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【名师点睛】北师大版必修2高中数学 第一章 立体几何初步章末总结

【名师点睛】北师大版必修2高中数学 第一章 立体几何初步章末总结


【步步高 学案导学设计】2014-2015 学年高中数学 第一章 立体几 何初步章末总结北师大版必修 2 一、直观图和三视图的画法 直观图和三视图是空间几何体的不同表现形式, 空间几何体的三视图可以使我们更好地 把握空间几何体的性质, 由空间几何体可以画出它的三视图, 同样由三视图可以想象出空间 几何体的形状,两者之间可以相互转化,解决此类问题主要依据它们的概念和画法规则. 例 1 一几何体的三视图如图所示. (1)说出该几何体的结构特征并画出直观图; (2)计算该几何体的体积与表面积. 二、共点、共线、共面问题 1.关于多点共线问题往往需要证明这些点在某两个平面的交线上. 2.多线共点问题的证明往往让其他线都过某两条线的交点. 3.多点共面问题的证明往往让其他点在某三点或四点确定的平面上. 4.多线共面问题的证明往往让其他线在某两条直线确定的平面内. 例 2 如图所示,空间四边形 ABCD 中,E、F 分别为 AB、AD 的中点,G、H 分别在 BC、 CD 上,且 BG∶GC=DH∶HC=1∶2.求证: (1)E、F、G、H 四点共面; (2)GE 与 HF 的交点在直线 AC 上. 三、平行问题 1.空间平行关系的判定方法: (1)判定线线平行的方法. ①利用线线平行的定义证共面而且无公共点(结合反证法); ②利用平行公理; ③利用线面平行性质定理; ④利用线面垂直的性质定理(若 a⊥α ,b⊥α ,则 a∥b); ⑤利用面面平行性质定理(若 α ∥β ,α ∩γ =a,β ∩γ =b,则 a∥b). (2)判断线面平行的方法: ①线面平行的定义(无公共点); ②利用线面平行的判定定理(a ? α ,b ? α ,a∥b? a∥α ); ③面面平行的性质定理(α ∥β ,a ? α ? a∥β ); ④面面平行的性质(α ∥β ,a ? α ,a ? β ,a∥α ? a∥β ). (3)面面平行的判定方法有: ①平面平行的定义(无公共点); ②判定定理(若 a∥β ,b∥β ,a、b ? α ,且 a∩b=A,则 α ∥β ); ③判定定理的推论(若 a∥a′,b∥b′,a ? α ,b ? α 且 a∩b=A,a′? β ,b′? β ,且 a′∩b′=A′,则 α ∥β ); ④线面垂直性质定理(若 a⊥α ,a⊥β ,则 α ∥β ); ⑤平面平行的性质(传递性:α ∥β ,β ∥γ ? α ∥γ ). 2.平行关系的转化是: 例 3 如图,S 为矩形 ABCD 所在平面外一点,E、F 分别是 SD、BC 上的点,且 SE∶ED =BF∶FC.求证:EF∥平面 SAB. 例 4 如图所示,直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面是梯形,AB∥CD,AD⊥DC,CD=2, DD1=AB=1,P、Q 分别是 CC1、C1D1 的中点. 求证:AC∥平面 BPQ. 四、垂直问题 1.空间垂直关系的判定方法: (1)判定线线垂直的方法有: ①计算所成的角为 90°(包括平面角和异面直线所成的角); ②线面垂直的性质(若 a⊥α ,b ? α ,则 a⊥b); ③面面垂直的定义:两平面相交形成的二面角的平面角为 90°. (2)判定线面垂直的方法有: ①线面垂直定义(一般不易验证任意性); ②线面垂直的判定定理(a⊥b,a⊥c,b ? α ,c ? α ,b∩c=M? a⊥α ); ③平行线垂直平面的传递性质(a∥b,b⊥α ? a⊥α ); ④面面垂直的性质(α ⊥β ,α ∩β =l,a ? β ,a⊥l? a⊥α

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