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绿洲教育高考数列万能解题方法

绿洲教育高考数列万能解题方法


绿洲教育数列常用方法
一、数列前 n 项和方法

(n ? 1) ?s 数列的项 an 与前 n 项和 Sn 的关系: an ? ? 1 ?sn ? sn?1 (n ? 2)
(1)公式法:①等差数列求和公式;②等比数列求和公式。 (2)分组求和法:在直接运用公式法求和有困难时,常将“和式”中“同类项”先 合并在一起,再运用公式法求和。 (3)倒序相加法:若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项 与组合数相关联,则常可考虑选用倒序相加法,发挥其共性的作用求和(这 也是等差数列前 n 和公式的推导方法). (4)错位相减法:如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列 的通项相乘构成,那么常选用错位相减法(这也是等比数列前 n 和公式的推导 方法). (5)裂项相消法:如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式,且相邻项分裂后 相关联,那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有: 1 ① 1 ?1? 1 ; ② ? 1 (1 ? 1 ) ; n(n ? 1) n n ? 1 n(n ? k ) k n n ? k 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ( ? ), ? ③ 2? 2 ? ? 2? ? ? ; k k ?1 2 k ?1 k ?1 k k ? 1 (k ? 1)k k (k ? 1)k k ? 1 k n 1 1 1 1 1 1 ? [ ? ] ;⑤ ④ ; ? ? n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2) (n ? 1)! n! (n ? 1)! 2 2 ? 1 ? ? 2( n ? n ? 1) ⑥ 2( n ? 1 ? n ) ? n ? n ?1 n n ? n ?1 二、数列通项的求法 ⑴公式法:①等差数列通项公式;②等比数列通项公式。 ⑵已知 Sn (即 a1 ? a2 ? 已知 a1 a2
S ,(n ? 1) ? an ? f (n) )求 an ,用作差法: an ? S1 ? S ,(n ? 2) 。 n n ?1

?

f (1),(n ? 1) ? ? 。 an ? f (n) 求 an ,用作商法: an ? ? f (n) ,(n ? 2) ? f (n ? 1) ?
? (a2 ? a1 )

⑶已知条件中既有 Sn 还有 an ,有时先求 Sn ,再求 an ;有时也可直接求 an 。 ⑷若 an?1 ? an ? f (n) 求 an 用累加法: an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ?

? a1 (n ? 2) 。 a a a ⑸已知 n?1 ? f (n) 求 an ,用累乘法: an ? n ? n ?1 ? an an ?1 an ? 2

?

a2 ? a1 (n ? 2) 。 a1

⑹已知递推关系求 an ,用构造法(构造等差、等比数列) 。

特别地, (1)形如 an ? kan?1 ? b 、 an ? kan?1 ? bn ( k , b 为常数)的递推数 列都可以用待定系数法转化为公比为 k 的等比数列后,再求 an ;形如

an ? kan?1 ? k n 的递推数列都可以除以 k n 得到一个等差数列后,再求 an 。 an ?1 (2)形如 an ? 的递推数列都可以用倒数法求通项。 kan ?1 ? b
(3)形如 an?1 ? ank 的递推数列都可以用对数法求通项。 (7) (理科)数学归纳法。 (8)当遇到 an?1 ? an?1 ? d或 是分段形式。 三、解题方法: 求数列通项公式的常用方法: 1、公式法 2、 由S n 求an

an?1 ? q 时,分奇数项偶数项讨论,结果可能 an?1

(n ? 1时,a 1 ? S1 ,n ? 2时,a n ? S n ? Sn?1 )
3、求差(商)法
1 1 1 如:?a n ?满足 a 1 ? 2 a 2 ? …… ? n a n ? 2 n ? 5 2 2 2 1 解: n ? 1时, a 1 ? 2 ? 1 ? 5,∴a 1 ? 14 2 1 1 1 n ? 2 时, a 1 ? 2 a 2 ? …… ? n ?1 a n ?1 ? 2 n ? 1 ? 5 2 2 2 1 ? 1 ? ? ? 2 ? 得: n a n ? 2 2 n ?1 ∴a n ? 2 ?14 ( n ? 1) ∴a n ? ? n?1 ( n ? 2) ?2 ?1?

?2?

[练习]
数列?a n ?满足S n ? S n ?1 ? 5 a n ?1 ,a 1 ? 4 ,求a n 3 S ? S n ?1 ? S n 代入得: n?1 ? 4 Sn

(注意到a n?1

又S1 ? 4,∴?Sn ?是等比数列,Sn ? 4 n

n ? 2时,a n ? Sn ? Sn?1 ? …… ? 3·4 n?1
4、叠乘法
例如:数列?a n ?中,a1 ? 3, a n ?1 n ? ,求a n an n ?1

解:

a2 a a a 1 2 n ?1 1 · 3 …… n ? · …… ,∴ n ? a1 a2 a n?1 2 3 n a1 n 3 又a 1 ? 3,∴a n ? n

5、等差型递推公式

由a n ? a n?1 ? f ( n) ,a 1 ? a 0 ,求a n ,用迭加法
n ? 2 时,a 2 ? a 1 ? f (2) ? ? a 3 ? a 2 ? f (3) ? ?两边相加,得: …… …… ? a n ? a n ?1 ? f ( n) ? ?

a n ? a 1 ? f (2) ? f (3) ? …… ? f ( n) ∴a n ? a 0 ? f (2) ? f (3) ? …… ? f ( n)
[练习]
数列?a n ?,a1 ? 1,a n ? 3n?1 ? a n?1 ?n ? 2?,求a n 1 (a n ? 3n ? 1 ) 2

?

?

6、等比型递推公式

a n ? ca n ?1 ? d c、d为常数,c ? 0,c ? 1,d ? 0

可转化为等比数列,设a n ? x ? c?a n?1 ? x? ? a n ? ca n?1 ? ?c ? 1?x d 令 (c ? 1) x ? d,∴x ? c ?1 d ? d ? ∴ ?a n ? ,c为公比的等比数列 ?是首项为a 1 ? c ? 1? c ?1 ? d d ? ? n ?1 ∴a n ? ? ? a1 ? ? ·c c ?1 ? c ? 1?
d ? n?1 d ? ∴a n ? ? a 1 ? ?c ? ? c ? 1? c ?1

?

?

[练习]

数列?a n ?满足a1 ? 9,3a n?1 ? a n ? 4,求a n

? 4? (a n ? 8? ? ? ? 3?
7、倒数法

n ?1

? 1)

2a n ,求a n an ? 2 a ?2 1 1 1 由已知得: ? n ? ? a n ?1 2a n 2 an 1 1 1 ∴ ? ? a n ?1 a n 2 例如:a 1 ? 1,a n ?1 ?

?1? 1 1 ? ? ?为等差数列, ? 1,公差为 a1 2 ?a n ? 1 1 1 ? ? 1 ? ?n ? 1?· ? ?n ? 1? an 2 2 2 ∴a n ? n ?1 数列前 n 项和的常用方法:
1、公式法:等差、等比前 n 项和公式 2、裂项法:把数列各项拆成两项或多项之和,使之出现成对互为相反数的项。

如:?a n ?是公差为d的等差数列,求?
解: 由

1 k ?1 a k a k ?1

n

1 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ? ?d ? 0? a k ·a k ?1 a k ?a k ? d ? d ? a k a k ?1 ?

∴?

n 1 1? 1 1 ? ?? ? ? ? a k ?1 ? k ?1 a k a k ?1 k ?1 d ? a k n

? ?
[练习]

? 1 1 ?? 1 1? ? 1 1? 1 ?? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? …… ? ? ? d ?? a 1 a 2 ? ? a 2 a 3 ? ? a n a n ?1 ? ? 1? 1 1 ? ? ? ? d ? a 1 a n ?1 ?

1 1 1 ? ? …… ? 1? 2 1? 2 ? 3 1 ? 2 ? 3 ? …… ? n 1 (a n ? …… ? ……,S n ? 2 ? ) n ?1 求和:1 ?
3、错位相减法:
和,可由Sn ? qSn 求Sn ,其中q为?b n ?的公比。 若 ?a n ?为等差数列,?b n ?为等比数列,求数列 ?a n b n ?(差比数列)前n项

? 1 ? ? ? 2 ? :?1 ? x?Sn ? 1 ? x ? x ? …… ? x
2

如:Sn ? 1 ? 2x ? 3x 2 ? 4x 3 ? …… ? nx n?1 ?1? 2 3 4 x·Sn ? x ? 2x ? 3x ? 4x ? …… ? ?n ? 1?x n?1 ? nx n
n?1

?2?

x ? 1时,S n

?1 ? x ? ? nx ?
n

? nx

n

n

?1 ? x?2

1? x
n?n ? 1? 2

x ? 1时,S n ? 1 ? 2 ? 3 ? …… ? n ?
? S n ? a 1 ? a 2 ? …… ? a n ?1 ? a n ? ?相加 S n ? a n ? a n ?1 ? …… ? a 2 ? a 1 ? ?

