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3.2.1一元二次不等式的解法课件ppt(北师大版必修五)

3.2.1一元二次不等式的解法课件ppt(北师大版必修五)


§2

一元二次不等式

2.1 一元二次不等式的解法
【课标要求】 正确理解一元二次不等式的概念. 1. 掌握一元二次不等式的解法. 2. 理解一元二次不等式,一元二次方程及二次函数之间的关 3. 系

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【核心扫描】

1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程,能 借助二次函数的图像解一元二次不等式.(重点) 2.通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一 元二次方程的联系.(难点)

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自学导引
一元二次不等式的有关概念 1. ax2+bx+c>0(≥0) ax2+bx (1)一元二次不等式:形如__________________或________ ____________________的不等式叫做一元二次不等式. +c<0(≤0)(其中a≠0) (2)一元二次不等式的解:一般地,使某个一元二次不等式 x的值 成立的______叫这个一元二次不等式的解. 所有解 (3)一元二次不等式的解集:一元二次不等式的_______组 成的集合,叫做一元二次不等式的解集.

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2.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 如表:

判别式Δ=b2 -4ac
二次函数y= ax2+bx+c(a >0)的图像

Δ>0

Δ=0

Δ<0

有两相等实根 一元二次方程 有两相异实根 b ax2+bx+c= x1,x2(x1<x2) x1=x2=-2a 0(a>0)的根 {x|x<x1或 __________ 2+bx+c> ax {x|x≠x1} x>x2} ______ _________ 0(a>0)的解集 ax2+bx+c< {x|x <x<x } 1 2 ____________ 0(a>0)的解集 ___ ?
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没有实数根

R ___
___ ?
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想一想:一元二次不等式ax2+bc+c>0(a≠0)何时解集为R 或?. 提示 当a>0,Δ<0时,解集为R当a<0,Δ≤0时,解集 为?.

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名师点睛
1.一元二次不等式的解法 (1)图像法:一般地,当a>0时,解形如ax2+bx+c>0(≥0)或 ax2+bx+c<0(≤0)的一元二次不等式,一般可分为三步: ①确定对应方程ax2+bx+c=0的解; ②画出对应函数y=ax2+bx+c的图像简图; ③由图像得出不等式的解集. 对于a<0的一元二次不等式,可以直接采取类似a>0时的解题 步骤求解;也可以先把它化成二次项系数为正的一元二次不等 式,再求解. (2)代数法:将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求 解,当p<q时,若(x-p)(x-q)>0,则x>q或x<p;若(x-p)(x -q)<0,则p<x<q.有口诀如下“大于取两边,小于取中间”.
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2.深入理解“三个二次”的关系 “三个二次”是指一元二次方程、二次函数、一元二次不等 式,它是以二次函数为中心,运用二次函数的图像、性质把 其余两个联系起来,构成知识系统的网络结构. “三个二次”中,最重要的是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0).方 程ax2+bx+c=0(a≠0)和不等式ax2+bx+c>0(a>0)或ax2+bx +c<0(a>0)是函数y=ax2+bx+c(a≠0)的一种特殊情况.它 们之间是一种包含关系,也就是当y=0时,函数y=ax2+bx+ c(a≠0)就转化为方程,当y>0或y<0时,就转化为一元二次不 等式.可见,二次函数是一元二次方程和一元二次不等式的 综合.

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题型一

解一元二次不等式

【例1】 求下列一元二次不等式的解集. (1)x2-5x>6 (2)4x2-4x+1≤0 (3)-x2+7x>6 [思路探索] 先将二次项系数化为正,再求对应方程的 根,并根据情况结合二次函数图像,写出解集. 解 (1)由x2-5x>6,得x2-5x-6>0. ∴x2-5x-6=0的两根是x=-1或6. ∴原不等式的解集为{x|x<-1或x>6}. (2)4x2-4x+1≤0,即(2x-1)2≤0,
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? 1 1? 2 ∴x= .∴4x -4x+1≤0 的解集为?x|x= ?. 2 2? ? (3)由-x2+7x>6,得x2-7x+6<0.

