9299.net
大学生考试网 让学习变简单
当前位置:首页 >> >>

人教A版高二数学选修2-2导数极值、最值、定积分强化训练

人教A版高二数学选修2-2导数极值、最值、定积分强化训练

高中数学学习材料
(灿若寒星 精心整理制作)

10.已知 a≤1-x x+ln x 对任意 x∈??12,2??恒成立,则 a 的最大值为(

)

A.0 B.1 C.2 D.3
11.??06(2x-4)dx=________.
12.函数 y=x3-6x+a 的极大值为____________,极小值为____________. 13.已知函数 f(x)=x3-3x 的图象与直线 y=a 有相异三个公共点,则 a 的取值范围是________.

14.若函数 f(x)=x2+x a(a>0)在[1,+∞)上的最大值为 33,则 a 的值为________.

高二数学选修 2-2 导数极值、最值、定积分强化训练

1.函数 y=1+3x-x3 有( )

A.极小值-2,极大值 2 B.极小值-2,极大值 3 C.极小值-1,极大值 1 D.极小值-1,极大值 3

2.函数 y=x3+x2-x+1 在区间[-2,1]上的最小值为( )

A.2227

B.2

C.-1

D.-4

3.函数 f (x) ? x3 ? ax2 ? 3x ? 9 ,已知 f (x) 在 x ? ?3 时取得极值,则 a ? ( )

A.2 B.3 C.4 D.5

4.由直线 x ? ? ? , x ? ? , y ? 0 与曲线 y ? cos x 所围成的封闭图形的面积为( ) 33

A. 1

B.1

2

5.对于函数 f(x)=x3-3x2,给出命题:

C. 3

D. 3 2

①f(x)是增函数,无极值;②f(x)是减函数,无极值;

③f(x)的递增区间为(-∞,0),(2,+∞),递减区间为(0,2);

④f(0)=0 是极大值,f(2)=-4 是极小值.其中正确的命题有( )

A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

6.函数 y= x+ 1-x在(0,1)上的最大值为( )

A. 2

B.1

C.0

D.不存在

7.已知函数 y=x-ln(1+x2),则函数 y 的极值情况是( )

A.有极小值 B.有极大值 C.既有极大值又有极小值 D.无极值 8.若函数 f(x)=x3-12x 在区间(k-1,k+1)上不是单调函数,则实数 k 的取值范围是 ( )

A.k≤-3 或-1≤k≤1 或 k≥3 B.-3<k<-1 或 1<k<3 C.-2<k<2 D.不存在这样的实数

9.曲线 y ? 2 与直线 y ? x ?1及 x ? 4 所围成的封闭图形的面积为( ) x

A. 2ln 2 B. 2 ? ln 2

C. 4 ? ln 2

D. 4 ? 2ln 2

15.已知函数 f(x)=13x3-2x2+3m,x∈[0,+∞),若 f(x)+5≥0 恒成立,则实数 m 的取值范围是________
16.函数 f (x) ? 1 x2 ? x ? 2 ln x ? a 在区间 (0, 2) 上恰有一个零点,则实数 a 的取值范围是_____ 2
17.已知函数 f(x)=ax3+bx2-3x 在 x=±1 处取得极值. (1)讨论 f(1)和 f(-1)是函数 f(x)的极大值还是极小值; (2)过点 A(0,16)作曲线 y=f(x)的切线,求此切线方程.
18.设函数 f(x)=a3x3+bx2+cx+d(a>0),且方程 f′(x)-9x=0 的两个根分别为 1,4. (1)当 a=3 且曲线 y=f(x)过原点时,求 f(x)的解析式; (2)若 f(x)在(-∞,+∞)内无极值点,求 a 的取值范围.
19.已知函数 f (x) ? ?x3 ? ax2 ? b ?a,b?R? .
(1)求函数 f (x) 的单调递增区间;
(2)若对任意 a ?[3, 4] ,函数 f (x) 在 R 上都有三个零点,求实数 b 的取值范围.
20.某分公司经销某品牌产品,每件产品的成本为 3 元,并且每件产品需向总公司交 a 元(3≤a≤5)的管理费, 预计当每件产品的售价为 x 元(9≤x≤11)时,一年的销售量为(12-x)2 万件.
(1)求分公司一年的利润 L(万元)与每件产品的售价 x 的函数关系式; (2)当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润 L 最大,并求出 L 的最大值 Q(a).
21.已知函数 f(x)=42x-2-x7,x∈[0,1]. (1)求 f(x)的单调区间和值域; (2)设 a≥1,函数 g(x)=x3-3a2x-2a,x∈[0,1].若对于任意 x1∈[0,1],总存在 x0∈[0,1],使得 g(x0)

