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2015《创新大课堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件:第3章 第1节 任意角和弧度制及任意角的三角函数

2015《创新大课堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件:第3章 第1节 任意角和弧度制及任意角的三角函数


第三章 三角函数、解三角形

第三章 三角函数、解三角形

第一节

任意角和弧度制及 任意角的三角函数

第三章 三角函数、解三角形

[主干知识梳理] 一、任意角 1.角的分类: (1)按旋转方向不同分为 正角 、 负角 、 零角 .

(2)按终边位置不同分为 象限角 和 轴线角 .

第三章 三角函数、解三角形

2.终边相同的角: 终边与角 α 相同的角可写成 α+k· 360°(k∈Z) . 3.弧度制: (1)1 弧度的角:把长度等于 半径长 的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角. (2)规定:正角的弧度数为 正数 ,负角的弧度数为 负数 ,零 l 角的弧度数为 零 ,|α|= r ,l 是以角 α 作为圆心角时所对圆 弧的长,r 为半径.

第三章 三角函数、解三角形

l (3)用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制.比值r与所取的 r 的大小 无关 ,仅与 角的大小 有关. (4)弧度与角度的换算:360°= 2π 弧度;180°= π 弧度. 1 1 (5)弧长公式: l=|α|r ,扇形面积公式:S 扇形= 2lr=2|α |r2 .

第三章 三角函数、解三角形

二、任意角的三角函数 1.任意角的三角函数定义: 设 α 是一个任意角,角α 的终边与单位圆交于点 P(x,y),那 么角 α 的正弦、 余弦、 正切分别是: sin α = y , cos α = x , y tan α = x ,它们都是以角为 自变量 ,以单位圆上点的坐 标或坐标的比值为 函数值 的函数. 2. 三角函数在各象限内的符号口诀是: 一全正、 二正弦、 三正切、 四余弦.

第三章 三角函数、解三角形

三、三角函数线

设角 α 的顶点在坐标原点,始边与 x 轴非负半轴重合,终
边与单位圆相交于点 P,过 P作PM 垂直于 x 轴于 M.由三角 函数的定义知,点P的坐标为 (cos α,sin α) ,即 P(cos α,sin α) ,其中cos α= OM ,sin α= MP ,单位 圆与x 轴的正半轴交于点 A,单位圆在 A点的切线与 α的终

边或其反向延长线相交于点T,则tan α=
向线段OM、MP、AT叫做α的 正切线 . 余弦线 、

AT .我们把有 正弦线 、

第三章 三角函数、解三角形

三 角 函 数 线

有向线段 MP 为正 有向线段 OM 为 弦线 余弦线

有向线段 AT 为 正切线

第三章 三角函数、解三角形

[基础自测自评] 1.-870°的终边在第几象限 ( )

A.一
C

B.二

C.三

D.四

[因-870°=-2×360°-150°.-150°是第三象限

角.]

第三章 三角函数、解三角形

2.已知角 α 的终边经过点( 3,-1),则角 α 的最小正值是 ( 2π A. 3 11π B. 6 5π C. 6 3π D. 4 )

-1 1 B [∵sin α= 2 =-2,且 α 的终边在第四象限, 11 ∴α= π.] 6

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3.(教材习题改编)若sin α<0且tan α>0,则α是
A.第一象限角 C.第三象限角 C

(

)

B.第二象限角 D.第四象限角

[由sin α<0,知α在第三、第四象限或α终边在y轴的负

半轴上,由tan α>0,知α在第一或第三象限,因此α在第

三象限.]

第三章 三角函数、解三角形

2π 4.若点 P 在 3 角的终边上,且 P 的坐标为(-1,y),则 y 等于 ________. 2π 解析 因 tan 3 =- 3=-y,∴y= 3. 答案 3

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5.弧长为 3π ,圆心角为 135°的扇形半径为________,面积为 ________. 解析 3 弧长 l=3π,圆心角 α= π, 4 l

3π 1 由弧长公式 l=α· r 得 r= =3 =4,面积 S=2lr α 4π =6π. 答案 4 6π

第三章 三角函数、解三角形

[关键要点点拨]
1.对任意角的理解 (1)“小于90°的角”不等同于“锐角”“0°~90°的角” 不等同于“第一象限的角”.其实锐角的集合是 {α|0°<α<90°} , 第 一 象 限 角 的 集 合 为 {α|k·360°<α<k· 360°+90°,k∈Z}. (2) 终边相同的角不一定相等,相等的角终边一定相同,终

边相同的角的同一三角函数值相等.

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2.三角函数定义的理解 三角函数的定义中, 当 P(x, y)是单位圆上的点时有 sin α =y, y cos α =x,tan α =x,但若不是单位圆时,如圆的半径为 r, y x y 则 sin α =r ,cos α =r ,tan α =x.