而x2-7x+6=0的两个根是x=1或6. ∴不等式x2-7x+6<0的解集为{x|1<x<6}. 规律方法 1.若不等式对应的一元二次方程能够因式分 解,即能够转化为几个代数式的乘积形式,可以直接由符 号及不等号方向判断不等式的解集. 2.若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式, 不论取何值完全平方式始终大于或者等于零.不等式的解 集易得. 3.若上述两种方法均不能解决,则应采用求一元二次不 等式的解集的通法,即判别式法.
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【训练1】 解下列不等式: (1)-2x2+x-6<0; (2)-x2+6x-9≥0; (3)x(7-x)>0; (4)13-9x2<0 解 (1)原不等式可化为 2x2-x+6>0, ∵方程2x2-x+6=0的判别式 Δ=(-1)2-4×2×6<0,

图①

∴函数y=2x2-x+6的图像开口向上,与x轴无交点(如图①). ∴观察图像可得,不等式的解集为R. (2)原不等式可化为x2-6x+9≤0, 即(x-3)2≤0, ∴原不等式的解集为{x|x=3}.
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(3)原不等式可化为x(x-7)<0, 方程x(x-7)=0的两根是x1=0,x2=7, 函数y=x(x-7)的图像是开口向上的抛物 线,与x轴有两个交点(0,0),(7,0)(如图②). 观察图像,可得不等式解集为{x|0<x<7}.
(4)原不等式可化为 13 9x2-13>0,x2- >0, 9
? ?x+ ?

图②

13?? 13 ? ??x- ?>0, 3 ?? 3 ? 13 13 13?? 13 ? ??x- ?=0 的两根是 x1=- ,x2= , 3 3 3 ?? 3 ?
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? 方程?x+ ?

函数

? y=?x+ ?

13?? 13? ? ?x- ? 的图像是开口向上的抛物线,与 x 3 ?? 3 ?
? ? 13 ? 13 ,0?和? ,0?(如图③). ? ? 3 ? 3

? 轴有两个交点?- ?

? ? ? 观察图像可得,不等式解集为?x?x<- ? ? ?

13 13 或x> 3 3

? ? ?. ? ?

图③
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题型二

含参数的一元二次不等式的解法

【例2】 解关于x的不等式x2-(a+a2)x+a3>0.

解 原不等式可变形为(x-a)(x-a2)>0, 则方程(x-a)(x-a2)=0的两个根为x1=a,x2=a2, (1)当a<0时,有a<a2,∴x<a或x>a2, 此时原不等式的解集为{x|x<a或x>a2}; (2)当0<a<1时,有a>a2,即x<a2或x>a, 此时原不等式的解集为{x|x<a2或x>a}; (3)当a>1时,有a2>a,即x<a或x>a2, 此时原不等式的解集为{x|x<a或x>a2};
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(4)当a=0时,有x≠0; ∴原不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}; (5)当a=1时,有x≠1, 此时原不等式的解集为{x|x∈R且x≠1}; 综上可知: 当a<0或a>1时,原不等式的解集为{x|x<a或x>a2}; 当0<a<1时,原不等式的解集为{x|x<a2或x>a}; 当a=0时,原不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}; 当a=1时,原不等式的解集为{x|x∈R且x≠1}.

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规律方法 含参数一元二次不等式求解步骤: (1)讨论二次项系数的符号, 即相应二次函数图像的开口 方向; (2)讨论判别式的符号,即相应二次函数图像与x轴交点的 个数; (3)当Δ>0时,讨论相应一元二次方程两根的大小; (4)最后按照系数中的参数取值范围,写出一元二次不等 式的解集.

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【训练2】 设m∈R,解关于x的不等式m2x2+2mx-3<0. 解 (1)m=0时,-3<0恒成立,所以x∈R. (2)m>0时,不等式变为(mx+3)(mx-1)<0,
? 3 ?? 1? 3 1 ?x+ ??x- ?<0,解得- <x< . 即 m?? m? m m ?

(3)m<0

? 3 ?? 1? 时,原不等式变为?x+ ??x- ?<0, m?? m? ?