4、倒序相加法:把数列的各项顺序倒写,再与原来顺序的数列相加。

2Sn ? ?a1 ? a n ? ? ?a 2 ? a n?1 ? ? …… ? ?a1 ? a n ?……

[练习]

x2 ? 1? ? 1? ? 1? 已知f ( x) ? ,则f (1) ? f (2) ? f ? ? ? f (3) ? f ? ? ? f (4) ? f ? ? ? 2 ? 2? ? 3? ? 4? 1? x
x ? 1? (由f ( x) ? f ? ? ? ? ? x? 1 ? x2
2

? 1? ? ? ? x?

2

? 1? 1? ? ? ? x?

2

?

x2 1 ? ?1 2 1? x 1 ? x2

? ? 1? ? ? ? 1? ? ? ? 1? ? ∴原式 ? f (1) ? ?f (2) ? f ? ? ? ? ?f (3) ? f ? ? ? ? ?f (4) ? f ? ? ? ? 2? ? ? ? 3? ? ? ? 4? ? ? 1 1 ? ?1?1?1 ? 3 ) 2 2

广东省 2009 届高三数学一模试题分类汇编(数列、函数、三角函数) 广东省 2009 届高三数学一模试题分类汇编——数列 一、选择题 1、 (2009 番禺一模)已知等比数列 ?an ? 的各项均为正数,前 n 项之积为 Tn ,若 T5 = 1 ,则必有( A. a1 =1 B 2、 (2009 江门一模)已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? p ? 2 n ? 2 , ?an ? 是等比数列 的充要条件是 A. p ? 1 D 3、 (2009 茂名一模)已知等差数列 {an } 的公差为 ?2 ,且 a2 , a4 , a5 成等比数列, 则 a2 等于( A、-4 D 4、 (2009 汕头一模)记等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3=2,S6=18, ) B、-6 C、-8 D、8 B p?2 C. p ? ?1 D. p ? ?2 ) B. a3 =1 C. a4 =1 D. a5 =1



S10 等于() S5

A. - 3 D

B·5

C 一 31

D. 33

5、 (2009 深圳一模)在等差数列 {an } 中, a3 ? a9 ? 27 ? a6 , Sn 表示数列 {an } 的 前 n 项和,则 S11 ? A. 18 B 二、填空题 1、 (2009 广州一模)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,对任意 n∈N* 2 1 都有 Sn = a n ? ,且 1<Sk<9,则 a1 的值为______,k 的的值为________. 3 3 -1,4 2、 (2009 江门一模) S n 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若 S1 ? 1 , S 2 ? 4 , 则 an ? 2n ? 1 则 a5 ? a6 ? ___. 16 三、解答题 1、 (2009 广州一模) 已知数列{an}的相邻两项 an, an+1 是关于 x 的方程 x2-2n x+ bn=0 (n∈N*)的两根,且 a1=1. 1 (1)求证:数列{ an- ×2n}是等比数列; 3 (2)设 Sn 是数列{an}的前 n 项的和,问是否存在常数 λ,使得 bn-λSn>0 对任意 n∈N*都成立,若存在,求出 λ 的取值范围;若不存在,请说明理由. (本题主要考查数列的通项公式、数列前 n 项和、不等式等基础知识,考查化归 与转化、分类与整合、特殊与一般的数学思想方法,以及推理论证能力、运算求 解能力和抽象概括能力) (1)证法 1:∵an,an+1 是关于 x 的方程 x2-2n x+ bn=0 (n∈N*)的两根,
?a + a n+1 = 2 n ∴? n ? b n = a n ? a n+1

B. 99

C. 198

D. 297



3、 (2009 韶关一模)在由正数组成的等比数列 ?an ? 中, a1 ? a2 ? 1, a3 ? a4 ? 4,

……2 分

1 1 1 由 an+an+1=2n,得 a n+1 ? ? 2n+1 ? ?(an ? ? 2n ) ,故数列{a n ? ? 2 n} 3 3 3 2 1 是首项为 a1 ? ? ,公比为-1 的等比数列. ……4 分 3 3

证法 2:∵an,an+1 是关于 x 的方程 x2-2n x+ bn=0 (n∈N*)的两根,
?a + a n +1 = 2 n ∴? n ……2 分 ? b n = a n ? a n +1 1 1 1 a n+1 ? ? 2n+1 2n ? a n ? ? 2n+1 ?(a n ? ? 2n ) 3 3 3 ∵ ? ? ? ?1 , 1 n 1 n 1 n an ? ? 2 an ? ? 2 an ? ? 2 3 3 3 1 n 2 1 故数列 {a n ? ? 2 } 是首项为 a1 ? ? ,公比为-1 的等比数列. 3 3 3

……4 分
1 1 1 (2)解:由(1)得 a n ? ? 2n ? ? (?1) n ,即 a n ? [2n ? (?1) n ] , 3 3 3 1 ∴ b n = a n ? a n+1 ? [2n ? (?1) n ] ? [2n+1 ? (?1) n+1 ] 9 1 2n+1 ? [2 ? (?2) n ? 1] ……6 分 9 1 ∴Sn=a1+ a2+ a3+…+ an= [(2+22+23+…+2n)-[(-1)+ (-1)2+…+(-1)n] 3 n 1 (?1) ? 1 ? [22n+1 ? 2 ? ], ……8 分 3 2

要使得 bn-λSn>0 对任意 n∈N*都成立,
1 2n+1 ? 2n+1 (?1) n ? 1 n ] ? 0 (*) 对任意 n∈N*都成立. 即 [2 ? (?2) ? 1] ? [2 ? 2 ? 9 3 2 1 ? ①当 n 为正奇数时,由(*)式得 [22n+1 ? 2n ? 1] ? [22n+1 ? 1] ? 0 , 9 3 1 n+1 λ 即 (2 ? 1)(2n ? 1) ? (2n+1 ? 1) ? 0 , 9 3 1 ∵2n+1-1>0,∴ λ < (2n ? 1) 对任意正奇数 n 都成立. 3 1 当且仅当 n=1 时, (2 n ? 1) 有最小值 1,∴λ<1. ……10 分 3 1 ? ①当 n 为正奇数时,由(*)式得 [22n+1 ? 2n ? 1] ? [22n+1 ? 1] ? 0 , 9 3 1 λ 即 (2n+1 ? 1)(2n ? 1) ? (2n+1 ? 1) ? 0 , 9 3 1 ∵2n+1-1>0,∴ λ < (2n ? 1) 对任意正奇数 n 都成立. 3 1 当且仅当 n=1 时, (2 n ? 1) 有最小值 1,∴λ<1. ……10 分 3 1 ? ②当 n 为正偶数时,由(*)式得 [22n+1 ? 2n ? 1] ? [22n+1 ? 2] ? 0 , 9 3 1 n+1 2 λ 即 (2 ? 1)(2n ? 1) ? (2n ? 1) ? 0 , 9 3

1 n+1 (2 ? 1) 对任意正偶数 n 都成立. 6 1 当且仅当 n=2 时, (2 n +1 ? 1) 有最小值 1.5,∴λ<1.5. 6

∵2n-1>0,∴ λ <

……12 分

综上所述, 存在常数 λ, 使得 bn-λSn>0 对任意 n∈N*都成立, λ 的取值范围是(- ∞,1). ……14 分

2、 (2009 广东三校一模)a2 , a5 是方程 x 2 ? 12 x ? 27 ? 0 的两根,数列 ?bn ? 的前 n 项 1 和为 Tn ,且 Tn ? 1 ? bn n ? N ? 2

?

?

(1)求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式;

(2)记 cn = an bn ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 S n . 解:(1)由 a2 ? a5 ? 12, a2 a5 ? 27.且 d ? 0 得 a2 ? 3, a5 ? 9 2分 a ? a2 ?d ? 5 ? 2 , a1 ? 1 ? an ? 2n ? 1 n ? N ? 4分 3 1 2 1 1 在 Tn ? 1 ? bn 中,令 n ? 1, 得 b1 ? . 当 n ? 2 时,T n = 1 ? bn , Tn ?1 ? 1 ? bn ?1 , 3 2 2 2 b 1 1 1 两式相减得 bn ? bn ?1 ? bn ,? n ? ?n ? 2? 6分 2 2 bn?1 3

?

