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推荐学习K122018-2019学年高中数学苏教版选修2-3教学案:1.5.1 二项式定理-缺答案

推荐学习K122018-2019学年高中数学苏教版选修2-3教学案:1.5.1 二项式定理-缺答案

推荐学习 K12 资料 1.5.1 二项式定理 [对应学生用书P19] 问题 1:我们在初中学习了(a+b)2=a2+2ab+b2,试用多项式的乘法推导(a+b)3,(a +b)4 的展开式. 提示:(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3,(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4. 问题 2:上述两个等式的右侧有何特点? 提示:展开式中的项数是 n+1 项,每一项的次数为 n. 问题 3:你能用组合的观点说明(a+b)4 是如何展开的吗? 提示:因(a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b).由多项式乘法法则知,从四个 a+b 中选 a 或选 b 是任意的.若有一个选 b,则其余三个都选 a,其方法有 C14种,式子为 C14a3b;若有 两个选 b,则其余两个选 a,其方法有 C24种,式子为 C24a2b2. 问题 4:能用类比方法写出(a+b)n(n∈N*)的展开式吗? 提示:能,(a+b)n=C0nan+C1nan-1b+…+Cnnbn. 1.二项式定理 公式(a+b)n=C0nan+C1nan-1b+…+Crnan-rbr+…+Cnnbn(n∈N*),叫做二项式定理,右 边的多项式叫做(a+b)n 的二项展开式,它一共有 n+1 项. 2.二项展开式的通项 Crnan-rbr 叫做二项展开式的第 r+1 项(也称通项),用 Tr+1 表示,即 Tr+1=Crnan-rbr. 3.二项式系数 Crn(r=0,1,2,…,n)叫做第 r+1 项的二项式系数. 1.(a+b)n 中,n∈N*,a,b 为任意实数. 2.二项展开式中各项之间用“+”连接. 3.二项式系数依次为组合数 C0n,C1n,…,Crn,…,Cnn. 4.(a+b)n 的二项展开式中,字母 a 的幂指数按降幂排列,从第一项开始,次数由 n 逐 次减 1 直到 0;字母 b 的幂指数按升幂排列,从第一项开始,次数由 0 逐次加 1 直到 n. 推荐学习 K12 资料 推荐学习 K12 资料 [对应学生用书P19] [例 1] 求下列各式的展开式: (1)(a+2b)4;(2)??2x-23x2??5. 二项式的展开 [思路点拨] 可直接利用二项式定理展开,对于(2)也可以先化简再展开. [精解详析] (1)根据二项式定理 (a+b)n=C0nan+C1nan-1b+…+Crnan-rbr+…+Cnnbn, 得(a+2b)4=C04a4+C41a32b+C24a2(2b)2+C34a(2b)3+C44(2b)4 =a4+8a3b+24a2b2+32ab3+16b4. (2)法一:??2x-23x2??5=C50(2x)5+C15(2x)4??-23x2??+ C25(2x)3??-23x2??2+C35(2x)2??-23x2??3+C54(2x)·??-23x2??4+C55??-23x2??5 =32x5-120x2+1x80-1x345+480x57 -3224x310. 法二:??2x-23x2??5=?43x23-x103?5=321x10[C05(4x3)5+ C15(4x3)4·(-3)+…+C45(4x3)·(-3)4+C55·(-3)5] =321x10(1 024x15-3 840x12+5 760x9-4 320x6+1 620x3-243) =32x5-120x2+1x80-1x345+480x57 -3224x310. [一点通] 形式简单的二项式展开时可直接由二项式定理展开,展开时注意二项展开式 的特点:前一个字母是降幂,后一个字母是升幂.含负号的二项展开式形如(a-b)n 的展开 式中会出现正负间隔的情况. 1.写出(1+2x)4 的展开式. 解 : (1 + 2x)4 = C 0 4 ×14×(2x)0 + C 1 4 ×13×(2x)1 + C 2 4 ×12×(2x)2 + C 3 4 ×11×(2x)3 + C 4 4 ×10×(2x)4 =1+8x+24x2+32x3+16x4. 2.求?? x- 2 1 ?4 x? 的展开式. 推荐学习 K12 资料 推荐学习 K12 资料 解:法一:?? x- 2 1 x??4=C04( x)4-C14( x)3· 2 1 x+C24( x)2·??2 1 x??2-C43 x·??21 x??3+C44 ? ?2 1 x??4=x2-2x+32-21x+161x2. 法二:?? x-2 1 x??4=???22x-x1???4=161x2(2x-1)4 =161x2(16x4-32x3+24x2-8x+1) =x2-2x+32-21x+161x2. 求二项展开式的特定项 [例 2] 已知二项式??x2+2 1 x??10. (1)求展开式中的第 5 项; (2)求展开式中的常数项. [思路点拨] (1)直接利用通项公式求解; (2)利用通项公式 Tr+1=Crnan-rbr??a=x2,b=2 1 x??,设第 r+1 项为常数项,令 x 的指数 等于 0 即可求出 r. [精解详析] (1)??x2+2 1 ?10 x? 的展开式的第 5 项为 T5=C140·(x2)6·??2 1 ?4 x? =C410·??12??4·x12·?? 1x??4=1805x10. (2)设第 r+1 项为常数项, 则 Tr+1=Cr10·(x2)10-r·??2 1 ?r x? =Cr10·x20-52r·??12??r(r=0,1,2,…,10), 令 20-52r=0,得 r=8, 所以 T9=C810·??12??8=24556, 即第 9 项为常数项,其值为24556. [一点通] 推荐学习 K12 资料 推荐学习 K12 资料 (1)二项展开式的通项

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