第三章 三角函数、解三角形

角的集合表示及象限角的判定
[典题导入] 已知角 α=45°, (1)在-720°~0°范围内找出所有与角 α 终边相同的角 β; (2)设集合
? ? k ? ? M= x x=2 ? ? ? ?, ×180°+45°,k∈Z ?

? ? k ? ? N= x x=4 ? ?

? ?,判断两集合的关系. ×180°+45°,k∈Z ?

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[听课记录]

(1)所有与角 α 有相同终边的角可表示为:

β=45° +k× 360° (k∈Z), 则令-720° ≤45° +k× 360° <0° , 765 45 得-765° ≤k× 360° <-45° ,解得-360≤k<-360, 从而 k=-2 或 k=-1,代入得 β=-675° 或 β=-315° .

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(2)因为M={x|x=(2k+1)×45°,k∈Z}表示的是终边落在四 个象限的平分线上的角的集合;

而集合 N = {x|x = (k + 1)×45°, k∈Z} 表示终边落在坐标轴
或四个象限平分线上的角的集合,从而:M N.

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[规律方法]

1 .利用终边相同角的集合可以求适合某些条件的角,方法
是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合,然后通过对 集合中的参数k赋值来求得所需角. 2.已知角α的终边位置,确定形如kα,π±α等形式的角终边 的方法:先表示角 α 的范围,再写出 kα 、 π±α 等形式的角范

围,然后就k的可能取值讨论所求角的终边位置.

第三章 三角函数、解三角形

[跟踪训练] 1.(1)给出下列四个命题: 3π ①- 4 是第二象限角; 4π ② 3 是第三象限角; ③-400°是第四角限角; ④-315°是第一象限角. 其中正确的命题有 ( )

第三章 三角函数、解三角形

A.1个 C.3个

B.2个 D.4个

(2) 如果角α是第二象限角,则π-α角的终边在第 ________象
限.

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解析

3π 4π π (1)- 4 是第三象限角,故①错误. 3 =π+3,

4π 从而 3 是第三象限角正确.-400° =-360° -40° , 从而③正确.-315° =-360° +45° ,从而④正确.

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π (2)由已知 2 +2kπ<α<π+2kπ(k∈Z), π 则-π-2kπ<-α<- 2 -2kπ(k∈Z), π 即-π+2kπ<-α<- +2kπ(k∈Z), 2 π 故 2kπ<π-α< +2kπ(k∈Z), 2 所以π-α 是第一象限角. 答案 (1)C (2)一

第三章 三角函数、解三角形

三角函数的定义
[典题导入] (1)已知角 α 的终边上有一点 P(t,t2+1)(t>0),则 tan α 的最小值为 A.1 1 C.2 B.2 D. 2 ( )

第三章 三角函数、解三角形

[听课记录]

t2+1 1 根据已知条件得 tan α= t =t+ t ≥2,当且仅当

t=1 时,tan α 取得最小值 2. 答案 B

第三章 三角函数、解三角形

(2)已知角 α 的终边上一点 P 最小正值为 5π A. 6 5π C. 3 2π B. 3 11π D. 6

? 2π ? 的坐标为?sin 3 ?

2π ? ? ,cos 3 ?,则角 α 的
?

(

)

第三章 三角函数、解三角形

[听课记录]

由题意知点 P 在第四象限,

2π 3 根据三角函数的定义得 cos α=sin 3 = 2 , π 11π 故 α=2kπ-6(k∈Z),所以 α 的最小正值为 6 . 答案 D

第三章 三角函数、解三角形

[规律方法]
定义法求三角函数值的两种情况 (1)已知角α终边上一点P的坐标,则可先求出点P到原点的距 离r,然后利用三角函数的定义求解. (2)已知角α的终边所在的直线方程,则可先设出终边上一点

的坐标,求出此点到原点的距离,然后利用三角函数的定义
求解相关的问题.若直线的倾斜角为特殊角,也可直接写出 角α的三角函数值.

第三章 三角函数、解三角形

[跟踪训练] 2.(1)已知角 α 的终边与单位圆的交点
? P? ?x, ?

3? ? ,则 tan α = 2? ? ( )

A. 3 3 C. 3
2 2

B.± 3 3 D.± 3

3 1 B [由|OP| =x + =1,得 x=± ,tan α=± 3.] 4 2

第三章 三角函数、解三角形

4 (2)已知角 α 的终边经过点 P(m,-3),且 cos α =- ,则 m 等 5 于 11 A.- 4 C.-4 11 B. 4 D.4 ( )

4 m C [由题意可知,cos α= 2 =-5, m +9 又 m<0,解得 m=-4.]

第三章 三角函数、解三角形

扇形的弧长及面积公式 [典题导入] (1)已知扇形周长为10,面积是4,求扇形的圆心角. (2)已知扇形周长为40,当它的半径和圆心角取何值时,才使 扇形面积最大?