?

2?1? ? bn ? ? ? 3 ? 3?

2 n? N? . n 3 2 4n ? 2 (2) c n ? ?2n ? 1? ? n ? , 3 3n 5 2n ? 1 ? ?1 3 ? S n ? 2? ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 3 3 ? ?3 3 ?
10 分

n ?1

?

?

8分 9分 ,
Sn 3 2n ? 3 2n ? 1 ? ?1 ? 2? 2 ? 3 ? ? ? ? n?1 ? 3 3 3n 3 ?3 ?

,

? ? 1? 1 ? 2 ? ?1 ? n ?1 ? ? ?1 ? 1 2 1 1 ? 2n ? 1? 1 9 ? 3 ? 2n ? 1 ? ? S n ? 2? ? 2? 2 ? 3 ? ? ? n ? ? n?1 ? =2 ? ? ? n ?1 ? 1 3 3 3 ? 3 ? 3 ?3 ? ?3 ? 3 1? ? ? 3 ? ? ? 1 1 1 2n ? 1 ? 4 4 n ? 4 = 2? ? ? n ? n?1 ? ? ? n?1 , 13 分 3 3 ?3 3 3 ? 3 2n ? 2 ? Sn ? 2 ? 14 分 3n
3、 (2009 东莞一模)设等差数列 {an },{bn }前 n 项和 Sn ,Tn 满足
Sn An ? 1 ,且 ? Tn 2n ? 7

a3 a 2 1 ? 7 ? ,S2=6;函数 g ( x) ? ? x ? 1? ,且 cn ? g (cn?1 )(n ? N , n ? 1), c1 ? 1. 2 b4 ? b6 b2 ? b8 5

(1)求 A; (2)求数列 {an }及{cn } 的通项公式;

?a n (n为奇数) (3)若 d n ? ? , 试求d1 ? d 2 ? ? ? d n . ?cn (n为偶数)
a3 a7 a5 2 2 解: (1)由 b ? b ? b ? b ? 5 知 : b ? 5 4 6 2 8 5
? 9A ?1 2 ? 2?9 ? 7 5

a 1 ? a9 ?9 S9 a 2 而 ? 2 ? 5 ? T9 b1 ? b9 b5 5 ?9 2

解得 A=1……………………………………2 分

(2)令 S n ? kn(n ? 1) 当 n=1

? S 2 ? 6, 得k ? 1,即S n ? n 2 ? n
n ≥ 2 时 , an=Sn -

时 , a1=S1=2, 当

Sn-1=n2+n ? ?(n ? 1) 2 ? (n ? 1)? ? 2n 综合之:an=2n…………………………………………6 分 1 1 由题意 c n ? (c n ?1 ? 1)变形得 : c n ? 1 ? (c n ?1 ? 1) 2 2 1 ∴数列{cn+1}是 为公比,以 c1 ? 1 ? 2 为首项的等比数列。 2 1 1 c n ? 1 ? 2 ? ( ) n ?1即c n ? ( ) n ? 2 ? 1 ………………………9 分 2 2 (3) 当 n ? 2k ? 1时, d1 ? d 2 ? ? ? d n ? (a1 ? a3 ? ?a2k ?1 ) ? (c2 ?c 4 ?? ? c2k ) 4 1 4 1 ? 2(k ? 1) 2 ? [1 ? ( ) k ] ? k ? 2k 2 ? 3k ? 2 ? [1 ? ( ) k ] 3 4 3 4 2 n ?n?2 4 1 ? ? [1 ? ( ) n ?1 ] ………………………11 分 2 3 2 当 n ? 2k时, d1 ? d 2 ? ? ? d n ? (a1 ? a3 ? ?a2k ?1 ) ? (c2 ?c 4 ?? ? c2k )
4 1 n2 ? n 4 1 ? 2k 2 ? k ? [1 ? ( ) k ] ? ? [1 ? ( ) n ] … … … 13 3 4 2 3 2



?n2 ? n ? 2 4 1 ? [1 ? ( ) n ?1 ](n为正奇数) ? ? 2 3 2 综合之: d1 ? d 2 ? ? d n ? ? 2 ? n ? n ? 4 [1 ? ( 1 ) n ](n为正偶数) ? 3 2 ? 2
………14 分
2 4、 (2009 番禺一模)设数列 ?an ? 对一切正整数 n 均有 an ? 2an ?1 ?1 ,且 an ? 0 , ? 如果 a1 ? cos 2? , ? ? (0, ] . 8

(1)求 a2 , a3 的值;

(2)求数列 ?an ? (n ? N? ) 的通项公式; (3)设数列 ?an ? 前 n 项之积为 Tn ,试比较 Tn 与 的大小,并证明你的结论. ? 2 2 2 (1)依题意: cos 2? ? 2a2 ? cos ? ?1 ? , a2 ? cos2 ? ?1,则 2a2 ? 而 ? ? (0, ] ,又 an ? 0 ,所以 a2 ? cos ? , ……1 分 8 同 样 可 求 得 ? a3 ? c o s , ………………2 分 2 ? (2)猜测 an ? cos n ? 2 , (n ? N* ) ………4 分 2 ① 用 数 学 归 纳 法 证 明 : 显 然 n ?1 时 猜 想 正 确, ………………5 分 ②假设 n ? k (k ? N*) 时猜想成立,即 ak ? cos
2 则 n ? k ? 1 时,∵ ak ? 2ak ?1 ?1 ,∴ cos

2

?
2k ? 2



?
2
k ?2

2 2 ? 2ak ?1 ? 1 ,即 2 cos

?
2k ?1

2 ? 2ak ?1 ,而

an ? 0
故 ak ?1 ? cos 分

?
2
k ?1

? cos

?
2
( k ?1) ? 2

,

………………6

这 就 是 说 n ? k ?1 猜 想 也 成 立 , 故 对 任 意 正 整 数 n 都 有 ? an ? c o n s . ………………7 分 2 ?2 2 Tn ? (3) ……………9 ? 分

? 证明: ? ? (0, ] , 8 ? ? ? ? 则 cos 2? ? cos , cos ? ? cos 3 , ???, cos n ? 2 ? cos n ?1 ? 0 , 4 2 2 2
分 则 Tn ? cos ∴ Tn ? 11 分 设 g ( x) ? sin x ? x , x ? (0,

………10

?
4

cos

?
2
3

cos

?
2
4

??? cos

?
2n ?1

2n cos

?
2
2

cos

?
2
3

cos

?
2
4

??? cos

?
2
n ?1

2n sin

?

?

sin 2n sin

?
2

?

?

1 2n sin

?
2n ?1

………

2n ?1

2n ?1

?
2

) ,则 g ?( x) ? cos x ? 1 ? 0 ,

即 g ( x) 为 (0,

?
2

) 上的减函数,∴ g ( x) ? g (0) ,故 x ? (0,

?
2

) 时, sin x ? x ,

……

12 分 ? ? ? ? 而 n ?1 ? (0, ) ,∴ 0 ? sin n ?1 ? n ?1 , 2 4 2 2 ? ? ∴ 0 ? 2n sin n ?1 ? 2 n ? n ?1 2 2 13 分 ∴ 0 ? 2n sin 则
n

………

?
2
n ?1

?

?
2

, ,
2

1 2 sin

?
2n?1

?

2

?

, 即 Tn ?

?



14

分 5、 ( 2009 江门一模)已知等差数列 ?an ? 和正项等比数列 ?bn ? , a1 ? b1 ? ?1 ,
a3 ? b3 ? 2 .

