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《对一道数学题的展开》

《对一道数学题的展开》

对一道数学题的展开

在数学复习教学中,选好一道例题。通过一题多思,一 题多解,一题多讲。可以巩固学生知识,训练学生思维, 开拓学生视野。 例题:已知x,y∈R+且 ? 法一:均值不等式法
? x, y ? R ? 1 9 ?1 ? ? ? x y
1 x 9 ? 1 ,求x+y的最小值。 y

6 xy



1 9 (当且仅当 ? 即y ? 9 x时取等号) x y ? xy ? 6 xy ⑵ ⑶ 又x ? y ? 2

(当且仅当x ? y时取等号) ? x ? y ? 12 ? x ? y的最小值是 12

此题答案有误。因为⑴,⑵式的等号不能同时成立,所 以⑶式等号不能取。但事实上推导过程无误,只不过扩 大了x+y的范围。此种推导在选择题时,其选择项若 是 6,8,12,16,当可排除 6,8,12 得 16。

1

此法作为例子强调使用重要不等式时等号成立条件的必 不可少。 法 2,1 的妙用
? 1 9 ? ?1 x y

1 9 y 9x ? x ? y ? ( x ? y )( ? ) ? 10 ? ? ? 16 x y x y ? ? y 9x ? ?当且仅当 x ? y 时即x ? 4, y ? 12时取等号? ? ? ? 1 1 1 又如 a, b, c ? R ? , a ? b ? c ? 1, 求证( ? 1)( ? 1)( ? 1) ? 8 a b c 1 1 1 再如 a, b, c是不等正数且 abc ? 1, 求证 a ? b ? c ? ? ? a b c

法 3,构造 x+y 不等式法
1 9 x ? y ? 10 2 由 ? ? 1得(x ? 1)( y ? 9) ? 9 ? ( ) 可得 x y 2

变式:已知 x+xy+4y=5

(x,y∈R+)求 xy 取值范围

法 4,换元后构造均值不等式法
1 9 9 由 ? ? 1得y ? 9 ? ( x ? 1) x y x ?1 9 所以x ? y ? x ? 9 ? x ?1 9 ? 10 ? x ? 1 ? x ?1 ? 16 9 (当且仅当x ? 1 ? 即x ? 4时取等号) x ?1

2

法 5,用判别式法
1 9 9x 由 ? ? 1得y ? ( x ? 1) x y x ?1 9x x 2 ? 8x ? x ?1 x ?1 2 得关于x的二次方程x ? (8 ? z ) x ? z ? 0 令x ? y ? z , 则z ? x ? 可由△? (8 ? z ) 2 ? 4 z ? 0且 z ? 8 ? (8 ? z ) 2 ? 4 z ?0 2 解得z的范围从而得到 x ? y的最小值。

注意实根分布情况讨论。 类似地,如 2x+y=6,求 ? 的范围也可用判别式法。 法 6,三角代换法
令 1 9 ? (cos? ) 2 , ? (sin? ) 2 , x y
1 x 1 y

2 则x ? y ? (sec?) +( 9 csc? ) 2 ? 10 ? (tan? ) 2 ? 9(cot? ) 2 ? 16

变:0<x<1,a>0,b>0,则 法 7,导数法

a2 b2 ? 的最小值 x 1? x

9 ( x ? 1), z ? ? 0中,x ? 4 x ?1 (在区间内有一个极值点 ,此极值必为最值 ) z ? x?9?

以上所涉及到的方法都是学生应掌握的。通过一道例题 讲解即可复习多种方法。
2005 年 1 月

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