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圆锥曲线的第三定义

圆锥曲线的第三定义

2015.1.23-24 JZX

圆锥曲线的第三定义及运用

一、 椭圆和双曲线的第三定义

1. 椭圆

在椭圆

C:x a

2 2

?

y2 b2

? 1? a

b

0? 中,A、B 是关于原点对称的两点,P 是椭圆上异于 A、B 的一

点,若

kPA、kPB

存在,则有:

kPA

?

kPB

=e2

?1=

?

b2 a2

证明:构造△PAB



PA

边所对的中位线

MO,kPA

?

kMO

,由点差法结论:kMO

? kPB =e2

?1=

?

b2 a2

知此结论成立。

2. 双曲线

在双曲线 C:ax22

?

y2 b2

? 1中,A、B 是关于原点对称的两点,P 是椭圆上异于 A、B 的一点,若 kPA、kPB

存在,则有:

kPA

?

kPB

=e2

? 1=

b2 a2

证明:只需将椭圆中的 b2 全部换成 ?b2 就能将椭圆结论转换成双曲线的结论。

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二、 与角度有关的问题

例题一:已知椭圆 C:x2 a2

?

y2 b2

? 1? a

b

0? 的离心率 e ? 3 ,A、B 是椭圆的左右顶点,为椭圆与双曲
2

线 x2 ? y2 ? 1的一个交点,令 ?PAB=?,?APB=? 78

,则

cos

cos ?
?2? ?

?

?

=

.

解答:

令 ?PBx=? ,由椭圆第三定义可知: tan? ? tan ? =e2 ?1= ? 1 4

cos ?
cos?2? ? ? ?

=

cos ?? cos ??

??? ???

=

cos ? cos ?

cos? cos?

? sin ? ? sin ?

sin ? sin ?

? 1? tan? 1? tan?

? tan ? ? tan ?

=

3 5

点评:

其实所谓的双曲线方程只是一个障眼法,并不影响题目的解答。两顶点一动点的模型要很快的联

想到第三定义,那么剩下的任务就是把题目中的角转化为两直线的倾斜角,把正余弦转化为正切。题

目中的正余弦化正切是三角函数的常见考点☆。

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变式 1-1:(石室中学 2015 级高二下 4 月 18 日周末作业)

已知双曲线 C:x2 ? y2 ? 2015 的左右顶点分别为 A、B,P 为双曲线右支一点,且 ?PAB=4?APB ,求

?PAB=

.

解答:



?PAB=?

?

???0,?2

? ??



?PBA=?

?

???0,?2

? ??

,则

?

=5?

,由双曲线的第三定义知:

tan? ? tan? =tan? ? tan5? =e2 ?1=1

则:

tan? =

1 tan5?

=tan

? ??

? 2

?

5?

? ??

??=

? 2

?

5?

??= ? 12

点评:
与例题 1 采取同样的思路转化角,但对于正切转换的要求较高。两锐角正切乘积为 1 即表示 sinα
=cosβ,cosα=sinβ ?两角互余☆,则可解出 α 的值。当然双曲线的题目较于椭圆和抛物线题目考试
概率较小,但既然提到了双曲线的第三定义,不妨做一做。

三、 与均值定理有关的问题

例题

2:已知

A、B

是椭圆

x2 a2

?

y2 b2

? 1? a

b

0? 长轴的两个端点,M、N 是椭圆上关于 x 轴对称的两

点,直线 AM、BN 的斜率分别为 k1、k2 ,且 k1k2 ? 0 。若 k1 ? k2 的最小值为 1,则椭圆的离心率为

.

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解答一(第三定义+均值):
由题意可作图如下:

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连接 MB,由椭圆的第三定义可知: kAM

? kBM =e2

b2 ?1= ? a2

,而 kBM

? ?kBN

b2 ? ? k1k2 = a2

2b

b1

3

k1 ? k2 ? 2

k1 ? k2 =

a

=1 ? = ? e= a2

2

解答二(特殊值法):

? ? 这道题由于表达式

k1 ? k2

min

? 1非常对称,则可直接猜特殊点求解。k1

=

k2

=

1 时可取最值, 2

则 M、N 分别为短轴的两端点。此时: k1 = k2

= b = 1 ? e= a2

3。 2

点评:

对于常规解法,合理利用 M、N 的对称关系是解题的关键,这样可以利用椭圆的第三定义将两者

斜率的关系联系起来,既构造了“一正”,又构造了“二定”,利用均值定理“三相等”即可用 a、b 表
示出最值 1。当然将 k1 、k2 前的系数改为不相等的两个数,就不能利用特殊值法猜答案了,但常规解
法相同,即变式 2-1。

变式

2-1:已知

A、B

是椭圆

x2 a2

?

y2 b2

? 1? a

b

0? 长轴的两个端点,M、N 是椭圆上关于 x 轴对称的

两点,直线 AM、BN 的斜率分别为 k1、k2 ,且 k1k2 ? 0 。若 2 k1 ? 2 2 k2 的最小值为 1,则椭圆的离

心率为

.

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解答:

连接 MB,由椭圆的第三定义可知: kAM

? kBM =e2

?

1=

?

b2 a2

,而 kBM

? ?kBN

?

?

k1k2

=

b2 a2

2 k1 ? 2

2 k2 ? 4

k1

?

k2

=

4b a

=1 ?

b a

=

1 4

?

e=

15 4

变式 2-2:已知 A、B 是椭圆

x2 a2

?

y2 b2

? 1? a

b

0? 长轴的两个端点,若椭圆上存在 Q,使 ?AQB

? 2? , 3

则椭圆的离心率的取值范围为

.

解答一(正切+均值):



Q



x

轴上方,则直线

QA

的倾斜角为

?

?

???0,?2

? ??

,直线

QB

的倾斜角为

?

?

?? ?? 2

,?

? ??



?AQB

?

?? ?? 2

,?

? ??



tan

?AQB

?

tan

??

??

?

?

tan ? ? tan? 1? tan ? tan?

由椭圆的第三定义: tan?

tan ? =

?

b2 a2

,则 tan

?=?

a2

b2 tan ?

带入可得: tan ? ? tan? 1? tan ? tan?

=

?

a2

b2 ? tan ?

1

?

b2 a2

tan ?

=

? ??
?

a2

b2 ? tan ?

1?

b2 a2

tan ?

? ? ?

?2 ?

b2

a2 tan ?

1?

b2 a2

? tan?

?2b

=

1

a ?b
a

2 2

=

?2ab a2 ? b2

(取等条件: tan? ? b ,即 Q 为上顶点) a



tanx



?? ?? 2

,?

? ??

单增,则

Q

为上顶点时

??AQB?max

,所以此时

?AQB

?

2 3

?

,故

e

?

?
? ?

6 3

,1????

解答二(极限法): 当 Q 趋近于 A、B 两点时, ?AQB ? ? (此时 Q 点所在的椭圆弧趋近于以 AB 为直径的圆的圆 2

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弧,?AQB 相当于直径所对的圆周角);当 Q 在 A、B 间运动时 ?AQB ? (Q 在以 AB 为直径 2
的圆内部, ?AQB 直径所对的圆周角=90°),由椭圆的对称性可猜测当 Q 为短轴端点时

??AQB? 。 max

由于:椭圆上存在 Q,使 ?AQB ? 2? ,那么 Q 为短轴端点时 ??AQB? ? 2? 。

3

max 3

取临界情况,即 Q 为短轴端点时 ?AQB ? 2? ,此时 a ? 3 ? e ? 6 ;当椭圆趋于饱满( e ? 0 )

3

b

3

时,椭圆趋近于圆,圆的直径所对的圆周角永远为 90°,不满足;当椭圆趋于线段( e ?1)时,

??AQB? max

?
?? ,满足。故 e ? ?
?

6 3

,1????



当然这些只需要在头脑中一想而过,简洁而有逻辑。

点评: 这道题可以增加对于圆周角的理解,在用极限法讨论:“当 Q 趋近于 A、B 两点时,?AQB ? ? ” 2
时能会颠覆“ ?AQB ? ? ”的认知,当然这肯定是错的,结合常规解法可以看出此时是角最小的情况,

而不是角最大的情况。要搞清楚,不然会被弄晕的。对于常规解法选择正切表示角的大小的原因有二:

①与第三定义发生联系②tanx



? ??

? 2

,?

? ??