⑴求 an 、 bn ; ⑵对 ?n ? N ? ,试比较 an 、 bn 的大小; ⑶设 ?bn ? 的前 n 项和为 S n ,是否存在常数 p 、 c ,使 an ? p ? log2 (S n ?c) 恒成 立?若存在,求 p 、 c 的值;若不存在,说明理由. 1 解 : ⑴ 由 a3 ? a1 ? (3 ? 1)d , 得 d ? -------1 分 2 由 b3 ? b1q 2 且 q ? 0 得

q ? 2 -------2 分
n ?1 , bn ? b1q n?1 ? 2 2 -------4 分 2 3 ⑵显然 n ? 1 , 3 时, an ? bn ; n ? 2 时, a 2 ? , b2 ? 2 , a2 ? b2 -------5 分 2 2 (n ? 1) n 2 ? 2n ? 1 n ? 3 时, 2(bn 2 ? a n 2 ) ? 2 n ? ? (1 ? 1) n ? 2 2 2 n ? 2n ? 1 n ? 1 n(n ? 2) 0 1 2 3 ?[ ? 1] ? 0 -------7 ? Cn ? Cn ? Cn ? Cn ? -------6 分 ? 2 3 2

所以 a n ? a1 ? (n ? 1)d ?

n ?1

分 因为 an 、 bn ? 0 ,所以 n ? 3 时, an ? bn -------8 分

b1 (1 ? q n ) ⑶ Sn ? ? ( 2 ? 1)(2 2 ? 1) -------9 分, 1? q ?1 ? p ? log2 (1 ? c) -------11 分,解 an ? p ? log2 (S n ?c) 恒成立,则有 ? ?2 ? p ? log2 (1 ? 2 ? 2 ? c)
n

得 c ? 2 ? 1, p ? log2 (2 ? 2 ) -------12 分

?n ? N ? , p ? log2 (S n ?c) ? log2 (2 ? 2 ) ? log2 [( 2 ? 1)(2 2 ? 1) ? ( 2 ? 1)]

n

n ?1 ? an -------13 分 2 所以, 当 p ? log2 (2 ? 2 ) ,c ? 2 ? 1时,an ? p ? log2 (S n ?c) 恒成立-------14 ? log2 [(2 ? 2 )( 2 ? 1) ? 2 ] ? log2 ( 2 ? 2 ) ?

n 2

n 2

分 6、 (2009 汕头一模)在等比数列{an}中,an>0 (n ? N*) ,公比 q ? (0,1),且 a1a5 + 2a3a5 +a 2a8=25, a3 与 as 的等比中项为 2。 (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=log2 an,数列{bn}的前 n 项和为 Sn 当 求 n 的值。
2 2 解: (1)因为 a1a5 + 2a3a5 +a 2a8=25,所以, a3 + 2a3a5 + a5 =25

S S1 S 2 ? ? ? ? ? ? n 最大时, 1 2 n

又 an>o,…a3+a5=5,…………………………2 分 又 a3 与 a5 的等比中项为 2,所以,a3a5=4 而 q ? (0,1) ,所以,a3>a5,所以,a3=4,a5=1, q ?
1 ,a1=16,所以, 2

?1? an ? 16 ? ? ? ?2?

n ?1

? 25?n …………………………6 分

(2)bn=log2 an=5-n,所以,bn+1-bn=-1, 所以,{bn}是以 4 为首项,-1 为公差的等差数列。 。 。 。 。 。 。 。 。9 分 n(9 ? n) S n 9 ? n , ? 所以, S n ? 2 n 2 S S S 所以,当 n≤8 时, n >0,当 n=9 时, n =0,n>9 时, n <0, n n n Sn S1 S 2 当 n=8 或 9 时, ? ? ? ? ? ? 最大。 …………………………12 分 1 2 n
3x ? 2 ? 1? , ? x ? ?. 2x ?1 ? 2? ? 1 ? ? 2 ? ? 2008 ? (I)求 F ? ?? F? ? ? ... ? F ? ?; ? 2009 ? ? 2009 ? ? 2009 ?

7、 (2009 韶关一模)已知函数 F ? x ? ?

(II)已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 2 , an?1 ? F ? an ? ,求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅲ) 求证: a1a2a3...an ? 2n ?1 . 解:( ? )因为 F ? x ? ? F ?1 ? x ? ?

3x ? 2 3 ?1 ? x ? ? 2 ? ?3 2 x ? 1 2 ?1 ? x ? ? 1

? 1 ? ? 2 ? ? 2008 ? 所以设 S= F ? ?? F? ? ? ... ? F ? ? ; .......... (1) ? 2009 ? ? 2009 ? ? 2009 ? ? 2008 ? ? 2007 ? ? 1 ? S= F ? ??F? ? ? ... ? F ? ? ……….(2) ? 2009 ? ? 2009 ? ? 2009 ?

(1)+(2)得:

? ? 1 ? ? ? 2008 ? ? 2008 ?? ? ? 2 ? ? 2007 ?? ? 1 ?? 2S ? ? F ? ?? F? ?? ? ? F ? ?? F? ?? ? ... ? ? F ? ?? F? ?? ? 2009 ?? ? ? 2009 ? ? 2009 ?? ? 2009 ? ? ? ? 2009 ? ? ? 2009 ?
= 3 ? 2008 ? 6024 , 所以 S=3012 ( ?? )由 an?1 ? F ? an ? 两边同减去 1,得
an?1 ? 1 ? 3an ? 2 a ?1 ?1 ? n 2an ? 1 2an ? 1

所以 所以 数列, 所以

1 an?1 ? 1
1

?
?

2an ? 1 2 ? an ? 1? ? 1 1 , ? ? 2? an ? 1 an ? 1 an ? 1

? 1 ? 1 1 ? 2,? ? 1 为首项的等差 ? 是以 2 为公差以 an?1 ? 1 an ? 1 a1 ? 1 ? an ? 1 ?
1 2n 1 ? ? 2 ? ? n ? 1? ? 2 ? 2n ? 1 ? an ? 1 ? 2n ? 1 2n ? 1 an ? 1
2

? ??? ? 因为 ? 2n ?
所以

? ? 2n ? ? 1 ? ? 2n ? 1?? 2n ? 1?
2

2n 2n ? 1 2 3 4 5 2n 2n ? 1 ? ? ? , ? ,... ? 2n ? 1 2n 1 2 3 4 2n ? 1 2n 2 2 4 4 2n 2n 2 所以 a1a2 a3 ...an ? ? a1a2 a3 ...an ? ? ? ? ? ...... ? 1 1 3 3 2n ? 1 2 n ? 1

>

2 3 4 5 2n 2 n ? 1 ? ? ? ...... ? ? 2n ? 1 1 2 3 4 2n ? 1 2n
1 1 x ? , f ?( x ) 为函数 f ( x) 的导函 2 4

8、 (2009 深圳一模理)已知函数 f ( x) ? x 2 ? 数.

(Ⅰ)若数列 {an } 满足: a1 ? 1 , an?1 ? f ?(an ) ? f ?(n) ( n ? N ? ) ,求数列 {an } 的 通项 an ; (Ⅱ)若数列 {bn } 满足: b1 ? b , bn?1 ? 2 f (bn ) ( n ? N ? ) . 1 (ⅰ) 当 b ? 时, 数列 {bn } 是否为等差数列?若是, 请求出数列 {bn } 的通项 bn ; 2 若不是,请说明理由; (ⅱ)当
n 1 2 1 ? b ? 1 时, 求证: ? ? . 2 2b ? 1 i ?1 bi

【解】 (Ⅰ)

f ?( x) ? 2 x ?

1 , 2

…………………………1 分

1 1 ? an ?1 ? (2an ? ) ? (2n ? ) ? 2an ? 2n ? 1 , 2 2

即 an?1 ? 2(n ? 1) ? 1 ? 2(an ? 2n ? 1) .

…3 分 , 即

a1 ? 1 ,

? 数列 {an ? 2n ? 1} 是首项为 4 ,公比为 2 的等比数列.

?an ? 2n ? 1 ? 4 ? 2n?1 an ? 2n?1 ? n ? . 2

…………………………5 1分 1 (Ⅱ) (ⅰ)? bn?1 ? 2 f (bn ) ? 2bn 2 ? bn ? , 2 1 ? bn ?1 ? bn ? 2(bn ? ) 2 . 2 1 1 ? 当 b1 ? 时, b2 ? . 2 2 1 假设 bk ? ,则 bk ?1 ? bk . 2 由数学归纳法,得出数列 {bn } 为常数数列,是等差数列,其通项为
1 . 2

bn ?

…………8 分

1 1 (ⅱ) bn ?1 ? 2bn 2 ? bn ? , ? bn ?1 ? bn ? 2(bn ? ) 2 . 2 2 1 1 ? 当 ? b1 ? 1 时, b2 ? b1 ? . 2 2 1 1 假设 bk ? ,则 bk ?1 ? bk ? . 2 2 1 由数学归纳法,得出数列 bn ? (n ? 1, 2, 3, ) .……………10 分 2 1 1 又 bn ?1 ? ? 2bn (bn ? ) , 2 2 1 1 1 ? ? ? , 1 1 bn?1 ? 2 bn ? 2 bn 1 1 1 即 ? . …………………………12 分 ? bn bn ? 1 bn?1 ? 1 2 2

??

n 1 1 1 1 1 ? ?( ? )? . ? 1 1 1 b1 ? 2 bn ?1 ? 1 bi ?1 ? 2 i ?1 bi i ?1 bi ? 2 2 1 bn ?1 ? , 2 n 1 1 2 ?? ? ? . 1 b1 ? 2 2b ? 1 i ?1 bi

n

…………………14 分

10、 (2009 深圳一模文)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , a1 ? 1 ,且对任意正整数

n ,点 ?an?1 , S n ? 在直线 2 x ? y ? 2 ? 0 上.