=f(x1)成立,求 a 的取值范围.
22.已知函数 f (x) ? 1 x3 ? ax2 ?1 (a ? R) . 3
(1)若曲线 y ? f (x) 在 (1, f (1)) 处的切线与直线 x ? y ?1 ? 0 平行,求 a 的值; (2)若 a ? 0 ,函数 y ? f (x) 在区间 (a, a2 ? 3) 上存在极值,求 a 的取值范围; (3)若 a ? 2 ,求证:函数 y ? f (x) 在 (0, 2) 上恰有一个零点.

解得 b=-3,c=12. 又∵曲线 y=f(x)过原点,∴d=0. 故 f(x)=x3-3x2+12x. (2)由于 a>0,所以“f(x)=a3x3+bx2+cx+d 在(-∞,+∞)内无极值点”等价于“f ′(x)=ax2+2bx+c≥0 在(-∞,+∞)内恒成立” 由(*)式得 2b=9-5a,c=4a. 又∵Δ=(2b)2-4ac=9(a-1)(a-9)

DCDCB ADBDA 11.12 12.a+4 2 a-4 2 13.(-2,2)
17.(1)f′(x)=3ax2+2bx-3,依题意,

14. 3-1

15.m ? 1 16.a ? 2ln 2 ? 4或 a ? ? 3

3

2

f′(1)=f′(-1)=0,即

解得 a=1,b=0.

∴f(x)=x3-3x,f′(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1).

令 f′(x)=0,得 x1=-1,x2=1. 若 x∈(-∞,-1)∪(1,+∞),则 f′(x)>0,故

f(x)在(-∞,-1)上是增函数,f(x)在(1,+∞)上是增函数.

若 x∈(-1,1),则 f′(x)<0,故 f(x)在(-1,1)上是减函数.

∴f(-1)=2 是极大值;f(1)=-2 是极小值.

(2)曲线方程为 y=x3-3x.点 A(0,16)不在曲线上.

设切点为 M(x0,y0),则点 M 的坐标满足 y0=x03-3x0. ∵f′(x0)=3(x20-1),故切线的方程为 y-y0=3(x20-1)(x-x0). 注意到点 A(0,16)在切线上,有 16-(x30-3x0)=3(x02-1)(0-x0). 化简得 x30=-8,解得 x0=-2.∴切点为 M(-2,-2),切线方程为 9x-y+16=0. 18.本题考查了函数与导函数的综合应用.

由 f(x)=a3x3+bx2+cx+d 得 f′(x)=ax2+2bx+c

∵f′(x)-9x=ax2+2bx+c-9x=0 的两根为 1,4.

解 即 a 的取值范围[1,9].

得 a∈[1,9],

19.(1)∵ f (x) ? ?x3 ? ax2 ? b ,

∴ f ?(x) ? ?3x2 ? 2ax ? ?3x(x ? 2a) . 3
当 a ? 0 时, f ?(x) ? 0 , 当 a ? 0 时,令 f ?(x) ? 0 ,得 0 ? x ? 2a .
3 当 a ? 0 时,令 f ?(x) ? 0 ,得 2a ? x ? 0 .
3
综上:当 a ? 0 时,函数 f (x) 没有单调递增区间;

当 a ? 0 时,函数 f (x) 的单调递增区间为 (0, 2 a) ; 3
当 a ? 0 时,函数 f (x) 的单调递增区间为 ( 2 a, 0) . 3
(2)由(1)知, a ??3, 4? 时, x, f ?(x), f (x) 的取值变化情况如下:

x

(??, 0)

f ?(x)

?

