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【推荐精选】2018-2019学年高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3 直线、平面垂直的判定及其性

【推荐精选】2018-2019学年高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3 直线、平面垂直的判定及其性

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2.3.2 平面与平面垂直的判定

A 级 基础巩固

一、选择题

1.一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面,则这两个二面角( )

A.相等

B.互补

C.不确定

D.相等或互补

答案:C

2.对于直线 m,n 和平面 α ,β ,能得出 α ⊥β 的一个条件是( )

A.m⊥n,m∥α ,n∥β B.m⊥n,α ∩β =m,n? α

C.m∥n,n⊥β ,m? α D.m∥n,m⊥α ,n⊥β

解析:因为 m∥n,n⊥β ,所以 m⊥β .

又 m? α ,所以 α ⊥β .

答案:C

3.已知 a,b 为两条不同的直线,α ,β 为两个不同的平面,下列四个命题:

①a∥b,a∥α ? b∥α ;

②a⊥b,a⊥α ? b∥α ;

③a∥α ,β ∥α ? a∥β ;

④a∥α ,β ⊥α ? a∥β

其中不正确的有( )

A.1 个

B.2 个

C.3 个

D.4 个

解析:①中 b? α 有可能成立,所以①不正确;②中 b? α 有可能成立;故②不正确;③中

a? β 有可能成立,故③不正确;④中 a? β 有可能成立,故④不正确.综上①②③④均不正确,

故选 D.

答案:D

4.如图所示,在四边形 ABCD 中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,将△ABD

沿 BD 折起,使平面 ABD⊥平面 BCD,构成几何体 A?BCD,则在几何体 A?BCD 中,下列结论正确的

是( )

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推荐精选 K12 资料 A.平面 ABD⊥平面 ABC B.平面 ADC⊥平面 BDC C.平面 ABC⊥平面 BDC D.平面 ADC⊥平面 ABC 解析:由已知得 BA⊥AD,CD⊥BD, 又平面 ABD⊥平面 BCD,所以 CD⊥平面 ABD, 从而 CD⊥AB,故 AB⊥平面 ADC. 又 AB? 平面 ABC,所以平面 ABC⊥平面 ADC. 答案:D 5.已知 m,n 为不重合的直线,α ,β ,γ 为不重合的平面,则下列命题中正确的是( ) A.m⊥α ,n? β ,m⊥n? α ⊥β B.α ⊥γ ,β ⊥γ ? α ∥β C.α ∥β ,m⊥α ,n∥β ? m⊥n D.α ⊥β ,α ∩β =m,n⊥m? n⊥β 解析:α ∥β ,m⊥α ? m⊥β ,n∥β ? m⊥n. 答案:C 二、填空题 6.如图所示,检查工作的相邻两个面是否垂直时,只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上,
另一边在工件的另一个面上转动,观察尺边是否和这个面密合就可以了,其原理是________.
解析:如图,因为 OA⊥OB,OA⊥OC,OB? β ,OC? β 且 OB∩OC=O,根据线面垂直的判定定 理,可得 OA⊥β .又 OA? α ,根据面面垂直的判定定理,可得 α ⊥β .
答案:面面垂直的判定定理 7.过正方形 ABCD 的顶点 A 作线段 AP⊥平面 ABCD,且 AP=AB,则平面 ABP 与平面 CDP 所成 的二面角的度数是________. 解析:可将图形补成以 AB、AP 为棱的正方体,不难求出二面角的大小为 45°. 答案:45° 8.如图所示,三棱锥 P?ABC 中,PA⊥平面 ABC,∠BAC= 90°,二面角 B?PA?C 的大小等于________.
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解析:因为 PA⊥平面 ABC,所以 PA⊥AB,PA⊥AC, 所以∠BAC 是二面角 B?PA?C 的平面角. 又∠BAC=90°, 则二面角 B?PA?C 的大小等于 90°. 答案:90° 三、解答题 9.如图,在四棱锥 P?ABCD 中,PC⊥平面 ABCD,AB∥DC,DC⊥AC.
(1)求证:DC⊥平面 PAC; (2)求证:平面 PAB⊥平面 PAC. 证明:(1)因为 PC⊥平面 ABCD,所以 PC⊥DC. 又因为 DC⊥AC,PC∩AC=C, 所以 DC⊥平面 PAC. (2)因为 AB∥DC,DC⊥AC,所以 AB⊥AC. 因为 PC⊥平面 ABCD,所以 PC⊥AB. 所以 AB⊥平面 PAC. 又因为 AB? 平面 PAB, 所以平面 PAB⊥平面 PAC. 10.如图所示,在三棱锥 S?ABC 中,侧面 SAB 与侧面 SAC 均为等边三角形,∠BAC=90°,O 为 BC 的中点.
(1)证明 SO⊥平面 ABC; (2)求二面角 A?SC?B 的余弦值. (1)证明:如图所示,由题设 AB=AC=SB=SC=SA. 连接 OA,△ABC 为等腰直角三角形, 推荐精选 K12 资料