(Ⅰ) 求数列 ?an ? 的通项公式;

?? ? (Ⅱ)是否存在实数 ? ,使得数列 ?S n ? ? ? n ? n ? 为等差数列?若存在,求出 2 ? ?
? 的值;若不存在,则说明理由.
(Ⅲ)求证:

1 n 2? k 1 ?? ? . 6 k ?1 (ak ? 1)(ak ?1 ? 1) 2
① ②
an?1 1 ? ?n ? 2? , an 2

解:(Ⅰ)由题意可得:

2an?1 ? S n ? 2 ? 0.
n ? 2 时, 2an ? S n?1 ? 2 ? 0.

……………………

1

分 ①─②得 2an?1 ? 2an ? an ? 0 ?
? a1 ? 1, 2a2 ? a1 ? 2 ? a2 ? 1 2

…………
n?1

3分 ……………… 4

? ?an ? 是首项为 1 ,公比为

1 ?1? 的等比数列,? an ? ? ? . 2 ?2?



1 2n ? 2 ? 1 . (Ⅱ) 解法一:? S n ? ……………… 5 分 1 2 n?1 1? 2 ? ? ? 若 ?S n ? n ? 为等差数列, 2 ? ? ? ? ? 则 S1 ? ? ? , S 2 ? 2? ? 2 , S 3 ? 3? ? 3 成等差数列, ……………… 6 分 2 2 2 9? ? 3? 25? 3? 7 25? ? ? 3 9? ? 2 ? S2 ? ? S3 ? ? 2? ? ? ? , ? ? S1 ? ? ? 1? 4 ? 2 8 2 4 8 ? ?2 4 ? 1?
得 ? ? 2. 又 ? ? 2 时, S n ? 2n ? ……………… 8分
2 ? 2n ? 2 ,显然 ?2n ? 2? 成等差数列, 2n ?? ? 故存在实数 ? ? 2 ,使得数列 ?S n ? ?n ? n ? 成等差数列. ……………… 2 ? ?

9


1 2n ? 2 ? 1 . 解法二: ? S n ? 1 2 n?1 1? 2 ? 1 ? 1 ? S n ? ?n ? n ? 2 ? n ?1 ? ?n ? n ? 2 ? ?n ? ?? ? 2? n . 2 2 2 2 1?

……

5分

……

7分

?? ? 欲使 ?S n ? ? ? n ? n ? 成等差数列,只须 ? ? 2 ? 0 即 ? ? 2 便 2 ? ?
可. ……………8 分 ………………

?? ? 故存在实数 ? ? 2 ,使得数列 ?S n ? ?n ? n ? 成等差数列. 2 ? ?
9分 (Ⅲ)?

1 1 1 1 1 ? k( ? ) … 10 分 ? 1 1 (a k ? 1)(a k ?1 ? 1) ( 1 ? 1)( 1 ? 1) 2 ? 1 ? 1 2 k ?1 2k 2k 2 k ?1 n n 1 2 ?k 1 ) ?? ? ?( ? ………… 11 分 1 1 k ?1 ( a k ? 1)(a kt ?1 ? 1) k ?1 ?1 ?1 2 k ?1 2k 1 1 1 1 1 1 ? ) ?( ? )? ( ? ) ?? ? ( 1 1 1 1 1 1 ? 1 ? 1 ? 1 ?1 ?1 ?1 2t 2 k ?1 2 22 2 1 2k 1 1 ?? ? ? k ? ……… 12 分 1 1?1 2 2 ? 1 ?1 2k 1 2x ? 又函数 y ? x 在 x ? [1, ? ?) 上为增函数, 1 2 ?1 ?1 2x 21 2k ? 1 ? k ? 1, 13 分 2 ?1 2 ?1 2 1 2k 1 1 1 n 2? k 1 ? ? ? k ? ? 1? , ? ? ? . ……… 14 分 3 2 2 ?1 2 2 6 k ?1 (ak ? 1)(ak ?1 ? 1) 2

广东省 2009 届高三数学一模试题分类汇编——函数 一、选择题 1、 (2009 广东三校一模)2.函数 f ?x? ? a ln x ? x 在 x ? 1 处取到极值,则 a 的值 为
A. 1 2

B. ? 1

C.0

D. ?

1 2

B 2、 (2009 广东三校一模)定义在 R 上的函数 f ?x ? 是奇函数又是以 2 为周期的周 期函数,则 f ?1? ? f ?4? ? f ?7? 等于 A. ? 1 B .0 B 3、(2009 东莞一模)下列四个函数中,在(0,1)上为增函数的是
C .1 D.4

A. y ? sin x A

B y ? ? log2 x

1 C. y ? ( ) x 2

D. y ? x

?

1 2

?log 2 x, x ? 0, 1 4、 (2009 番禺一模)已知函数 f ( x) ? ? x 若 f (a) ? ,则 a ?( 2 x ? 0. ?2 ,



A.?1 或? 2 C

B. 2

C.?1 或 2

D. 1

5、 (2009 江门一模)函数 y ?
?2 ? A. ? , ? ? ? ?3 ?

? lg( 2 x ? 1) 的定义域是 3x ? 2 ?1 ? ?2 ? ?1 2? B. ? , ? ? ? C. ? , ? ? ? D. ? , ? ?2 ? ?3 ? ?2 3? 1 , f ( x)

1

C 6、 (2009 茂名一模)已知函数 f ( x) 是定义域为 R 的偶函数,且 f ( x ? 1) ? 若 f ( x) 在 [?1, 0] 上是减函数,那么 f ( x) 在 [2,3] 上是 ( ) A. 增函数 数 A B. 减函数 C. 先增后减的函数 D. 先减后增的函

?1? 7、 (2009 韶关一模) 已知函数 f ? x ? ? ? ? ? log 2 x , 若实数 x0 是方程 f ? x ? ? 0 的 ? 3? 解,且 0 ? x1 ? x0 ,则 f ? x1 ? 的值为
A.恒为正值 A 8、 (2009 深圳一模)若函数 f ( x) ? loga ( x ? b) 的图象如右图, 其中 a , b 为常数.则函数 g ( x) ? a x ? b 的大致图象是 y y y
1
?1 o ?1 ?1 o
y

x

B.等于 0

C.恒为负值

D.不大于 0
y

1 1 ?1

x

1

1 ?1

x

?1

o

1

?1

1

x
B.

?1

o

1

x
C.

?1 ?1

o

1 1

x
D.

A. D 二、 、解答题

1、 (2009 广东三校一模)设函数 f ?x? ? ?1 ? x? ? 2 ln?1 ? x? .
2

(1)求 f ?x ? 的单调区间;
?1 ? (2)若当 x ? ? ? 1, e ? 1? 时 ,(其中 e ? 2.718 ? )不等式 f ?x? ? m 恒成立, 求实数 m 的 ?e ?

取值范围; (3)试讨论关于 x 的方程: f ?x? ? x 2 ? x ? a 在区间 ?0,2? 上的根的个数. 1 ? 2 x? x ? 2 ? ? (1)函数的定义域为 ?? 1,???, f ??x ? ? 2??x ? 1? ? ? x ? 1? x ?1 ? ? 由 f ??x? ? 0 得 x ? 0 ; 2分 3分 由 f ??x? ? 0 得 ? 1 ? x ? 0 ,

1分

则增区间为 ?0,??? ,减区间为 ?? 1,0? . 4分 2 x? x ? 2 ? ?1 ? ? 0, 得 x ? 0 ,由(1)知 f ?x ? 在 ? ? 1,0? 上递减,在 ?0, e ? 1? 上递 (2)令 f ??x ? ? x ?1 ?e ? 6分 1 ?1 ? 1 由 f ? ? 1? ? 2 ? 2, f ?e ? 1? ? e 2 ? 2 ,且 e 2 ? 2 ? 2 ? 2 , 8分 e ?e ? e ?1 ? ? x ? ? ? 1, e ? 1? 时 , f ?x ? 的最大值为 e 2 ? 2 , 故 m ? e 2 ? 2 时 ,不等式 f ?x? ? m 恒 ?e ? 成立. 9分 (3)方程 f ?x ? ? x 2 ? x ? a, 即 x ? 1 ? 2 ln?1 ? x ? ? a .记 g ?x? ? x ? 1 ? 2 ln?1 ? x? ,则 2 x ?1 g ??x ? ? 1 ? ? .由 g ??x ? ? 0 得 x ? 1 ;由 g ??x ? ? 0 得 ? 1 ? x ? 1 . 1? x x ?1 所以 g ?x ? 在 ?0,1? 上递减;在 ?1,2? 上递增. 所以,当 a ? 1 时,方程无解; 当 3 ? 2 ln 3 ? a ? 1时,方程有一个解; 当 2 ? 2 ln 2 ? a ? 3 ? 2 ln 3 时,方程有两个解; 当 a ? 2 ? 2 ln 2 时,方程有一个解; 当 a ? 2 ? 2 ln 2 时,方程无解. 综上所述, a ? ?1,??? ? ?? ?,2 ? 2 ln 2? 时,方程无解; 13 分 而 g ?0? ? 1, g ?1? ? 2 ? 2 ln 2, g ?2? ? 3 ? 2 ln 3 ,? g ?0? ? g ?2? ? g ?1? 10 分 增,

a ? ?3 ? 2 ln 3,1? 或 a ? 2 ? 2 ln 2 时,方程有唯一解;
a ? (2 ? ln 2,3 ? 2 ln 3] 时,方程有两个不等的解.

