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山东省临沂市2016届高三数学上学期10月阶段性教学质量检测试题 理

山东省临沂市2016届高三数学上学期10月阶段性教学质量检测试题 理


高三阶段性教学质量检测数学(理科)试题
第Ⅰ卷(选择题共 50 分) 注意事项: 1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上. 2.每题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再改涂在 其它答案标号. 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.已知全集 U ? R, 集合 A ? ? x | y ? log 3 ( x ? 1)? , B ? y | y ? 2 x ,则 (?U A) ? B ? A. (0, +?) B. (0,1] C. (1, ??) D. (1, 2)

?

?

2.下列关于命题的说法正确的是
2 A.命题“若 x 2 ? 1, 则 x ? 1 ”的否命题为:“若 x ? 1 ,则 x ? 1 ”;

B.“ x ? ?1 ”是“ x 2 ? 5x ? 6 ? 0 ”的必要不充分条件; C.命题“ a 、 b 都是有理数”的否定是“ a 、 b 都不是有理数”; D.命题“若 x ? y ,则 sin x ? sin y ”的逆否命题为真命题. 3. 若 a ? 0.32 , b ? 20.3 , c ? log0.3 2 ,则 a , b, c 由大到小的关系是 A.
a?b?c

B. b ? a ? c

C. b ? c ? a

D. c ? a ? b

4.给出下列图象

其中可能为函数 f ? x ? ? x ? ax ? cx ? bx ? d ? a, b, c, d ? R ? 的图象是
4 3 2

A.①③

B.①②

C.③④

D.②④

5.已知函数 y ? f ? x ? 满足:① y ? f ? x ? 1? 为偶函数;②在 ?1, ?? ? 上为增函数, 若 x1 ? 0, x2 ? 0 ,且 x1 ? x2 ? ?2,则f ? ?x1 ? 与f ? ?x2 ? 的大小关系是 A. f ? ? x1 ? ? f ? ? x2 ? B. f ? ? x1 ? ? f ? ? x2 ? C. f ? ? x1 ? ? f ? ? x2 ? D.无法确定

6. 将函数 y ? cos(2 x ? ? ) 的图像沿 x 轴向左平移 为 A. ?

? 个单位后,得到一个奇函数的图像,则 ? 的取值可能 6

?
3

B. ?

?
6

C.

? 6

D.

? 3

1

? 1 x ?( ) , x ? 4, 7. 已知函数 f ( x) ? ? 2 则 f (2 ? log 1 3) ? 2 ? ? f ( x ? 1), x ? 4,
1 24
B. b ?

A.

B.

1 12
D. 0 ? b ? 1

C.

1 8

D.

3 8

8. 函数 f ( x) ? x 3 ? 3bx ? 3b 在(0,1)内有极小值,则 A. b ? 0

1 2

C. b ? 1

?x ? 0 ? 9.已知点 M ? a, b ? 在由不等式组 ? y ? 0 确定的平面区域内,则点 N ? a ? b, a ? b? 所在平面区域的面 ?x ? y ? 2 ?
积是 A.1 B.2 C.4 D.8

10.设函数 y=f(x)在区间 D 上的导函数为 f′(x),f′(x)在区间 D 上的导函数为 g(x)。 若在区间 D 上,g(x)<0 恒成立,则称函数 f(x)在区间 D 上为“凸函数” 。已知 实 数 m 是 常 数 , f ( x) ?

x 4 mx 3 3x 2 若 对满 足 | m |≤ 2 的 任何 一个 实数 m, ? ? 12 6 2 ,


函 数 f ( x ) 在 区 间 ( a , b ) 上 都 为 “ 凸 函 数 ”, 则 b ? a 的 最 大 值 为 ( A.3 B.2 C.1 D. ? 1

2

第Ⅱ卷 (非选择题 共 100 分) 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.若不等式 | x ? 1| ? | x ? 4 |? a2 -7a ? 1 对任意的 x ? R 恒成立,则实数 a 的取值范围 是__________. 12. 若 函 数 f ? x ? ? ? ___________. 13.曲线 y ? x2 与直线 y ? x 所围成的封闭图形的面积为___________. 14.设 x,y 均为正数,且

?? x ? 6, x ? 2, ( a ? 0 且 a ? 1 ) 的 值 域 是 ? 4, ?? ? , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 ?3 ? log a x, x ? 2,

1 1 1 ? ? ,则 xy 的最小值为___________. x ?1 y ?1 2

15.设函数 数

f ? x?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?C x ? D ,存在唯一的 x2 ? D 满足 2 的定义域为 D,若任取 1 ,则称 C 为函

y ? f ? x?

