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浙江省宁波市10-11学年高一下学期期末试题数学

浙江省宁波市10-11学年高一下学期期末试题数学

宁波市 2010 学年第二学期期末试卷
高一数学试卷
说明:本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分.考试时间 120 分钟.本 次考试不得使用计算器. 请考生将所有题目都做在答题卷上.

第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.

1 设 a0 ,b0 分别是与 a, b 同向的单位向量,则下列结论中正确的是

A a0 ? b0

B a0 ?b0 ? 1

C | a0 | ? | b0 |? 2 2.函数 y ? sin( x ? ? ), x ? R
2 A.是偶函数
C. 既是偶函数又是奇函数

D | a0 ? b0 |? 2
B.是奇函数 D.既不是偶函数也不是奇函数

? ? 3.等比数列 an 中, a5a14 ? 5 ,则 a8a9 a10a11=

A.10

B.25

C.50

4.已知 a ? 0, b ? ?1,那么下列不等式成立的是

A.

a

?

a b

?

a b2

B.

a b2

?

a b

?a

C.

a b

?

a

?

a b2

D. a b

?

a b2

?a

D.75

5.已知实数 x, y 满足 x ? 2 y ? 3,则 2x ? 4 y 的最小值是

A. 2 2

B. 4 2

C.16

D.不存在

6.若向量 AB ? (3,?1) , n ? (2,1) ,且 n ? AC ? 7 ,那么 n ? BC 的值为

A.0

B.2

C. ?2

7. 若 sin?? ? ? ? ?? ? 1 ,则 cos?? ? ? 2? ?? 等于

?3 ? 4

?3 ?

A. ? 7 8

B. ? 1 4

C. 1 4

D. ?2 或 2 D. 7
8

8.数列{an}满足 an?2an ? 2an?1(n ? N*) ,且 a1 ? 1, a2 ? 2 ,则数列{an} 的前 2011 项的乘积为

A. 22009

B. 22010

C. 22011

D. 22012

? ? ? ? 9.若 O 为平面内任一点,且满足 OB ? OC ? 2OA ? AB ? AC ? 0,则 ?ABC一定是

A.等腰三角形

B.直角三角形 C.等腰直角三角形

D.等边三角形

10.把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表.设 aij (i, j ? N * ) 是位于这个三角形数

表中从上往下数第 i 行、从左往右数第 j 个数,如 a42 ? 8 ,a54 ? 15 .若 aij ? 2011 ,则 i 与 j 的

和为

A. 106

B.107

C.108

D.109

1

24
357 6 8 10 12 9 11 13 15 17 14 16 18 20 22 24
……………………………………
(第 10 题图)

第 II 卷(非选择题 共 100 分)

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分.
11.不等式 ? x2 ? 4x ? 5 ? 0 的解集是 ▲ . 12. sin14?cos16? ? cos166?sin16? 的值是 ▲ .
13.在如图的表格中,若每格内填上一个数后,每一横行的三个数成等差数

3

?1

?3

2

2

x

(第 13 题图)

列,每一纵列的三个数成等比数列,则表格中 x 的值为 ▲ .

14.已知数列{an}满足 as?t ? as ? at (s, t ? N*) ,且 a2 ? 2 ,则 a8 ? ▲ .

15.不等式

x2 ? 8x ? 20 mx 2 ? 2mx ? 4

?

