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2017年高中数学人教A版选修4-1学案:互动课堂 第二讲五 与圆有关的比例线段 Word版含解析

2017年高中数学人教A版选修4-1学案:互动课堂 第二讲五 与圆有关的比例线段 Word版含解析

互动课堂 重难突破 一、相交弦定理 1.相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等. 图 2-5-1 2.定理的证明:如图 2-5-1,已知⊙O 的两条弦 AB、CD 相交于圆内的一点 P 求证:PA· PB=PC· PD. 证明:连结 AC、BD,则由圆周角定理有∠B =∠C 又∵∠BPD =∠CPA ∴△APC∽△DPB ∴PA∶PD =PC∶PB, 即 PA· PB =PC· PD 当然,连结 AD、BC 也能利用同样道理证得同样结论. 3.由于在问题的证明中,⊙O 的弦 AB、CD 是任意的,因此,PA· PB=PC· PD 成立,表明“过 定圆内一定点 P 的弦,被 P 点分成的两条线段长的积应为一个定值”.虽然过定点 P 的弦有无 数多条,然而在这众多的弦中有一些长度比较特殊的弦,如过点 P 的最长或最短的弦,通过它 们可以找到定值 图 2-5如图 2-5-2(1),考察动弦 AB,若 AB 过⊙O 的圆心 O,则 AB 为过点 P 的最长的弦,设⊙O 的半径为 R,则 PA· PB=(R-OP) (R+OP) 如图 2-5-2(2),考察过点 P 的弦中最短的弦,AB 为过⊙O 内一点 P 的直径,CD 为过点 P 且垂直于 AB 的弦,显然,由垂直定理和相交弦定理,应有 PA· PB=PC· PD= ( CD ) =OC2- OP2=R2-OP2 由于⊙O 是定圆,P 为⊙O 内一定点,故⊙O 的半径 R 与 OP 的长为定值.设 OP=d,比较上 述两式,其结论是一致的,即 PA· PB=(R-d)(R +d )=R2-d2,为定值 于是,相交弦定理可进一步表述为 :圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积为一定 量,它等于圆的半径与交点到圆心距离的平方差.定圆的任一弦被定点分得两线段长的积为定 值,这个定值与点 P 的位置有关,对圆内不同的点 P,一般来说,定值是不同的,即这个定值是相 对于定点 P 与定圆 O 而言的 同时,由第二式可直接得到相交弦定理的推论 :如果弦与直径垂直相交 ,那么弦的一半是 它分直径所成的两条线段的比例中项,即 PC2=PD2=PA· PB 二、割线定理与切割线定理 1 2 2 1.割线定理:从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的 积相等. 2.切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段 长的比例中项 图 2-5-3 3.符号语言表述:如图 2-5-3,PA· PB=PC· PD =PE2. 4.定理的证明:连结 EC、ED,由于 PE 为切线,所以∠PEC=∠PDE.又因为∠EPC=∠EPC, 于是△ PEC∽△PDE,因此有 PE∶PC =PD∶PE,即 PE2=PC· PD 2 同理,有 PE =PA· PB,所以 PA· PB =PC· PD. 5.应注意的两点:(1)所有线段,都有一个公共端点 P,而另一端点在圆上;(2)等积式左 右两边的线段,分别在同一条割线上. 三、切线长定理 1.我们知道,过圆外一点可以引两条直线与圆相切,在经过圆外一点的圆的切线上,这点和 切点之间的线段的长称为切线长.切线长是一条线段的长,而这条线段的两端分别是圆外的已 知点和切点.注意切线是一条直线,而切线长是切线上一条线段的长,属于切线的一部分. 2.切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分 两条切线的夹角. 图 2-5-4 3.切线长定理及其应用:因切线长定理再次体现了圆的轴对称性,它为证明线段相等、角 相等、弧相等、垂直关系等提供了理论依据.如图 2-5-4,PA、PB 是⊙O 外点 P 向圆作的两条 切线,切点为 A、B,那么有 PA =PB,∠OAP =∠OBP. 4.由切线长定理,可以得到圆外切四边形的一个重要性质:圆的外切四边形的两组对边和 相等.利用这一性质可以方便地解决许多问题 四、刨根问底 问题 1 相交弦定理、割线定理、切割线定理在表述形式上非常类似,定理中都涉及到两 条线段的积相等,那么这些定理有什么内在联系?定理中两条线段的积能确定具体数值吗? 探究:相交弦定理、割线定理、切割线定理和切线长定理统称为圆幂定理,圆幂定理是圆 和相似三角形结合的产物.这几个定理可统一记忆成一个定理:过圆内或圆外一点作圆的两条 割线,则这两条割线被圆截出的两弦被定点分(内分或外分)成两线段长的积相等(至于切 线可看作是两条交点重合的割线).两条线段的长的积是常数 PA· PB=|R2-d2|,其中 d 为定点 P 到圆心 O 的距离.若 P 在圆内,d<R,则该常数为 R2-d2;若 P 在圆上,d=R,则该常数为 0;若 P 在圆外,d>R,则该常数为 d2-R2.使用时注意每条线段的两个端点一个是公共点,另一个是与 圆的交点 在实际应用中,见圆中有两条弦相交想到相交弦定理;见到切线与一条割线相交则想到切 割线定理;若有两条切线相交则想到切线长定理,并熟悉此时图形中存在着一个以交点和圆心 连线为对称轴的对称图形. 问题 2 与圆有关的比例线段问题涉及相似三角形、相交弦定理、切割线定理、比例的性 质等若干内容,大都是综合性的问题,那么通常我们怎样证明这些比例式?在证明时有什么诀 窍吗? 探究:与圆有关的比例线段问题,主要是圆与相似形的综合,其证法大致可分以下几种: (1)直接由相似形得到 ,即先由已知条件证得两个三角形相似 ,从而直接得到有关对应线 段成比例.这是简单型的比例线段问题 (2)利用“等线段”代换得到,在证明“等积式”形如 a2=bc 时,如果其中有三条线段共线,那 么一般往往把平方项线段用“等线段”进行代换 (3)利用“中间积”代换得到,在证明“等积式”形如 a2=bc 时,如果其中有三条线段共线,不 妨可以把平方项线段利用中间积进行代换试试 (4)利用“中间比”代换得到,在证明比例线段(不论共线与否),如果不能直

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