0

(0, 2 a) 2 a ( 2 a, ??)

3

3

3

0

?

0

?

f (x)

极小值

极大 值



f (x)极小值

?

f

(0) ? b ,

f (x)极大值

?

f (2a) ? 3

4a3 27

?b,

∵对任意 a ??3, 4? ,函数 f (x) 在 R 上都有三个零点,

(1)当 a=3 时,由(*)式得



?



? ?

??

f f

?0? ? 0, ?b ? 0,

( 2a ) 3

?

0.

,即

? ? 4a3 ?? 27

?

b

?

解得 ? 0.

4a3 27

?

b

?

0.

∵对任意 a ?[3, 4] , b ? ? 4a3 恒成立, 27

∴b

?

(?

4a3 27 )max

?

?

4? 33 27

?

?4 .

∴实数 b 的取值范围是 ??4, 0? .

20.(1)分公司一年的利润 L(万元)与售价 x 的函数关系式为:L=(x-3-a)(12-x)2,x∈[9,11]. (2)L′(x)=(12-x)(18+2a-3x). 令 L′=0,得 x=6+23a 或 12(不合题意,舍去). ∵3≤a≤5,∴8≤6+23a≤238. 在 x=6+23a 两侧 L′的值由正变负. ∴①当 8≤6+23a<9,即 3≤a<92时, Lmax=L(9)=(9-3-a)(12-9)2=9(6-a). ②当 9≤6+23a≤238,即92≤a≤5 时, Lmax=L(6+23a)=(6+23a-3-a)[12-(6+23a)]2=4(3-13a)3.

?9 ? ∴Q(a)=
?4

6-a ,3≤a<92, 3-13a 3,29≤a≤5.

故若 3≤a<92,则当每件售价为 9 元时,分公司一年的利润 L 最大,最大值 Q(a)=9(6-a)(万元);若92≤a≤5, 则当每件售价为(6+23a)元时,分公司一年的利润 L 最大,最大值 Q(a)=4(3-13a)3(万元).
21.(1)对函数 f(x)求导,得 f′(x)=-4x(22+-1x6)2x-7=-(2x-(21-)(2x)x2-7)

令 f′(x)=0 解得 x=12或 x=72.

当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

x

0

(0,12)

1 2

(12,1)

1

f′(x)



0



f(x)

-72

-4

-3

所以,当 x∈(0,12)时,f(x)是减函数;

当 x∈??12,1??时,f(x)是增函数.

当 x∈[0,1]时,f(x)的值域为[-4,-3].

(2)g′(x)=3(x2-a2).

因为 a≥1,当 x∈(0,1)时,g′(x)<0.

因此当 x∈(0,1)时,g(x)为减函数,从而当 x∈[0,1]时有 g(x)∈[g(1),g(0)].

又 g(1)=1-2a-3a2,g(0)=-2a,即 x∈[0,1]时有 g(x)∈[1-2a-3a2,-2a].

任给 x1∈[0,1],f(x1)∈[-4,-3],存在 x0∈[0,1]使得 g(x0)=f(x1)成立, 则[1-2a-3a2,-2a]?[-4,-3].

即???1-2a-3a2≤-4,① ??-2a≥-3.②

解①式得 a≥1 或 a≤-53;解②式得 a≤32.

又 a≥1,故 a 的取值范围为 1≤a≤32.

22.(1) a ? 1 (2) a ? 3
(3)略


网站首页 | 网站地图 | 学霸百科 | 新词新语
All rights reserved Powered by 大学生考试网 9299.net
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com