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高一数学-苏教版两角和与差的余弦正弦正切3 精品

高一数学-苏教版两角和与差的余弦正弦正切3 精品


两角和与差的余弦、正弦、正切(三) 教学目标: 进一步熟练掌握两角和与差的余弦、正弦、正切公式的灵活应用;提高学生的推理能力, 培养学生用联系变化的观点看问题,提高学生的数学素质,使学生树立科学的世界观. 教学重点: 利用两角和与差的余弦、正弦、正切公式解决一些综合性问题. 教学难点: 怎样使学生对所学知识融会贯通,运用自如. 教学过程: Ⅰ.复习回顾 cos(α±β)=cosαcosβ ? sinαsinβ sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ tanα±tanβ tan(α±β)= 1 ? tanαtanβ Ⅱ.讲授新课 [例 1]已知一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0 且 a≠c)的两个根为 tanα、tanβ, 求 tan(α+β)的值. b 分析: 由题意可得 tanα、 tanβ 为一元二次方程的两根, 由韦达定理可知 tanα+tanβ=- , a c 且 tanα· tanβ= ,联想两角和的正切公式,不难求得 tan(α+β)的值. a 解:由 a≠0 和一元二次方程根与系数的关系,可知: ?tanα+tanβ=-a ? c tanβ= ?tanα· a b 且 a≠c b - a tanα+tanβ b b 所以 tan(α+β)= = =- = . c 1-tanαtanβ a-c c-a 1- a 评述:在解题时要先仔细分析题意,联想相应知识,选定思路,再着手解题. [例 2]设 sinθ+cosθ= 解:∵sinθ+cosθ= 2 3 2 9 2 π , <θ<π,求 sin3θ+cos3θ 与 tanθ-cotθ 的值. 3 2 ∴sin2θ+2sinθcosθ+cos2θ= ∴sinθcosθ=- 7 18 又 sin3θ+cos3θ=(sinθ+cosθ)(sin2θ-sinθcosθ+cos2θ) =(sinθ+cosθ)(1-sinθcosθ)= π 又∵ <θ<π 2 4 ∴sinθ-cosθ= 3 2 7 25 (1+ )= 3 18 54 2 ∴sinθ>0,cosθ<0 2 2 sinθ cosθ sin θ-cos θ ∴tanθ-cotθ= - = cosθ sinθ sinθcosθ 2 4 × 3 3 (sinθ+cosθ)(sinθ-cosθ) 8 2 = = =- sinθcosθ 7 7 - 18 评述:(1)在 sinθ+cosθ、sinθcosθ 与 sinθ-cosθ 中,知其中之一便可求出另外两个. (2)解决有关 sinθ+cosθ、sinθcosθ 与 sinθ-cosθ 的问题是三角函数中的一类重要问题. [例 3]tan2Atan(30°-A)+tan2Atan(60°-A)+tan(30°-A)tan(60°-A)=_____. 解:原式=tan2A[tan(30°-A)+tan(60°-A)]+[tan(30°-A)tan(60°-A)] =tan2Atan[(30°-A)+(60°-A)] [1-tan(30°-A)tan(60°-A)] +[tan(30°-A)tan(60°-A)] =tan2Atan(90°-2A)[1-tan(30°-A)tan(60°-A)]+[tan(30°-A)tan(60°-A)] =tan2A·cot2A[1-tan(30°-A)tan(60°-A)]+[tan(30°-A)tan(60°-A)] =1 评述:先仔细观察式子中所出现的角,灵活应用公式进行变形,然后化简、求值. [例 4]

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