2 x 在 D 上的均值.给出下列五个函数: ①y ? x; ②y?x ; ③ y ? 4sin x ; ④ y ? 1gx ; ⑤y?2 .

则所有满足在其定义域上的均值为 2 的函数的序号为___________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 12 分)

f (? ) ? f (0) f ( x) ? cos x(a sin x ? cos x) ? cos 2 ( ? x) 3 2 a ? R 设 ,函数 满足 .
(Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调减区间;

?

?

(Ⅱ)求函数 f ( x) 在

x ? [0, ] 2 上的值域.
1

?

17. (本小题满分 12 分)
f ( x) ? lg(ax ? x ? a) x x 16 的定义域为 R ;命题 q :不等式 3 ? 9 ? a 对一切正实数 x 均成立。 设命题 p :函数 (Ⅰ)如果 p 是真命题,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)如果命题“ p 或 q ”为真命题,且“ p 且 q ”为假命题,求实数 a 的取值范围;
2

18.(本小题满分 12 分) 设 a ? R ,解关于 x 的不等式 ax ? (1 ? 2a) x ? 2 ? 0 .
2

19.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? e ? ax ( e 为自然对数的底数).
x

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间;

3

M ? {x | ? x ? 2} 2 (Ⅱ)已知函数 f ( x) 在 x ? 0 处取得极小值,不等式 f ( x) ? mx 的解集为 P ,若 ,且

1

M ? P ? ? ,求实数 m 的取值范围.
20.(本小题满分 13 分) 经过多年的运作,“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴. 为迎接 2015 年 “双十一”购狂欢节,某厂商拟投入适当的广告费,对上所售产品进行促销. 经调查测算,该促销产品在

P ? 3?
“双十一”的销售量 P 万件与促销费用 x 万元满足

2 x ? 1 (其中 0 ? x ? a ,a 为正常数).已知生产

该批产品 P 万件还需投入成本 10 ? 2 P 万元(不含促销费用),产品的销售价格定为 厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求. (Ⅰ)将该产品的利润 y 万元表示为促销费用 x 万元的函数; (Ⅱ)促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大? 21.(本小题满分 14 分) 已知函数

(4 ?

20 ) P 元/件,假定

f ? x ? ? ln x ? a ? x ? 1? ? a ? R ?
2

.

(Ⅰ)求函数 (Ⅱ)若函数

f ? x? f ? x?

在点

P ?1, 0 ?

处的切线方程;

有极小值,试求 a 的取值范围; 上,函数

(Ⅲ)若在区间

x ? ?1, ?? ?

f ? x?

不出现在直线 y ? x ? 1 的上方,试求 a 的最大值.

4

高三数学(理)答案 一、选择题 1-5 BDBAC 填空题 11. 1 ? a ? 6 三、解答题 6-10CADCB

12. 1 ? a ? 2

1 13. 6

14.9

15. ①④

f ( x) ? cos x(a sin x ? cos x) ? cos 2 ( ? x) ? a sin x cos x ? cos 2 x ? sin 2 x 2 16.解: (I)
? a sin 2 x ? cos 2 x 2 .

?

? 3a 1 f (? ) ? f (0) ? ? ? ?1, ?a ? 2 3 3 4 2 由 得, ,
f ( x) ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 sin( 2 x ? ) 6 ,

?

2k? ?


?
2

? 2x ?

?
6

? 2k? ?

3? ? 5? , k ? Z得k? ? ? x ? k? ? ,k ?Z 2 3 6
[k? ?

?
3

? 函数 f ( x) 的单调减区间为:

, k? ?