0

的解集为

R

,则实数

m

的取值范围为





16.有一道解三角形的题,因为纸张破损,在划横线地方有一.个.已.知.条.件.看.不清.具体如下:在
?ABC中角 A, B,C 所对的边长分别为 a,b, c ,已知角 B ? 45?,a ? 3 , ▲ ,求角 A .若 已知正确答案为 A ? 60? ,且必须使用所有已知条件才能解得,请你写出一个符合要求的已知
条件.
17.已知非零向量 a, b 的夹角为 60? ,且 a ? b ? 2 ,若向量 c 满足 (a ? c) ? (b ? c) ? 0 ,则| c |
的最大值为 ▲ .
三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.(本小题满分 15 分)
已知 a ? 1, b ? 2 . (Ⅰ)若 a ∥ b ,求 a ? b ; (Ⅱ)若 a 、 b 的夹角为 60?,求 a ? b ;
? ? ? ? (Ⅲ)若 a ? b 与 a 垂直,求当 k 为何值时, k a ? b ? a ? 2 b ?
19.(本小题满分 14 分)
已知函数 f (x) ? cos2 ?x ? 3 sin ?xcos ?x(? ? 0) 的最小正周期为 ? . (Ⅰ)求 f ( 2 ?) 的值; (Ⅱ)求函数 f (x) 的单调递增区间及其图象的对称轴方程.
3
20.(本小题满分 14 分)
已知数列?an? 的前 n 项和是 S n ,且 2Sn ? an ? 1 (n ? N * ) .
(Ⅰ) 求证:数列?an? 是等比数列; (Ⅱ) 记 bn ? 10 ? log 9 an ,求 ?bn ?的前 n 项和Tn 的最大值及相应的 n 值.
21.(本小题满分 14 分)
在 ?ABC中角 A, B,C 所对的边长分别为 a,b, c ,且 sin AcosC ? 1 sin C ? sin B . 2
(Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 a ? 2 ,求 ?ABC周长的最大值及相应的 b, c 值.

22.(本小题满分 15 分)

已知等比数列

?an ? 的 前

n

项和为

Sn

?

? 1 ?n ?? ?3?

?c

, 正 数 数 列 ?bn ? 的 首 项 为

c

,且满足:

bn?1

?

bn 1 ? 2bn

(n ?

N*) .记数列{bnbn?1}前 n

项和为Tn .

(Ⅰ)求 c 的值; (Ⅱ)求数列?bn ?的通项公式;

(Ⅲ)是否存在正整数 m, n ,且1 ? m ? n ,使得T1,Tm ,Tn 成等比数列?若存在,求出 m, n 的值,
若不存在,说明理由.

宁波市 2010 学年第二学期期末试卷
高一数学参考答案

一.选择题

1

2

3

4

5

6

7

8

C

A

B

D

B

B

A

B

二.填空题

11.?x | ?5 ? x ? 1?

12. 1 2

13. 1 2

14. 8

9

10

A

C

15. ? 4 ? m ? 0

16. c ? 6 ? 2 (答案不唯一.但填写 b ? 2 或者 C ? 75? 是错误 2

的,不给分)

17. 3 ? 1

三.解答题 18.(本小题 15 分)

(Ⅰ) a ? b ? ? a ? b ? ?2

………(5 分)

(Ⅱ) a ? b ? a ? b cos 60? ? 1

2

2

2

a ? b ? a ? a ?b ? b ?6 , ∴ a ? b ? 6

………(10 分)

(注:得 a ? b ? 6 ,扣 2 分)

?? 2
(Ⅲ) 若 a ? b 与 a 垂直 ∴ a ? b ? a =0 ∴ a ? b ? a ? 1

? ? ? ? ? ? ? ? 使得 k a ? b ? a ? 2 b ,只要 k a ? b ? a ? 2 b ? 0 ………(12 分)

即k

a

2 ? ?2k ?1? a

?b

?2 b

2
?0

………(14 分)

∴k ?3

………(15 分)

19.(本小题 14 分)

解:(Ⅰ) f (x) ? 1 (1? cos 2?x) ? 3 sin 2?x

2

2

………(2 分)

? 1 ? sin(2?x ? ? ) , …………………(4 分)

2

6

因为

f

(x)

最小正周期为

π

,所以

2π 2ω

?

π

,解得

ω

?

1,

…………………(5 分)

所以 f (x) ? sin(2x ? π ) ? 1 , 所以 f ( 2π ) ? ? 1 . …………………(7 分)

62

32

(Ⅱ)由 2k? ? ? ? 2x ? ? ? 2k? ? ? , (k ? Z ) ,…………………(9 分)

2

6

2

得 k? ? ? ? x ? k? ? ? , (k ? Z ) ,所以,函数 f (x) 的单调增区间为

3

6

[k? ? ? , k? ? ? ], (k ? Z ) ;…………………(11 分)

3

6

由 2x ? π ? kπ ? π ,(k ? Z)得 x ? k π ? π ,(k ? Z) ,

6

2

26

所以, f (x) 图象的对称轴方程为 x ? k π ? π (k ? Z) .
26

20.(本小题 14 分)

………(14 分)

解:(Ⅰ) 2Sn ? an ? 1, 2Sn?1 ? an?1 ? 1 (n ? 2, n ? N * )

相减得 3an ? an?1

…………………………………(3 分)

又 2S1

?

a1

? 1得 a1

?