1 3 解得 <x<- .综上,m=0 时,解集为 R; m m m>0 m<0
? ? 3 ? 1 时,解集为?x?- <x< m ? ? ? m ? ?1 ? 3 ?x? <x<- 时,解集为 m ? ?m ? ? ? ?; ? ? ? ? ?. ? ?
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题型三

三个“二次”关系问题

【例3】 (本题满分 12 分)已知一元二次不等式 x2+px+q<0 的解集
? ? 1 ? 1 ?x?- <x< 为 3 ? ? 2 ? ? ? ?,求不等式 ? ?

qx2+px+1>0 的解集.

审题指导 (1)一元二次不等式解集的两个端点值(不是+∞ 或-∞)是对应一元二次方程的两个根. (2)已知一元二次不等式的解集确定不等式中参数的值时可 借助根与系数的关系给出含参数的方程组求解.

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[规范解答] 因为 x2+px+q<0 的解集为
? 1 1? ?x|- <x< ?, 所以 2 3? ?

1 1 x1=- 与 x2= 是方程 x2+px+q=0 的两 2 3

个实数根,(4 分) ?1 1 ?3-2=-p, 由根与系数的关系得? ? ? ?1×?-1 ?=q, ?3 ? 2 ? 1 ? p= , ? 6 解得? ?q=-1. ? 6
2

(8 分)

1 2 1 所以不等式 qx +px+1>0 即为- x + x+1>0, 6 6
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整理得x2-x-6<0,解得-2<x<3. 即不等式qx2+px+1>0的解集为{x|-2<x<3}.(12分) 【题后反思】 一元二次不等式与其对应的函数与方程之 间存在着密切的联系.在解决具体的数学问题时,要注意 三者之间的相互联系,并在一定条件下相互转换. (1)若一元二次不等式的解集为区间的形式,则区间的端 点值恰是对应一元二次方程的根,要注意解集的形式与二 次项系数的联系. (2)若一元二次不等式的解集为R或?,则问题可转化为恒 成立问题,此时可以根据二次函数图像与x轴的交点情况 确定判别式的符号,进而求出参数的范围.

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【训练3】 已知关于x的不等式ax2+bx+a2-1≤0的解集是 (-∞,-1]∪[2,+∞),求a,b的值.
解 由题意可知,a<0,且-1,2 是方程 ax2+bx+a2-1=0

的根, ?a<0, ? ?-1+2=-b, a 所以? ? a2-1 ?-1×2= , ? a

?a=-1- ? 解得? ?b=1+ 2. ?

2,

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误区警示 解一元二次不等式盲目套结论致错
【示例】 解关于x的不等式ax2-2ax+a+3>0. [错解] 当a>0时,Δ=-12a<0.所以解集为R,
当 a<0 时,Δ=-12a>0.方程 ax2-2ax+a+3=0 的根为 x= 2a± -12a . 2a a+ -3a a- -3a 即有 x1= ,x2= . a a a+ -3a a- -3a 所以 <x< . a a 综上,原不等式的解集为:a>0 时,x∈R.
? ? ? ?a+ a<0 时,?x? ? ? ?

-3a a- -3a <x< a a

? ? ?. ? ?
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二次项系数含参数时,要严格分系数为正,系数 为0,系数为负三种情况进行讨论,缺一不可,有的同学认为 当系数为0时,为一元一次不等式,故不讨论,这是不可以 的.因为只要题目没有明确说明为一元二次不等式,就必须 讨论这种情况.

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[正解] 当a=0时,原不等式等价于3>0恒成立,所以x∈R. 当a>0时,Δ=(-2a)2-4a(a+3)=-12a<0.不等式解集为R.
a± -3a 当 a<0 时,Δ=-12a>0,方程的根为 x= , a a+ -3a a- -3a 即 x1= ,x2= 且 x1<x2. a a a+ -3a a- -3a 所以 <x< . a a 综上所述,当 a≥0 时,原不等式的解集为 R. 当 a<0 时,原不等式的解集为
? ? ? ?a+ ?x? ? ? ?

-3a a- -3a <x< a a

? ? ?. ? ?
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在中学阶段,“判别式”是与“二次”联系在一起 的,对于一元一次不等式不能应用判别式来判断,在处理 形如ax2+bx+c的问题时,要注意对x2系数的讨论.

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