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[听课记录]

(1)设圆心角是 θ,半径是 r,

? ? ?2r+rθ=10 ? ?r=4, ?r=1, 则?1 2 ?? (舍),? 1 ? θ· r =4 θ= , ?θ=8 ? ? ?2 ? 2 1 故扇形圆心角为2.

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(2)设圆心角是 θ,半径是 r, 则 2r+rθ=40. 1 2 1 S=2θ· r =2r(40-2r)=r(20-r) =-(r-10)2+100 ≤100, 当且仅当 r=10 时,Smax=100. 所以当 r=10,θ=2 时,扇形面积最大.

第三章 三角函数、解三角形

[互动探究] 若本例(1)中条件变为:圆弧长度等于该圆内接正方形的边长,则 其圆心角的弧度数是________. 解析 设圆半径为 R,则圆内接正方形的对角线长为 2R, 2R ∴正方形边长为 2R,∴圆心角的弧度数是 R = 2. 答案 2

第三章 三角函数、解三角形

[规律方法] 1.在弧度制下,计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、 简捷. 1 1 2.记住下列公式:①l=αR;②S=2lR;③S=2αR2.其中 R 是 扇形的半径,l 是弧长,α(0<α<2π)为圆心角,S 是扇形面积.

第三章 三角函数、解三角形

[跟踪训练] 3.若扇形的面积为定值,当扇形的圆心角为多少弧度时,该扇形 的周长取到最小值? 解析 设扇形的圆心角为 α,半径为 R,弧长为 l,

1 根据已知条件2lR=S 扇,

第三章 三角函数、解三角形

2S扇 则扇形的周长为:l+2R= R +2R≥4 S扇, 2S扇 当且仅当 R =2R, l 即 R= S扇时等号成立,此时 l=2 S扇,α=R=2, 因此当扇形的圆心角为 2 弧度时,扇形的周长取到最小值.

第三章 三角函数、解三角形

【创新探究】 三角函数线的应用 (2014·抚州一中月考)已知sin α<sin β,那么下

列命题不成立的是
A.若α,β是第一象限角,则tan α<tan β B.若α,β是第二象限角,则cos α<cos β C.若α,β是第三象限角,则tan α<tan β D.若α,β是第四象限角,则cos α<cos β

(

)

第三章 三角函数、解三角形

【思路导析】 通过画三角函数线逐项作出判断. 【解析】 对选项A,作出三角函数线如图,由图

第三章 三角函数、解三角形

可知tan α<tan β成立;对于选项B,作出三角函数线如图, 由图

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可知cos α<cos β成立;对于选项C,作出三角函数线如图,

由图可知tan α>tan β,故选项C不成立. 【答案】 C

第三章 三角函数、解三角形

【高手支招】 涉及三角不等式,已知象限角比较大小问题 时,直接解答抽象易错,而借助于三角函数线可直观地解决,

利用时要注意准确理解并作出角在各象限内的三角函数
线.同时,注意三角函数线的方向代表三角函数值的正负, 其长度代表三角函数值的大小.

第三章 三角函数、解三角形

[体验高考] 1.(2011· 课标全国高考)已知角 θ 的顶点与原点重合,始边与 x 轴 的正半轴重合,终边在直线 y=2x 上,则 cos 2θ = 4 A.-5 3 C.5 3 B.-5 4 D.5 ( )

第三章 三角函数、解三角形

B [设 P(t,2t)(t≠0)为角 θ 终边上任意一点, t 则 cos θ= . 5|t| 5 当 t>0 时,cos θ= ; 5 5 当 t<0 时,cos θ=- . 5 2 因此 cos 2θ=2cos θ-1= -1 5
2

3 =- .] 5

第三章 三角函数、解三角形

2.(2011· 江苏高考)已知角 θ 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴的正 2 5 半轴,若 P(4,y)是角 θ 终边上一点,且 sin θ =- 5 ,则 y=__________. 解析 2 5 y 因为 sin θ= 2 2=- 5 , 4 +y

所以 y<0,且 y2=64, 所以 y=-8. 答案 -8

第三章 三角函数、解三角形

3.(2012· 山东高考)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,一单位圆的 圆心的初始位置在(0,1),此时圆上一点 P 的位置在(0,0), → 圆在 x 轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2,1)时,OP的 坐标为__________.

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解析

利用平面向量的坐标定义、解三角形知识以及数形结合思

想求解. 2 设 A(2,0),B(2,1),由题意知劣弧 PA 长为 2,∠ABP=1=2. 设 P(x,y),

第三章 三角函数、解三角形



? π? ? x=2-1×cos?2- ? 2? ? ?

=2-sin 2,
? π? ? y=1+1×sin?2- ? ?=1-cos 2 ? ?

2,

→ ∴OP的坐标为(2-sin 2,1-cos 2). 答案 (2-sin 2,1-cos 2)

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课时作业


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