14 分

x (a ?a2 , ?x,) R g ( x) ? e? x , 2 、( 2009 东 莞 一 模 ) 已 知 f ( x)? 2x ? a ?
? ( x ) ? f ( x) ? g ( x) .

(1)当 a ? 1 时,求 ? ( x) 的单调区间;

(2) 求 g ( x) 在点 (0,1) 处的切线与直线 x ? 1 及曲线 g ( x) 所围成的封闭图形的面积; (3)是否存在实数 a ,使 ? ( x) 的极大值为 3?若存在,求出 a 的值,若不存在, 请说明理由. 解: (1)当 a ? 1时, ?( x) ? ( x2 ? x ? 1)e? x , 分)
(1, ??) . ∴ ? ( x) 的单调递增区间为 (0 , 1) , 单调递减区间为:(??,0) ,

? '( x) ? e? x (? x2 ? x) .…(1 分)

当? '( x) ? 0时,0 ? x ? 1; 当? '( x) ? 0时, x ? 1或x ? 0.

…( 3

……(4 分) (2)切线的斜率为 k ? g '(0) ? ?e? x |x?0 ? ?1 , ∴ 切线方程为 y ? ? x ? 1 .……(6 分) 所求封闭图形面积为
1 1 1 1 1 S ? ? [e? x ? ( ? x ? 1)]dx ? ? (e? x ?x ? 1)dx ? (?e? x ? x2 ? x) |1 ? . 0? 0 0 2 2 e

……(8 分) ( 3 ) ? '( x) ? (2 x ? a)e? x ? e? x ( x2 ? ax ? a) ? e? x [? x2 ? (2 ? a) x] , 分) 令 ? '( x) ? 0, 得x ? 0或x ? 2 ? a . 列表如下: x
? '( x )

…( 9 (10 分)

(-∞,0) - ↘

0 0 极小

(0,2- a) + ↗

2-a 0 极大

(2-a,+ ∞) - ↘ ……(12 分)

? ( x)

由表可知, ?( x)极大 ? ?(2 ? a) ? (4 ? a)ea?2 . 设 ? (a) ? (4 ? a)ea?2 , ? '(a) ? (3 ? a)ea?2 ? 0 , ∴ ? (a)在(??,2) 上是增函数,……(13 分) ∴ ? (a) ? ? (2) ? 2 ? 3 ,即 (4 ? a)ea ?2 ? 3 , ∴不存在实数 a,使 ? ( x) 极大值为 3. ⑴若 y ? 2 x ? 1 是曲线 y ? f ( x) 的一条切线,求 a 的值;

(14)

3、 (2009 江门一模)已知函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? x , a ? R 是常数, x ? R . ⑵ ?m ? R ,试证明 ? x ? (m , m ? 1) ,使 f / ( x) ? f (m ? 1) ? f (m) . ⑴ f / ( x) ? 3x 2 ? 2ax ? 1 -------1 分,解 f / ( x) ? 1 得, x ? 0 或 x ? ?
2a -------2 分 3

当 x ? 0 时, f (0) ? 0 , y ? 0 ? 1 ? 0 ,所以 x ? 0 不成立-------3 分

当x ? ? 分

8a 3 4a 3 2a 2a 2a 33 2 ? ? ?? ? 1 ,得 a ? 时, 由 f ( x) ? y ,即 ? -----5 3 27 9 3 3 2

⑵作函数 F ( x) ? f / ( x) ? [ f (m ? 1) ? f (m)]-------6 分
F ( x) ? 3x 2 ? 2ax ? (3m2 ? 3m ? 2am ? a ? 1) ,函数 y ? F ( x) 在 [m , m ? 1] 上的























线

------7





F (m) ? F (m ? 1) ? ?(3m ? a ? 1)(3m ? a ? 2) ------8 分

① 若 (3m ? a ? 1)(3m ? a ? 2) ? 0 , F (m) F (m ? 1) ? 0 , ? x ? (m , m ? 1) , 使
F ( x) ? 0 ,即 f / ( x) ? f (m ? 1) ? f (m) -------10 分

? 2 ? 3m ? a ? ?1, ②若 (3m ? a ? 1)(3m ? a ? 2) ? 0 , F (m ? 1) ? 3m ? a ? 2 ? 0 , a F (m) ? ?(3m ? a ? 1) ? 0 , F ( x) ? 3x 2 ? 2ax ? (3m2 ? 3m ? 2am ? a ? 1) 当 x ? ? 时 3 2 a 3 ? 2a 2 1 ? ?3(m ? ) ? ? 0 ,且当 有最小值 Fmin ( x) ? ?(3m 2 ? 3m ? 2am ? a ? 1) ? 3 6 4 1 a 2 ? 2 ? 3m ? a ? ?1时 m ? m ? ? ? ? m ? ? m ? 1 -------11 分, 3 3 3 a a 所以存在 ? x ? (m , ? ) (或 ? x ? (? , m ? 1) )从而 ? x ? (m , m ? 1) ,使 3 3
F ( x) ? 0 ,即 f / ( x) ? f (m ? 1) ? f (m) -------12 分

4、 (2009 茂名一模)已知 f ( x) ? ax ? ln x, x ? (0, e], g ( x) ? 数, a ? R. (Ⅰ)讨论 a ? 1 时, f ( x) 的单调性、极值;
1 (Ⅱ)求证:在(Ⅰ)的条件下, f ( x) ? g ( x) ? ; 2

ln x ,其中 e 是自然常 x

(Ⅲ)是否存在实数 a ,使 f ( x) 的最小值是 3,若存在,求出 a 的值;若不存在, 说明理由. (Ⅰ)? f ( x) ? x ? ln x , f ?( x) ? 1 ?
1 x ?1 ? x x

……1 分

∴当 0 ? x ? 1 时, f / ( x) ? 0 ,此时 f ( x) 单调递减 当 1 ? x ? e 时, f / ( x) ? 0 ,此时 f ( x) 单调递增 为 f (1) ? 1 ……4 分 (Ⅱ) ? f ( x) 的极小值为 1 ,即 f ( x) 在 (0, e] 上的最小值为 1 , ∴ f ( x) ? 0 ,
f ( x)min ? 1……5 分 1 ln x 1 1 ? ln x ? , h ?( x) ? 令 h( x ) ? g ( x ) ? ? , 2 x 2 x

……3 分

∴ f ( x) 的极小值

……6 分

当 0 ? x ? e 时, h?( x) ? 0 , h( x) 在 (0, e] 上单调递增 ……7 分 1 1 1 1 ∴ h( x) max ? h(e) ? ? ? ? ? 1 ?| f ( x) | min ∴ 在 ( 1 ) 的 条 件 下 , e 2 2 2 1 f ( x) ? g ( x) ? ……9 分 2 ( Ⅲ ) 假 设 存 在 实 数 a , 使 f ( x) ? ax ? ln x ( x ? (0, e] ) 有 最 小 值 3 , 1 ax ? 1 f / ( x) ? a ? ? …9 分 x x 4 ① 当 a ? 0 时, f ( x) 在 (0, e] 上单调递减, f ( x) min ? f (e) ? ae ? 1 ? 3 , a ? (舍 e 去) ,所以, 此时 f ( x) 无最小值. ……10 分 ②当 0 ?
1 1 ? e 时, f ( x) 在 (0, ) 上单调递减, a a

1 在 ( , e] 上单调递增 a 1 f ( x) min ? f ( ) ? 1 ? ln a ? 3 , a ? e 2 ,满足条件. ……11 分 a 1 4 ③ 当 ? e 时, f ( x) 在 (0, e] 上单调递减, f ( x) min ? f (e) ? ae ? 1 ? 3 ,a ? (舍 a e

去) ,所以,此时 f ( x) 无最小值.综上,存在实数 a ? e 2 ,使得当 x ? (0, e] 时 f ( x) 有最小值 3. 21. 解: (1)
an?1 ? an ? 2an?1 ,两边加 an 得: an?1 ? an ? 2(an ? an?1 ) (n ? 2) ,

? {an?1 ? an }

是 以 2 为 公 比 ,

a1 ? a2 ? 4 为 首 项 的 等 比 数 列 .

