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【名师点睛】北师大版必修2高中数学 第一章 立体几何初步章末总结

【名师点睛】北师大版必修2高中数学 第一章 立体几何初步章末总结

【步步高 学案导学设计】2014-2015 学年高中数学 第一章 立体几 何初步章末总结北师大版必修 2 一、直观图和三视图的画法 直观图和三视图是空间几何体的不同表现形式, 空间几何体的三视图可以使我们更好地 把握空间几何体的性质, 由空间几何体可以画出它的三视图, 同样由三视图可以想象出空间 几何体的形状,两者之间可以相互转化,解决此类问题主要依据它们的概念和画法规则. 例 1 一几何体的三视图如图所示. (1)说出该几何体的结构特征并画出直观图; (2)计算该几何体的体积与表面积. 二、共点、共线、共面问题 1.关于多点共线问题往往需要证明这些点在某两个平面的交线上. 2.多线共点问题的证明往往让其他线都过某两条线的交点. 3.多点共面问题的证明往往让其他点在某三点或四点确定的平面上. 4.多线共面问题的证明往往让其他线在某两条直线确定的平面内. 例 2 如图所示,空间四边形 ABCD 中,E、F 分别为 AB、AD 的中点,G、H 分别在 BC、 CD 上,且 BG∶GC=DH∶HC=1∶2.求证: (1)E、F、G、H 四点共面; (2)GE 与 HF 的交点在直线 AC 上. 三、平行问题 1.空间平行关系的判定方法: (1)判定线线平行的方法. ①利用线线平行的定义证共面而且无公共点(结合反证法); ②利用平行公理; ③利用线面平行性质定理; ④利用线面垂直的性质定理(若 a⊥α ,b⊥α ,则 a∥b); ⑤利用面面平行性质定理(若 α ∥β ,α ∩γ =a,β ∩γ =b,则 a∥b). (2)判断线面平行的方法: ①线面平行的定义(无公共点); ②利用线面平行的判定定理(a ? α ,b ? α ,a∥b? a∥α ); ③面面平行的性质定理(α ∥β ,a ? α ? a∥β ); ④面面平行的性质(α ∥β ,a ? α ,a ? β ,a∥α ? a∥β ). (3)面面平行的判定方法有: ①平面平行的定义(无公共点); ②判定定理(若 a∥β ,b∥β ,a、b ? α ,且 a∩b=A,则 α ∥β ); ③判定定理的推论(若 a∥a′,b∥b′,a ? α ,b ? α 且 a∩b=A,a′? β ,b′? β ,且 a′∩b′=A′,则 α ∥β ); ④线面垂直性质定理(若 a⊥α ,a⊥β ,则 α ∥β ); ⑤平面平行的性质(传递性:α ∥β ,β ∥γ ? α ∥γ ). 2.平行关系的转化是: 例 3 如图,S 为矩形 ABCD 所在平面外一点,E、F 分别是 SD、BC 上的点,且 SE∶ED =BF∶FC.求证:EF∥平面 SAB. 例 4 如图所示,直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面是梯形,AB∥CD,AD⊥DC,CD=2, DD1=AB=1,P、Q 分别是 CC1、C1D1 的中点. 求证:AC∥平面 BPQ. 四、垂直问题 1.空间垂直关系的判定方法: (1)判定线线垂直的方法有: ①计算所成的角为 90°(包括平面角和异面直线所成的角); ②线面垂直的性质(若 a⊥α ,b ? α ,则 a⊥b); ③面面垂直的定义:两平面相交形成的二面角的平面角为 90°. (2)判定线面垂直的方法有: ①线面垂直定义(一般不易验证任意性); ②线面垂直的判定定理(a⊥b,a⊥c,b ? α ,c ? α ,b∩c=M? a⊥α ); ③平行线垂直平面的传递性质(a∥b,b⊥α ? a⊥α ); ④面面垂直的性质(α ⊥β ,α ∩β =l,a ? β ,a⊥l? a⊥α ); ⑤面面平行的性质(a⊥α ,α ∥β ? a⊥β ); ⑥面面垂直的性质(α ∩β =l,α ⊥γ ,β ⊥γ ? l⊥γ ). (3)面面垂直的判定方法有: ①根据定义(作两平面构成二面角的平面角,计算其为 90°); ②面面垂直的判定定理(a⊥β ,a ? α ? α ⊥β ). 2.垂直关系的转化是: 例 5 如图所示,在四棱锥 P—ABCD 中,侧面 PAD 是正三角形,且与底面 ABCD 垂直, 底面 ABCD 是边长为 2 的菱形,∠BAD=60°,N 是 PB 的中点,过 A,D,N 的平面交 PC 于 M, E 为 AD 的中点.求证: (1)EN∥平面 PDC; (2)BC⊥平面 PEB; (3)平面 PBC⊥平面 ADMN. 第一章 重点解读 例1 章末总结 答案 解 (1)由三视图知该几何体是由一个圆柱与一个等底圆锥拼接而成的组合体,其直观 图如图所示. (2)由三视图中的尺寸知,组合体下部是底面直径为 8 cm,高为 20 cm 的圆柱,上部为 底面直径为 8 cm,母线长为 5 cm 的圆锥. 2 2 易求得圆锥高 h= 5 -4 =3(cm), 1 2 2 3 ∴体积 V=π ·4 ·20+ π ·4 ·3=336π (cm ), 3 表面积 S=π ·4 +2π ·4·20+π ·4·5 2 =196π (cm ). 3 ∴该几何体的体积为 336π cm , 2 表面积为 196π cm . 点评 三视图画法:它包括主视图、左视图、俯视图三种.画图时要遵循“高平齐、长 对正、宽相等”的原则,同时还要注意被挡住的轮廓线画成虚线. 例 2 证明 (1)∵BG∶GC=DH∶HC, ∴GH∥BD,又 EF∥BD, ∴EF∥GH, ∴E、F、G、H 四点共面. (2)∵G,H 不是 BC、CD 的中点, ∴EF≠GH 又 EF∥GH, ∴EG 与 FH 不平行,则必相交,设交点为 M. ?? M∈面 ABC 且 M∈面 ACD ? HF?面ACD? ? M 在面 ABC 与面 ACD 的交线上 ? M∈AC. ∴GE 与 HF 的交点在直线 AC 上. 2 EG?面ABC? ? 点评 证明线共点、点共线、线共面问题,重要是应用平面的基本性质,先证部分元素 共点、共线、共面,再利用基本性质 1,2,3 证明其他元素也具有

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