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高中数学第二章 指数函数及其性质 第2课时 习题课——指数函数及其性质课时提升作业 新人教版

高中数学第二章 指数函数及其性质 第2课时 习题课——指数函数及其性质课时提升作业 新人教版

课时提升作业(十七)习题课——指数函数及其性质的应用

一、选择题(每小题 5 分,共 25 分)

(25 分钟 60 分)

1.(2015·佳木斯高一检测)函数 f(x)=ax+

(a>0 且 a≠1)是 ( )

A.奇函数也是偶函数 C.既非奇函数也非偶函数

B.偶函数 D.奇函数

【解析】选 B.因为 f(-x)=a-x+

=ax+

=f(x),故该函数为偶函数.

2.已知函数 f(x)= ,则函数在(0,+∞)上 ( )

A.单调递减且无最小值 C.单调递增且无最大值

B.单调递减且有最小值 D.单调递增且有最大值

【解析】选 A.由于 3x>0,则 3x+2>2,0<

< ,故函数 f(x)=

在(0,+∞)上既无最大值也无最小值,而

y=3x 单调递增,故 f(x)= 在(0,+∞)上单调递减. 3.(201 5·烟台高一检测)函数 y=ax-a(a>0,a≠1)的图象可能是 ( )

【解析】选 C.若 a>1,则 y=ax-a 应为增函数,且与 y 轴的交点为(0,1-a),因为 a>1,所以 1-a<0,即与 y 轴的 交点在 x 轴的下方,故选项 A 不正确,当 y=0 时,x=1,即与 x 轴的交点为(1,0),故选项 B 不正确.当 0<a<1 时, 函数为减函数,且与 y 轴的交点为(0,1-a)且 0<1-a<1,故选项 C 正确.

4.已知 f =a- x(a>0,且 a≠1),且 f(-2)>f(-3),则 a 的取值范围是 ( )

A.a>0

B.a>1

C.a<1

D.0<a<1

【解析】选 D.因为 f =a-x=

,f(-2)>f(-3),所以 >1,解得 0<a<1.

5.已知奇函数 f(x)与偶函数 g(x)满足 f(x)+g(x)=ax-a-x+2,且 g(b)=a,则 f(2)的值为 ( )

A.a2

B.2

C.

D.

【 解 题 指 南 】 由 奇 函 数 f(x) 与 偶 函 数 g(x) 满 足 f(x)+g(x)=ax-a-x+2, 知 f(x)+g(x)=ax-a-x+2,g(x)-f(x)=a-x-ax+2,故 g(x)=2,f(x)=2x-2-x,由此能够求出 f(2). 【解析】选 D.因为 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数, 所以 f(-x)=-f(x),g(x)=g(-x), 因为 f(x)+g(x)=ax-a-x+2,① 所以 f(-x)+g(-x)=a-x-ax+2, 所以 g(x)-f(x)=a-x-ax+2,② ①+②,得 2g(x)=4,所以 g(x)=2. 因为 g(b)=a,所以 a=2. 所以 f(x)=2x-2-x+2-g(x)=2x-2-x.
所以 f(2)=22-2-2=4- = .

二、填空题(每小题 5 分,共 15 分)

6.一片树林中现有木材 30000m3,如果每年增长 5%,经过 x 年树林中有木材 ym3,那么 x,y 间的函数关系式



.

【解析】经过 1 年树林中有木材 30000(1+5%)m3,

经过 2 年树林中有木材 30000(1+5%)2m3,

经过 x 年树林中有木材 30000(1+5%)xm3.

故 x,y 间的函数关系式为 y=30000

(x∈N*).

答案:y=30000

(x≥0)

【补偿训练】一批设备价值 a 万元,由于使用磨损,每年比上一年价值降低 b%,则 n 年后这批设备的价值



.

【解析】经过 1 年后设备的价值为 a(1-b%)万元;

经过 2 年后设备的价值为 a(1-b%)2 万元;

经过 3 年后设备的价值为 a(1-b%)3 万元;

故经过 n 年后设备的价值为 a(1-b%)n 万元.

答案:a(1-b%)n(n∈N*)

7.已知 a=0.80.7,b=0.80.9,c=1.20.8,则 a,b,c 的大小关系是

.

【解析】因为函数 y=0.8x 是 R 上的单调减函数,所以 a>b.又因为 a=0.80.7<0.80=1,c=1.20.8>1.20=1,所以 c>a.

故 c>a>b. 答案:c>a>b

【补偿训练】

,34,

的大小关系为( )

A. 34>

>

B.

>34>

C.34>

>

D.

>

>34

【解析】选 A.因为 = ,

=32,而 34>32> ,故 34>

>.

8.已知 f(x)=x2,g(x)=

-m.若对任意 x1∈[-1, 3],总存在 x2∈[0,2],使得 f(x1)≥g(x2)成立,则实数 m

的取值范围是

.

【解题指南】由对任意 x1∈[-1,3],存在 x2∈[0,2],f(x1)≥g(x2),可知 f(x)min≥g(x)min,结合二次函数及指 数函数的性质可求.

【解析】因为对任意 x1∈[-1, 3],f(x)min=0, 因为 x2∈[0,2],

g(x)= -m∈

,

因为对任意 x1∈[-1,3],存在 x2∈[0,2],f(x1)≥g(x2),

所以 f(x)min≥g(x)min,所以 0≥ -m,所以 m≥ .