? an?1 ? an ? 4 2n?1 ? 2 2n ……①
由 an?1 ? an ? 2an?1 两 边 减 2an 得 : an?1 ? 2an ? ?(an ? 2an?1 ) (n ? 2) ? {an?1 ? 2an } 是以 ?1 为公比, a2 ? 2a1 ? ?2 为首项的等比数列.? an?1 ? 2an ? ?2 (?1)n?1 ? 2 (?1)n ……② 2 ①-②得: 3an ? 2[2n ? (?1)n ] 所以,所求通项为 an ? [2n ? (?1) n ] …………5 分 3 1 1 3 1 1 3 2n ?1 ? 2n ? ? [ n ?1 ? n ]? an ?1 an 2 2 ? 1 2 ? 1 2 2n ?1 2n ? 2n ? 2n ?1 ? 1 (2) 当 n 为偶数时, 3 2n ?1 ? 2n 3 2n ?1 ? 2n 3 1 1 ? ? ? ( n ?1 ? n )(n ? 2) n ?1 n n ?1 n ?1 n 2 2 2 ? 2 ?1 2 2 2 2 2 2 1 1? n 1 1 1 3 1 1 1 3 2 ? 3?3 1 ? 3 ? ? ? ... ? ? (1 ? ? 2 ? ... ? n ) ? a1 a2 an 2 2 2 2 2 1? 1 2n 2 2 1 当 n 为奇数时, an ? [2n ? (?1) n ] ? 0 ,? an?1 ? 0, ? 0 ,又 n ? 1 为偶数 3 an?1

? 由(1)知,

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ... ? ? ? ? ... ? ? ? 3 ……………10 分 a1 a2 an a1 a2 an an?1

(3)证明: f (n ? 1) ? f (n) ? f 2 (n) ? 0 ? f (n ? 1) ? f (n),? f (n ? 1) ? f (n) ? f (n ?1) ? ??? ? f (1) ? 2 ? 0 1 1 1 1 1 ? 2 ? ? ? 又 f (n ? 1) f (n) ? f (n) f (n)[ f (n) ? 1] f (n) f (n) ? 1 1 1 1 ……12 分 ? ? ? f (n) ? 1 f (n) f (n ? 1) n 1 1 1 1 1 1 1 ?? ?[ ? ]?[ ? ] ? ??? ? [ ? ] f (1) f (2) f (2) f (3) f (n) f (n ? 1) k ?1 f ( k ) ? 1 ………14 分 1 1 1 1 ? ? ? ? . f (1) f (n ? 1) f (1) 2 5、 (2009 深圳一模)已知函数 f ( x) ? a ln(1 ? 2 x) ? x 2 ( a ? 0 , x ? (0, 1] ) . (Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调递增区间; 2 (Ⅱ)若不等式 1 ? n 2 ? ? n 2 ln(1 ? ) 对一切正整数 n 恒成立,求实数 ? 的取 n 值范围. 【解】 (Ⅰ) f ?( x) ?
a ? 2x 1 ? ax ? 2ax2 ? 2 x ? a ? , 1 ? ax

…………………

2分

? 1 ? 2a 2 ? 1 . 2a ? 1 ? 2a 2 ? 1 ? 1 ? 2a 2 ? 1 ? a ? 0 ,? ? 0, ? 0. 2a 2a ? 1 ? 2a 2 ? 1 a ? ? 1. 又? 2 2a 2a ? 1 ? 1
由 ? 2ax2 ? 2 x ? a ? 0 ,得 x ?

2a 2 ? 1 ? 1 ) , 递 减 区 间 为 ? 函 数 f ( x) 的 单 调 递 增 区 间 为 (0, 2a ( 2a 2 ? 1 ? 1 , 1) . ………… 6 分 2a 1 2 2 1 (Ⅱ) 【法一】不等式 2 ? ? ? ln(1 ? ) ,即为 ? ? ln(1 ? ) ? 2 .……(※) n n n n 1 令 ? x ,当 n ? N ? 时, x ? (0, 1] . n
则不等式(※)即为 ? ? ln(1 ? 2x) ? x 2 . 令 g ( x) ? ln(1 ? 2 x) ? x 2 , x ? (0,1] ,
? 在 f ( x) 的表达式中,当 a ? 2 时, f ( x) ? g ( x) ,

…………………9 分

? 1 ? 2a 2 ? 1 1 ? , 2a 2 1 1 ? g ( x) 在 (0, ) 单调递增,在 ( , 1) 单调递减. 2 2 1 1 1 …………12 分 g ( x) 在 x ? 时,取得最大,最大值为 g ( ) ? ln 2 ? . 2 2 4 1 2 1 因此,对一切正整数 n ,当 n ? 2 时, ln(1 ? ) ? 2 取得最大值 ln 2 ? . 4 n n 1 ………………………… 14 分 ? 实数 ? 的取值范围是 ? ? ln 2 ? . 4 1 2 2 1 【法二】不等式 2 ? ? ? ln(1 ? ) ,即为 ? ? ln(1 ? ) ? 2 .………………(※) n n n n 2 1 设 g ( x) ? ln(1 ? ) ? 2 ( x ? 1) , x x 2 ? 2 2 ? 2x 2 ? 2x ? 4 g ?( x) ? x 2 ? 3 ? , 1? x x x 3 ( x ? 2)
又? a ? 2 时, 令 g ?( x) ? 0 ,得 x ? ?1 或 x ? 2 . ………………………… 10 分
? 当 x ? (1, 2) 时, g ?( x) ? 0 ,当 x ? (2, ? ?) 时, g ?( x) ? 0 . 1 ? 当 x ? 2 时, g ( x) 取得最大值 ln 2 ? . 4 1 因此,实数 ? 的取值范围是 ? ? ln 2 ? . ……………… 14 分 4 1 6、 (2009 湛江一模)已知函数 f ( x) ? (a ? ) x 2 ? ln x .( a ? R ) 2 (Ⅰ)当 a ? 1 时,求 f ( x) 在区间[1,e]上的最大值和最小值;

(Ⅱ)若在区间(1,+∞)上,函数 f ( x) 的图象恒在直线 y ? 2ax 下方,求 a 的取 值范围. 解: (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ?
1 x2 ?1 1 2 x ? ln x , f ?( x) ? x ? ? ;………2 分 2 x x 对于 x ?[1,e],有 f ?( x) ? 0 ,∴ f ( x) 在区间[1,e]上为增函数…3 分

e2 1 , f min ( x) ? f (1 ) ? .……………………5 分 2 2 1 2 (Ⅱ)令 g ( x) ? f ( x) ? 2ax ? (a ? ) x ? 2ax ? ln x ,则 g ( x) 的定义域为(0,+∞). 2

∴ f max ( x) ? f (e) ? 1 ?

……………………6 分 在区间 (1 , +∞) 上, 函数 f ( x) 的图象恒在直线 y ? 2ax 下方等价于 g ( x) ? 0 在区间(1,+∞)上恒成立. ∵ g ?( x) ? (2a ? 1) x ? 2a ?
1 (2a ? 1) x 2 ? 2ax ? 1 ( x ? 1)[(2a ? 1) x ? 1] ? ? x x x

1 1 ,令 g ?( x) ? 0 ,得极值点 x1 ? 1 , x 2 ? ,………………8 分 2 2a ? 1 1 当 x2 ? x1 ? 1 ,即 ? a ? 1 时,在( x2 ,+∞)上有 g ?( x) ? 0 , 2

① 若a ?