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所以 OA=OB=OC= 22SA,且 AO⊥BC. 又△SBC 为等腰三角形,故 SO⊥BC, 且 SO= 22SA. 从而 OA2+SO2=SA2, 所以△SOA 为直角三边形,SO⊥AO. 又 AO∩BC=O,所以 SO⊥平面 ABC. (2)解:取 SC 的中点 M,连接 AM,OM. 由(1)知 SO=OC,SA=AC,得 OM⊥SC,AM⊥SC. 所以∠OMA 为二面角 A?SC?B 的平面角. 由 AO⊥BC,AO⊥SO,SO∩BC=O,

得 AO⊥平面 SBC. 所以 AO⊥OM.

又 AM= 23SA,AO= 22SA,

故 sin∠AMO=AAOM=

2= 3

36.

所以二面角

A?SC?B

的余弦值为

3 3.

B 级 能力提升 1.在空间四边形 ABCD 中,若 AD⊥BC,AD⊥BD,那么有( ) A.平面 ABC⊥平面 ADC B.平面 ABC⊥平面 ADB C.平面 ABC⊥平面 DBC D.平面 ADC⊥平面 DBC 解析:因为 AD⊥BC,AD⊥BD,BC∩BD=B,所以 AD⊥平面 DBC. 又因为 AD? 平面 ADC,所以平面 ADC⊥平面 DBC. 答案:D

2.若 P 是△ABC 所在平面外一点,△PBC 和△ABC 都是边长为 2 的等边三角形,PA= 6,则 二面角 P?BC?A 的大小为________.

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推荐精选 K12 资料 解析:如图,由于△PBC 和△ABC 都是边长为 2 的等边三角形,故取 BC 的中点 O,连接 PO,
AO,所以 PO⊥BC,AO⊥BC.由二面角的平面角的定义知,∠POA 为二面角 P?BC?A 的平面角,分别 在两个三角形中求得 PO=AO= 3.在△PAO 中,PO2+OA2=6=PA2,所以∠POA=90°,即二面角 P?BC?A 的大小为 90°.
答案:90° 3.如图,在直三棱柱 ABC?A1B1C1 中,D,E 分别为 AB,BC 的中点,点 F 在侧棱 B1B 上,且 B1D ⊥A1F,A1C1⊥A1B1.求证:
(1)直线 DE∥平面 A1C1F; (2)平面 B1DE⊥平面 A1C1F. 证明:(1)因为 D,E 分别为 AB,BC 的中点, 所以 DE 为△ABC 的中位线, 所以 DE∥AC. 因为 ABC?A1B1C1 为棱柱, 所以 AC∥A1C1. 所以 DE∥A1C1. 因为 A1C1? 平面 A1C1F,且 DE?平面 A1C1F, 所以 DE∥平面 A1C1F. (2)因为 ABC?A1B1C1 为直棱柱, 所以 AA1⊥平面 A1B1C1, 所以 AA1⊥A1C1. 又因为 A1C1⊥A1B1,且 AA1∩A1B1=A1,AA1,A1B1? 平面 AA1B1B. 所以 A1C1⊥平面 AA1B1B. 因为 DE∥A1C1, 所以 DE⊥平面 AA1B1B. 又因为 A1F? 平面 AA1B1B, 所以 DE⊥A1F.
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推荐精选 K12 资料 又因为 A1F⊥B1D,DE∩B1D=D,且 DE,B1D? 平面 B1DE, 所以 A1F⊥平面 B1DE. 又因为 A1F? 平面 A1C1F, 所以平面 B1DE⊥平面 A1C1F.
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