单增便于利用

tanx

的大小比较角度的大小。

四、 总结归纳
1. 上述部分题目的常规解法较复杂,但做题时一定要能猜答案,而且要猜得有理由。
2. 对于均值不等式,注意取等条件是“三相等”,即相等时取最值。这可以帮助猜测表达形式是高度
对称的式子的最值,如:例题 2 3. 极限法可以刻画出单调变化的某一变量的端点值,如:变式 2-2 中 P 在椭圆上滑动,角度的变
化一定是光滑的(无突变,连续), 所以只需考虑边界值。
4. 做几何的选填题时,有时利用圆周角定理可以很快的找到最大角,注意学会恰当运用,如:变式
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2-2。
5. 常以正切值刻画角度大小。 6. 在做综合性较大的题目时要联系各种知识,灵活转化,以最巧妙的方法致胜。

7.

.

8.

.

五、 方法链接 针对上文提到的“圆周角找最大角”与“椭圆中另一类均值”进行拓展补充,各附例题。

例题 3:在平面直角坐标系 XOY 中,给定两点 M ??1, 2? 和 N ?1, 4? ,点 P 在 X 轴上移动,当 ?MPN 取

最大值时,点 P 的横坐标为

.

解答一(正切+均值):

已知: M ??1, 2? 、 N ?1, 4?, lMN : y ? x ? 3与 x 轴交于 P0 ??3,0?



P ?t, 0? ,则:

kMP

?

2 ?1? t

, kNP

?

4 1?t

, ?MPN=?

① 当 t ? ?3 时,? =0

② 当t

?3时, lMP

的倾斜角较大, tan?

= kMP ? kNP 1? kMP ? kNP

=

2t t2

?6 ?7

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令 x ? t ?3

0 ,则

tan ?

=

2t t2

?6 ?7

=

x2

?

2x 6x

? 16

=

x

?

2 16 x

?

6

?

2

2

=1( tan?

x ? 16 ? 6

x

0)

此时

x

?

4,t

? 1,?max

?

? 4

③ 当t

?3时, lNP

的倾斜角较大,

tan? = kNP ? 1? kMP

kMP ? kNP

=

?

2t t2

?6 ?7

x ? ??t ? 3?

0

,则

tan ?

=

?

2t t2

?6 ?7

=

x2

?

2x 6x

? 16

=

x

?

2 16 x

?

6

?

2

2

=1

x ? 16 ? 6 7

x

( tan? 0 )

此时

x

?

4



t

?

?7



tan

??max

?

?

1 7

由于? ??0,? ?,且 tan? 在? ??0,? ?上单增, tan? ??0,1?

??max

?

? 4

,此时 t

?1

解答二(圆周角定理):

本题中的取极值时的 P 点的几何意义为:过 M、N 的圆与 x 轴切于 P 点。下面给出证明:

证明:以与 x 轴切于 P2 点的圆满足所求最大角为例: 由于 lMN:y ? x ? 3 是过 M、N 两点的圆的一条弦,由垂径定理知圆心在 l :y ? ?x ? 3 上
随着圆心横坐标从 0 开始增大:当半径 r 较小时,圆与 x 轴无交点;当半径稍大一点时,圆
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与 x 轴相切,有一个交点;当半径更大一点时,圆与 x 轴有两交点 P3 、 P4 。 此时:根据圆周角定理: ?MP3N ? ?MP4 N ?MQN =?MP2N ,可知:圆与 x 轴相切时,
??MPN ?max 。

R 较小的情况(圆与 x 轴相离)

R 较大的情况(圆与 x 轴相交于 P3 、 P4 )

? ? 所以:过 M、N 的圆与 x 轴切于 P3 、 P4 点时,分别有 ?MPN max

?只需比较 ?MP1N 与 ?MP2N ,哪一个更大。

令与 x 轴相切的圆的圆心为 ? x, y? ,则切点 P? x,0? ,半径为 y

圆满足:

??? x
?
??? x

?1?2 ?1?2

? ?

? ?

y y

? ?

2?2 4?2

? ?

y2 y2

?

x2

?

6x

?

7

?

0

?

x

?

