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【创新设计】高中数学北师大版选修1-2练习:第一章 章末复习课(含答案解析)

【创新设计】高中数学北师大版选修1-2练习:第一章  章末复习课(含答案解析)

题型一 独立性检验思想 独立性检验的基本思想是统计中的假设检验思想, 类似于数学中的反证法, 要确认两个分类 变量有关系这一结论成立的可信程度,首先假设该结论不成立,即假设“两个分类变量没有 关系”成立,在该假设下我们构造的随机变量 χ2 应该很小,如果由观测数据计算得到的 χ2 的 值很大,则在一定程度上说明假设不合理. 例 1 为了比较注射 A,B 两种药物后产生的皮肤疱疹的面积,选 200 只家兔做试验,将这 200 只家兔随机地分成两组,每组 100 只,其中一组注射药物 A,另一组注射药物 B.下表 1 和表 2 分别是注射药物 A 和药物 B 后的试验结果.(疱疹面积单位:mm2) 表 1:注射药物 A 后皮肤疱疹面积的频数分布表 疱疹面积 频数 [60,65) 30 [65,70) 40 [70,75) 20 [75,80) 10 表 2:注射药物 B 后皮肤疱疹面积的频数分布表 疱疹面积 [60,65) [65,70) [70,75) [75,80) [80,85) 频数 10 25 20 30 15 完成下面 2× 2 列联表,能否在犯错误概率不超过 0.01 的前提下, 认为“注射药物 A 后的疱疹 面积与注射药物 B 后的疱疹面积有差异”. 表3 疱疹面积小于 70 mm2 注射药物 A 注射药物 B 合计 解 列出 2× 2 列联表 疱疹面积小于 70 mm2 注射药物 A 注射药物 B 合计 200× (70× 65-35× 30)2 χ2= ≈24.56, 100× 100× 105× 95 由于 χ2>6.635,所以有 99%的把握认为两者有关系,或者说在犯错误概率不超过 0.01 的前 提下,认为“注射药物 A 后的疱疹面积与注射药物 B 后的疱疹面积有差异”. 反思与感悟 利用假设检验的思想,计算随机变量 χ2 的值,可以更精确地判断两个分类变 量是否有关系. 跟踪训练 1 调查某医院某段时间内婴儿出生的时间与性别的关系,得到下面的数据表,试 问婴儿的性别与出生的时间是否有关系? 出生时间 性别 男婴 女婴 总计 解 χ2= n(ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 晚上 15 8 23 白天 31 26 57 总计 46 34 80 a=70 c=35 105 疱疹面积不小 于 70 mm2 b=30 d=65 95 合计 100 100 n=200 a= c= 疱疹面积不 小于 70 mm2 b= d= n= 合计 80× (15× 26-31× 8)2 = 46× 34× 23× 57 ≈0.787<2.706. 所以我们没有把握认为“婴儿的性别与出生的时间有关系”. 题型二 数形结合思想 在回归分析中, 我们可以使用散点图观察两个变量间的相关关系, 也可以大致分析回归方程 是否有实际意义,这就体现出我们数学中常用的数形结合思想. 例 2 某城区为研究城镇居民月家庭人均生活费支出和月人均收入的相关关系, 随机抽取 10 户进行调查,其结果如下: 月人均收入 x(元) 月人均生活费 y(元) 月人均收入 x(元) 月人均生活费 y(元) (1)作出散点图; (2)求出线性回归方程; (3)试预测月人均收入为 1 100 元和月人均收入为 1 200 元的两个家庭的月人均生活费. 解 (1)作出散点图如图所示,由图可知月人均生活费与月人均收入之间具有较强的线性相 300 255 700 520 390 324 760 580 420 335 800 600 520 360 850 630 570 450 1 080 750 关关系. (2)通过计算可知 x =639, y =480.4, ∑ x2 xiyi=3 417 560, i =4 610 300, ∑ = = i 1 10 i=1 10 10 i 1 ∴b= ∑ xiyi-10 x ·y i 1 ∑ x2 i -10 x = 10 2 ≈0.659 9,a= y -b x =58.723 9, ∴线性回归方程为 y=0.659 9x+58.723 9. (3)由以上分析可知,我们可以利用线性回归方程 y=0.659 9x+58.723 9 来计算月人均生活费的预测值. 将 x=1 100 代入,得 y≈784.61, 将 x=1 200 代入,得 y≈850.60. 故预测月人均收入分别为 1 100 元和 1 200 元的两个家庭的月人均生活费分别为 784.61 元和 850.60 元. 反思与感悟 通过散点图可以判断回归方程的大致类型和相关关系的强弱. 跟踪训练 2 假设某农作物基本苗数 x 与有效穗数 y 之间存在相关关系,今测得 5 组数据如 下: x y (1)作出散点图; 15.0 39.4 25.8 42.9 30.0 42.9 36.6 43.1 44.4 49.2 (2)求 y 与 x 之间的回归方程,对于基本苗数 56.7 预报有效穗数. 解 (1)散点图如图所示. (2)由图看出,样本点呈条状分布,有比较好的线性相关关系,因此可以用线性回归方程来 建立两个变量之间的关系. 设线性回归方程为 y=bx+a, 由表中数据可得 b≈0.291,a= y -b x ≈34.67, 故所求的线性回归方程为 y=0.291x+34.67. 当 x=56.7 时,y=0.291× 56.7+34.67=51.169 7. 估计有效穗数为 51.169 7. 题型三 转化与化归思想在回归分析中的应用 回归分析是对抽取的样本进行分析, 确定两个变量的相关关系, 并用一个变量的变化去推测 另一个变量的变化.如果两个变量非线性相关,我们可以通过对变量进行变换,转化为线性 相关问题. 例 3 某种书每册的成本费 y(元)与印刷册数 x(千册)有关,经统计得到数据如下: x y 1 10.15 2 5.52 3 4.08 5 2.8

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