此时 g ( x) 在区间( x2 ,+∞)上是增函数,并且在该区间上有
g ( x) ∈( g ( x2 ) ,+∞),不合题意;………………………………………9 分

当 x2 ? x1 ? 1 , 即 a ? 1 时, 同理可知,g ( x) 在区间(1, +∞)上, 有 g ( x) ∈( g (1) , +∞),也不合题意;………………………………………10 分 1 ② 若 a ? ,则有 2a ? 1 ? 0 ,此时在区间(1,+∞)上恒有 g ?( x) ? 0 , 2 从而 g ( x) 在区间(1,+∞)上是减函数;……………………………………12 分 1 1 要使 g ( x) ? 0 在此区间上恒成立,只须满足 g (1) ? ? a ? ? 0 ? a ? ? , 2 2 1 1 由此求得 a 的范围是[ ? , ]. 2 2 1 1 综合①②可知,当 a ∈[ ? , ] 时 , 函 数 f ( x) 的 图 象 恒 在 直 线 2 2 上………………………………………………14 分 广东省 2009 届高三数学一模试题分类汇编——三角函数 一、选择题 1、 (2009 江门一模)已知 f ( x) ? sin x ? 3 cos x ( x ? R) ,函数 y ? f ( x ? ? ) 的图 象关于直线 x ? 0 对称,则 ? 的值可以是 ? ? A. B 2 3 D 2、 (2009 茂名一模)角 ? 终边过点 (?1, 2) ,则 cos? =( A、 C 3、(2009 韶关一模)电流强度 I (安)随时间 t (秒)变化的函数 ? 1 秒时,电 I ? A sin( ?t ? ?) ( A ? 0, ? ? 0,0 ? ? ? ) 的图象如右图所示,则当 t ? 2 100 流强度是 A. ? 5 安 C. 5 3 安 A B. 5 安 D. 10 安
5 5

C.

? 4


D.

? 6

B、

2 5 5

C、 ?

5 5

D、 ?

2 5 5

3 3 4、 (2009 深圳一模)已知点 P(sin ? , cos ? ) 落在角 ? 的终边上,且 ? ?[0, 2? ) , 4 4 则 ? 的值为 3? 5? 7? ? A. B. C. D. 4 4 4 4

D 5、 (2009 湛江一模)已知函数 f ( x) ? cos x sin x ( x ? R) ,给出下列四个命题: ①若 f ( x1 ) ? ? f ( x2 ) ,则 x1 ? ? x2 ? ? ③在区间 [ ? , ] 上是增函数 4 4 其中真命题是
A .①②④ B .①③

② f ( x) 的最小正周期是 2? ④ f ( x) 的图象关于直线 x ?
3? 对称 4

C .②③

D .③④

D 二、 、解答题 1、 (2009 广州一模)已知△ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c,且 3 a=2, cosB= . 5 (1)若 b=4,求 sinA 的值; (2) 若△ABC 的面积 S△ABC=4,求 b,c 的值. 3 解:(1) ∵cosB= >0,且 0<B<π, 5 4 ∴sinB= 1 ? cos 2 B ? . ……2 分 5 a b ? 由正弦定理得 , ……4 分 sinA sinB 4 2? asinB 5 ?2. ……6 分 sinA ? ? b 4 5 1 (2) ∵S△ABC= acsinB=4, ……8 分 2 1 4 ∴ ? 2 ? c ? ? 4 , ∴c=5. ……10 分 2 5 由余弦定理得 b2=a2+c2-2accosB, ∴ b ? a 2 + c2 ? 2accosB ? 22 + 52 ? 2 ? 2 ? 5 ?

3 ? 17 .……14 分 5

4 2、 (2009 东莞一模)在 △ ABC 中,已知 AC ? 2 , BC ? 3 , cos A ? ? . 5 (1)求 sin B 的值;
?? (2)求 sin ? ? 2 B ? ? 的值. 6? ?

4 3 解: (1)由 cos A ? ? 可得 sin A ? 5 5

(----------2 分)

2 (----------5 分) 5 21 (2)由已知可知 A 为钝角,故得 cos B ? (-------7 分) 5 4 21 17 从而 sin 2 B ? 2 sin B cos B ? , (----10 分) , cos2B ? 1 ? 2 sin 2 B ? 25 25 ? 3 1 12 7 ? 17 所以 sin(2 B ? ) ? (------12 分) sin B ? cos B ? 6 2 2 50

所以由正弦定理可得 sin B =

3、 (2009 番禺一模) 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0, ? 周期的图象如图所示, (1)求函数 f ( x) 的表达式; ? 24 (2)若 f (? ) ? f (? ? ) ? ,且 ? 为 ?ABC 的一个 3 25 内角,求 sin ? ? cos ? 的值. 解: (1)从图知,函数的最大值为1 ,则
A ?1

?

2

?? ?

?

2

) 一个

……1 分 数
f ( x)


T ? 4?



周 …… 2 分





?(? , 1 2 2? 而T ? ,则 ? ? 2 , ?

?

?

6

)

又x?? 而

?

??

?
3

? 时, y ? 0 ,∴ sin(2 ? (? ) ? ? ) ? 0 , 6 6 ? ? ? ?? ? 2 2

?

……3 分

, ……5 分 …… 6 分
24 25





? ∴函数 f ( x) 的表达式为 f ( x) ? sin(2 x ? ) 3 ? 24 ? ? (2)由 f ( A) ? f ( A ? ) ? 得: sin(2 A ? ) ? sin(2 A ? ) ? 3 25 3 3 24 化简得: sin 2 A ? , 25 49 ∴ (sin A ? cos A) 2 ? 1 ? sin 2 A ? …… 25 由于 0 ? A ? ? ,则 0 ? 2 A ? 2? , 24 ? 0 ,则 0 ? 2 A ? ? ,即 A 为锐角, 但 sin 2 A ? 25 从而 sin A ? cos A ? 0

…… 9分

8分

……11 分

因此 sin A ? cos A ?

7 . 5

…… 12 分

5、 (2009 茂名一模)设函数 f ( x) ? 2cos x(sin x ? cos x) ?1, 将函数 f ( x) 的图象向 左平移 ? 个单位,得到函数 y ? g ( x) 的图象。 (1)求函数 f ( x) 的最小正周期; ? (2)若 0 ? ? ? , 且 g ( x) 是偶函数,求 ? 的值。 2 (1) f ( x) ? 2sin x cos x ? 2 cos 2 x ? 1 解:
? sin 2 x ? cos 2 x..................................................................2分 ? 2 sin(2 x ? ).................................................................4分 4 2? ? f ( x)的最小正周期T ? ? ? .......................................................6分 2
(2) g ( x) ? f ( x ? ? ) ? 2 sin[2( x ? ? ) ? ] 4 ? 2 sin(2 x ? 2? ? )......................................................8分 4 g ( x)是偶函数,则g (0) ? ? 2 ? 2 sin(2? ? ) 4 ? 2? ?

?

?

?

?

?

?=

k? ? ? (k ? z ) 2 8

4

? k? ?

?

2

, k ? z..........................................................10分

0 ?? ?

?
2

,?? ?

?
8

.............................................................12分
1 3 sin x 一 cos x。 4 4

6、 (2009 汕头一模)己知函数 f(x)= (1)若 cosx=-

5 ?? ? ,x ? ? , ? ? ,求函数 f (x)的值; 13 ?2 ?

(2)将函数 f(x)的图像向右平移 m 个单位,使平移后的图像关于原点对称, 若 0<m< ? ,试求 m 的值。 5 12 ?? ? 解: (1)因为 cos=- ,x ? ? , ? ? ,所以,sinx= 13 13 ?2 ? 所以, (2) 所以,把 f(x)的图象向右平移 象关于原点对称。 ,
5? 1 个单位,得到,y=- sinx 的图象,其图 6 2

故 m=

5? 6

7、 (2009 深圳一模)已知函数 f ( x) ? 3(sin 2 x ? cos2 x) ? 2 sin x cos x . (Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期; ? ? (Ⅱ)设 x ? [ ? , ] ,求 f ( x) 的值域和单调递增区间.学科 3 3 网【解】 (Ⅰ)∵ f ( x) ? ? 3(cos2 x ? sin 2 x) ? 2 sin x cos x ? ? 3 cos2 x ? sin 2 x

. 分

………………

3分 ………………… 5

? f ( x) 的最小正周期为 ? .

(Ⅱ)∵ x ? [ ?

? ?
3 3 ,

],

??

?
3

? 2x ?

?
3

?? ,

? f ( x) 的值域为 [?2, 3] .

3 ? ? s i n2(x ? ) ? 1 . 2 3 ……………… 10 分 ??

? 当 y ? sin( 2 x ?
?

?
3

) 递减时, f ( x) 递增.

?
2

? 2x ?

?
3

? ? ,即

?
12

?x?

?
3

. ……………………12 分

故 f ( x) 的递增区间为 ?

?? ? ? , ?. ?12 3 ?


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