?7or1

(消去 y)

比较可知:当 x=1 时, ??MPN ?max

点评:

常规方法依旧是利用正切度量角的大小,但注意用倾斜角表示所求角时要用大角减去小角,才能

得到正角;均值时要注意以分子(一次)为新元构建均值。用圆周角角的性质解答,只要转化为切点,

解一个方程组,比较两个角谁大就行了。(不比较也行,画图可知右边角大于左边角:弦长相等,半径

越大,弦所对的圆周角越小。)其实两种解法的难度是一样,只是一种要写得多,一种要想得多。☆

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变式 3-1:若 G 为△ABC 的重心,且 AG ? BG ,则 sin C 的最大值为

.

解答一(余弦定理+均值):



G ? 0, 0?



A? a, 0?



B ? 0,

b?

,则由

? ??

xG

?

? ??

yG

? ?

1 3

?

x

A

1 3

?

y

A

? ?

xB yB

? xC ? ? yC ?

?

C

??a,

?b?

由点间的距离公式: AB ? a2 ? b2 , AC ? 4a2 ? b2 , BC ? a2 ? 4b2

? ? ? ? ? ? AC 2 ? BC 2 ? AB 2 4a2 ? b2 ? a2 ? 4b2 ? a2 ? b2

由余弦定理: cos C ?

=

2? AC ? BC

? ? ? ? 2 4a2 ? b2 ? a2 ? 4b2

? ? 4 a2 ? b2

? ? 2 a2 ? b2

=

=

? ? ? ? ? ? ? ? 2 4a2 ? b2 ? a2 ? 4b2

4a2 ? b2 ? a2 ? 4b2

? ? ? ? ? ? 由于: ab ? a ? b ? 4a2 ? b2 ? a2 ? 4b2 ? 5 a2 ? b2

2

2

?cos C

?

4 5

?

0

?

sin C

?

3 5

?

?sin C ?max

?

3 5

解法二(圆周角定理):

令 A??1,0?, B?1,0?, G?sin?,cos? ? ,则 C?3sin?,3cos? ?

题目转化为: A??1,0? , B?1, 0?, C? x, y? 满足: x2 ? y2 ? 9 ,求 sin C 的最大值。 目测可知 C?0, ?3? 时, ??ABC? ,下面以 C'?0,3? 来证明。
max
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过 A??1,0?, B?1,0?, C'?0,3? 作圆 O:

若 C 不在 C ' 点,令 AC 交圆 O 于 Q 点。由圆周角定理: ?ACB ?AQB ? ?AC ' B 证得

此时由余弦定理??cos C ? = 4 ? ?sin C ? ? 3

min 5

max 5

点评:

可以说这道题与例题 3 有异曲同工之妙,直观感觉加上圆周角定理可以说是画几个圆就解出题
了。其实余弦函数在?0,? ? 单调,也可用来度量角的大小。

不过更值得一提的是两种方法以不同的方式,间接地表现了题中点的关系,设点的方式☆值得思

考领悟。解法一照顾垂直结论,把重心放在原点,利用重心的坐标很好地刻画了 C 点的坐标;解法二

联系圆的直径所对圆周角为直角表示垂直条件,以同样方式刻画 C 点的坐标。两种方式都完全的展现

了题目中的关系。

例题 4:(对椭圆用均值):过椭圆 x2 b2

?

y2 a2

? 1? a

b

1? 上一点 P 引圆 O:x2 ? y2 ? 1的两条切线 PA、

PB,其中 A、B 为切点,直线 AB 与 x 轴、y 轴分别相交于 M、N,则△OMN 面积的最小值为

.

? ? 解答:设 P x0, y0

,P 点满足

x02 b2

?

y02 a2

?1?1? 2

x02 b2

?

y02 a2

=

2

x0 y0 ab

?

x0 y0

? ab 2

P?

x0 ,

y0

?

在圆外,则圆的切点弦方程为:

x0 x

?

y0

y

?

1

?

M

? ? ?

1 x0

, 0??、M ?

? ? ?

0,

1 y0

? ? ?

S OMN

? 1 ? OM 2

? ON

=1 2 x0 y0

?1 ab

点评:

解法巧妙,很难想到,权当欣赏。注意看到题目就要马上联想到圆的切点弦方程,当遇到面积表

达式中含有 x0 y0 时,可对椭圆进行均值,构造 x0 y0 的范围。

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