5? ], k ? Z . 6

? ? ? ? ? x ? [0, ] [ 0, ] [ , ] 2 ,? 函数 f ( x) 在 3 上单调增函数,在 3 2 上单调减函数, (Ⅱ)

? ? ? 5? f (0) ? 2 sin( ? ) ? ?1, f ( ) ? 2 ?1 ? 2, f ( ) ? 2 sin ?1 6 3 2 6
? 函数 f ( x) 在
x ? [0, ] 2 上的值域为: [?1,2] . ax 2 ? x ? 1 a?0 16 恒成立

?

17. 解: (I)若命题为 p 真,即 ①当 a ? 0 时, ? x ? 0 不合题意

? a?0 ? a ? 0 ? ? 1 2 ? 1? a ? 0 ? ? 0 ,即 ? ?a ? 2 ? 4 ②当 a ? 0 时,可得 ?

1 1 y ? 3x ? 9 x ? ?(3x ? ) 2 ? 2 4 (II)令
若命题 q 为真,则 a ? 0

x 由 x ? 0 得3 ?1

由命题“ p 或 q ”为真且“ p 且 q ”为假,得命题 p 、 q 一真一假 当 p 真 q 假时, a 不存在 当 p 假 q 真时, 0 ? a ? 2 综上所述, a 的取值范围是: 0 ? a ? 2 18.解:不等式等价 ?ax ? 1??x ? 2? ? 0 (1)当 a ? 0 时,则不等式化为 x ? 2 ? 0 ,解得 x ? 2

1 (2)若 a ? 0 ,则方程的两根分别为 2 和 a ?

①当

a??

1 1 ? ?x?2 2 时,解不等式得 a

②当

a??

1 2 时,解不等式得空集

1 1 ?a?0 2? x?? a ③当 2 时,解不等式得 ? 1 x ? ? 或x ? 2 a ④当 a ? 0 时,解不等式得

综上所述,当

a??

1 ? ? 1 ? x | ? ? x ? 2? a ? 2 时,不等式的解集为 ?



a??

1 2 时,不等式的解集为空集

1? ? 1 ?x | 2 ? x ? ? ? ?a?0 a? 当 2 时,不等式解集 ?
?
当 a ? 0 时,不等式的解集 ?x | x ? 2?

1 ? ? ? x | x ? ? 或x ? 2? a ? 当 a ? 0 时,不等式的解集 ?

x ? 19 解: (Ⅰ) f ( x) ? e ? a .

? ? ?) ,无单调递减区间; 当 a ? 0 时, f ( x) ? 0 恒成立,此时 f ( x) 的单调递增区间为 (?? , ln a ) 时, f ?( x) ? 0 , x ? (ln a , ? ?) 时, f ?( x) ? 0 , 当 a ? 0 时, x ? (?? , ? ?) ,单调递减区间为 (?? , ln a) . 此时 f ( x) 的单调递增区间为 (ln a ,

? (Ⅱ)由题意知 f (0) ? 0 得 a ? 1 ,经检验此时 f ( x) 在 x ? 0 处取得极小值.

1 [ , 2] 因为 M ? P ? ? ,所以 f ( x) ? mx 在 2 上有解,
1 ?x ? [ , 2] 2 即 使 f ( x) ? mx 成立, 1 ex ? x ex ? x ?x ? [ , 2] m ? m?( ) min 2 x 成立, 所以 x 即 使 .
g ( x) ?
令 则

1 ex ( x ? 1)e x [ , 1] ? 1 g ?( x) ? 2 2] 上单调递增, x x , , 所以 g ( x) 在 2 上单调递减, 在 [1 ,

g ( x) min ? g (1) ? e ? 1 ,

所以 m ? (e ? 1 ,+? ) .

y ? (4 ?
20.(I)由题意知,

20 ) p ? x ? (10 ? 2 p) p ,

p ? 3?


2 4 y ? 16 ? ?x x ? 1 代入化简得: x ?1 ( 0 ? x ? a ).
?4

y? ? ?1 ?
(Ⅱ) 当 a ? 1 时,

? x ? 1?

2

?

? ? x ? 1? ? 4
2

? x ? 1?

2

??

x2 ? 2 x ? 3

? x ? 1?

