤

时,M(a)≤2. 时超标.

时不超标,当 <a≤

点评: 本题考查分段函数的运用,考查函数的单调性的运用,考查运算能力,属于中档题 和易错题.


推荐相关:
网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 大学生考试网 9299.net
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com