答案:
三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 9.比较下列各组值的大小: (1)1.8-0.1,1.8-0.2.(2)1.90.3,0.73.1. (3)a1.3,a2.5(a>0,且 a≠1). 【解析】(1)由于 1.8>1,所以指数函数 y=1.8x 在 R 上为增函数.所以 1.8-0.1>1.8-0.2. (2)因为 1.90.3>1,0.73.1<1,所以 1.90.3>0.73.1. (3)当 a>1 时 ,函数 y=ax 是增函数,此时 a1.3<a2.5; 当 0<a<1 时,函数 y=ax 是减函数,此时 a1.3>a2.5, 故当 0<a<1 时,a1.3>a2.5;

当 a>1 时,a1.3<a2.5 .

10.(2015·福州高一检测)若 ax+1>

(a>0,且 a≠1),求 x 的取值范围.

【解题指南】由于 a>0,且 a≠1,可对 a 分为 0<a<1 和 a>1 两种情况讨论求解.

【解析】因为 ax+1>

,所以 ax+1>a3x-5,

当 a>1 时 , 可得 x+1>3x-5,所以 x<3.

当 0<a<1 时,可得 x+1<3x-5,所以 x>3.

综上,当 a>1 时,x<3;当 0<a<1 时,x>3.

一、选择题(每小题 5 分,共 10 分)

(20 分钟 40 分)

1.(2015·杭州高一检测)若-1<x<0,则下列不等式中成立的是 ( )

A.5-x<5x<

B.5x<

<5-x

C.5x<5-x<

D.

<5-x<5x

【解析】选 B.因为-1<x<0,所以 5x<1,

>1,故 5x<

,又因为 5-x=

,-1<x<0,所以

<

,



<5-x,所以 5x<

<5-x.

【补偿训练】已知 a=

,b=

,c=

,则 a,b,c 的大小关系是 ( )

A.c<a<b

B.a<b<c

C.b<a<c

D.c<b<a

【解析】选 D.对于指数函数 y=ax,若 x<0,则当 0<a<1 时,有 ax>1;当 a>1 时,有 0<ax<1.

所以 0<

<1,

>1,

>1.

又因为函数 y= 且- <- ,

在 R 上是减函数,

所以

>

.

综上知

>

>

,

即 c<b<a.

2.(2015·黄石高一检测)f(x)=

是 R 上的增函数,则 a 的取值范围是

A.[1,+∞) C.[2,+∞)

B.(-∞,1] D.(-∞,2]

()

【解析】选 B.由于 f(x)=

在 R 上是增函数,所以当 x=0 时,0+a≤1,所以 a≤1.

二、填空题(每小题 5 分,共 10 分)

3.(2015·南昌高一检测)已知函数 f =ax 在 x∈[-2,2]上恒有 f <2,则 a 的取值范围为

.

【解题指南】对 a 分为 a>1 和 0<a<1 两种情况讨论求解.

【解析】当 a>1 时,函数 f =ax 在[-2,2]上单调递增,此时 f ≤f = a2,由题意可知 a2 <2,所以

1<a< . 当 0<a<1 时,函数 f =ax 在[-2,2]上单调递减,此时 f ≤f(-2)=a-2,由题意可知 a-2<2,所以 <a<1.综

上所述,所求 a 的取值范围是

∪(1, ).

答案:

∪(1, )

4.(2015·厦门高一检测)对于函数 f 的定义域中的任意的 x1,x2(x1≠x2),有如下的结论:

①f(x1+x2)=f

·f

;

②f

=f

+f

;



>0;



<0.

当 f =10x 时,上述结论中正确的是

(填序号).

【解题指南】利用指数幂的有关运算以及指数函数的单调性进行判断.

【解析】因为 f =10x,且 x1≠x2,所以 f(x1+x2)=1

=1 ·1 =f

·f

,所以①正确;

因为 f

=1

≠1 +1 =f

+f

,所以②不正确;因为 f =10x 是增函数,所以

f

-f

与 x1-x2 同号,所以

答案:①③

三、解答题(每小题 10 分,共 20 分)

>0,所以③正确,④不正确.

5.求函数 y=

的定义域、值域和单调区间.

【解析】定义域为 R.令 t=x2-3x+2= 因为 y= 在 R 上是单调减函数,

- ,t∈

,所以值域为

.

所以 y=



上为单调增函数,在

上是单调减函数.

【拓展延伸】指数型复合函数的单调性的求解步骤 (1)求定义域:依据题意明确研究范围. (2)拆分:把原函数拆分成几个基本函数. (3)定性质:分层逐一求单调性. (4)下结论:根 据复合函数的单调性法则即“同增异减”,得出原函数的单调性.

6.(2015·长沙高一检测)已知函数 f(x)=1+ .

(1)求函数 f(x)的定义域. (2)证明函数 f(x )在(-∞,0)上为减函数.

【解析】(1)由 f(x)=1+ 可得,2x-1≠0,所以 x≠0.所以函数 f(x)的定义域为{x|x∈R 且 x≠0}.

(2)设 x1,x2∈(-∞,0)且 x1<x2.

f(x1)-f(x2)=

-

=

因为 x1,x2∈(-∞,0)且 x1<x2,

所以 > 且 <1, <1. 所以 f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2). 所以函数 f(x)在(-∞,0)上为减函数.


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