2

??

? x ? 3?? x ? 1? ? x ? 1?
2



x ? ? 0,1?

? 时 y ? 0 , 所以函数

y ? 16 ? x ?

4 x ? 1 在 ? 0,1? 上单调递增

x ? ?1,a ?

? 时 y ? 0 ,所以函数

y ? 16 ? x ?

4 x ? 1 在 ?1, a ? 上单调递减

促销费用投入 1 万元时,厂家的利润最大;---

当 a ? 1 时,因为函数

y ? 16 ? x ?

4 x ? 1 在 ? 0,1? 上单调递增

y ? 16 ? x ?

4 x ? 1 在 ?0, a ? 上单调递增,

所以 x ? a 时,函数有最大值.即促销费用投入 a 万元时,厂家的利润最大 . 综上,当 a ? 1 时, 促销费用投入 1 万元,厂家的利润最大; 当 a ? 1 时, 促销费用投入 a 万元,厂家的利润最大
y ? 17 ? ( 4 4 ? x ? 1) ? 17 ? 2 ? ( x ? 1) ? 13 x ?1 x ?1 ,

(注:当 a ? 1 时,也可:

4 ? x ? 1, 即x ? 1 x 当且仅当 ? 1 时,上式取等号)

注意:厂家盈利是 a 有应该最大值

f ?( x) ?
21.解: (Ⅰ)

1 ? 2a ( x ? 1)( x ? 0) x

? f ?(1) ? 1 ,又 f (1) ? 0
所以 f ( x) 在点 P(1,0)处的切线方程为 y ? x ? 1 .

f ?( x) ?
(Ⅱ)
2

2ax 2 ? 2ax ? 1 , ( x ? 0) x

令 g ( x) ? 2ax ? 2ax ? 1, ( x ? 0)

? (i) a ? 0 时 f ( x) ? 0 在 (0, ??) 上恒成立, f ( x) 无极小值;
(ii) a ? 0 时, g ?0 ? ? 1 ? 0 ,所以 g ( x) ? 0 有两解 x1 , x2 ,且 x1 ? 0 ? x2 ;

0 ? x ? x2 时 g ( x) ? 0 , f ?( x) ? 0 x ? x2 时 g ( x) ? 0 , f ?( x) ? 0
此时, f ( x) 无极小值.

(iii) a ? 0 时 , 因为 g (0) ? 1 ? 0 , g ( x) 的对称轴为

x?

1 2 , 要使函数 f ( x) 有极小值 , 则

? ? 0 即 4a 2 ? 8a ? 0 ? a ? 0 或 a ? 2 ? a ? 2

x ,x ?0 ,不妨设设 此 时 g ( x) ? 0 有 两 解 3 4

x3 ? x4

, 则

x3 ? x ? x4 时 g ( x) ? 0 ,

f ?( x) ? 0 , x ? x4 时 g ( x) ? 0 , f ?( x) ? 0 此时, f ( x) 有极小值 f ( x4 ) .
综上所述, a ? 2 . (Ⅲ)由题意, f ( x) ? x ? 1 , x ? 1 , 即 ln x ? a ( x ? 1) ? x ? 1 , x ? 1
2

下证: ln x ? x ? 1 , x ? 0 ,记 h( x) ? ln x ? ( x ? 1) ? ln x ? x ? 1, x ? 0

h?( x) ?

x ?1

1 1? x ?1 ? ,x ?0 ? x x , 0 ? x ? 1 时 h ( x) ? 0 ,

? 时 h ( x) ? 0 , ? h( x) ? h(1) ? 0 ,即 ln x ? x ? 1 , x ? 0
(i) a ? 0 时 f ( x) ? ln x ? x ? 1

x ?1

(ii) a ? 0 时,取

x ? 1?

1 a

1 1 f ( x) ? ln x ? a ( x ? 1)( x ? 1) ? ln(1 ? ) ? a (1 ? ? 1)( x ? 1) a a 则
? ln 1 ? x ? 1 ? x ? 1 与题意矛盾.
故 a 的最大值为 0. 注:第三问的取值不唯一,只要取大于 1 的数均能证明!


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