1 3

∴ an ? 0 ……………………(5 分)

∴ an ? 1 (n ? 2, n ? N * ) an?1 3

∴数列?an? 是等比数列 …………(7 分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)知数列?an? 是等比数列, an

?

? 1 ?n ?? ?3?

bn

? 10 ? log 9

an

? 10 ?

1n 2

,…………………………………………(10 分)

当 Tn 最大值时

?bn ? 0 ??bn?1 ? 0

?

19

?

n

?

20

∵ n ? N * ,∴ n ? 19或 n ? 20 …………………………(12 分)

19

20 ?

? ? ∴ Tn max ? T19 ? T20 ?

2 ? 95 2

21.(本小题 14 分)

解:(Ⅰ) ∵ sin AcosC ? 1 sin C ? sin B 2

……………(14 分)

由正弦定理及余弦定理得 a ? a 2 ? b2 ? c 2 ? 1 c ? b ……………(3 分)

2ab

2

∴ a2 ? b2 ? c2 ? bc

由余弦定理得 cos A ? b2 ? c 2 ? a 2 ? 1

2bc

2

……………(5 分)

∵ A ? ?0,? ? , ∴ A ? ?
3

……………(7 分)

另解:∵ sin AcosC ? 1 sin C ? sin B 2

∴ sin AcosC ? 1 sin C ? sin AcosC ? cos Asin C ……………(3 分) 2

∵ A ? ?0,? ? , ∴ sin C ? 0 ,从而 cos A ? 1 ……………(5 分)
2

∵ A ? ?0,? ? , ∴ A ? ?
3

……………(7 分)

(Ⅱ) 由已知及(Ⅰ)知得 4 ? a 2 ? b2 ? c 2 ? bc ? ?b ? c?2 ? 3bc …………(10 分)

4 ? ?b ? c?2 ? 3 ?b ? c?2 ? 1 ?b ? c?2 …………(12 分)

4

4

∴ b ? c ? 4 ,当且仅当 b ? c ? 2时取“=” .

∴当 b ? c ? 2时, ?ABC周长的最大值为 6 ………………………(14 分)

22.(本小题 15 分)

解:(Ⅰ) a1

?

1 3

? c , a2

?

(1)2 3

?1 3

?

?2 9

, a3

?

(1)3 3

? (1)2 3

?

?2 27

………(3

分)

因为

?a

n

?

为等比数列所以

a

2 2

? a1a3 ,得 c ? 1

………………………(4 分)

经检验此时?an ?为等比数列.

………………(5 分)

(Ⅱ)∵

bn?1

?

bn 1 ? 2bn

(n ?

N*)

∴ 1 ? 1 ? 2(n ? N*) bn?1 bn

数列

?1

? ?

bn

? ? ?

为等差数列

…………………………………………(7 分)

又 S1

? b1

?c

? 1 ,所以 1 bn?1

?

1 b1

? (n ?1) ? 2

?

2n ?1(n ? N*)

所以 bn

?

1 2n ?1

(n ? N*)

…………(10 分)

(Ⅲ) Tn

? 1(1 ? 1 2 b1 b2

?1 b2

?1 b3

??? 1 bn

? 1 ) ? 1 (1 ? 1 ) ? n bn?1 2 2n ? 1 2n ? 1

……(12 分)

假设存在正整数 m, n ,且1 ? m ? n ,使得 T1,Tm ,Tn 成等比数列

则 1 ? n ? ( m )2 ,所以 n ?

3m 2

3 2n ?1 2m ?1

? 2m2 ? 4m ?1

由n

?

m

?1得

?

3m 2 2m2 ? 4m

?1

?

m且

?

2m 2

?

4m ?1 ?

0



? 2m2

? ?2m

2

? m ?1? 0 ? 4m ?1 ? 0

,所以

? ?? ? ???1

m? ?6
2

1或m ? ? ? m ?1?

1 2

6 2

因为 m 为正整数,所以 m ? 2 ,此时 n ? 12

所以满足题意的正整数存在, m ? 2, n ? 12 .…………(15 分)


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