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2008-2009学年河南省郑州市外语高中第二学期高一数学期中考试试题必修4

2008-2009学年河南省郑州市外语高中第二学期高一数学期中考试试题必修4


河南省郑州市外语高中 2008—2009 学年度第二学期期中考试高一数学试题(必修 4)
一、 选择题(本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分,在每小题给出的四个选项中,只有一个 是符合要求的,把正确答案的代号填在括号内.) 1.若点 P 在
4? 3

的终边上,且|OP|=2,则点 P 的坐标( C. ( ? 1, ? 3 )
????



A. (1, 3 ) B. ( 3 , ? 1)
??? ?

D. ( ? 1, 3 )
??? ?

2.已知 A B =(5,-3),C(-1,3), C D =2 A B ,则点 D 的坐标为 (A)(11,9)
?

(B)(4,0)
1 2 ) 的模为
2 2

(C)(9,3) )

(D)(9,-3)

3.设向量 a A. ?
1 4

? (cos ? ,

,则 cos2?=( C.
? 3 ( x ? 1)]
1 2

B. ?
f ( x ) ? sin[ ? 3 ( x ? 1)] ?

1 2
3 cos[

D.

3 2

4.已知 A. 2
3

,则 f (1)+f (2)+……+f (2005)+f (2006)=( C.1 D.0

)

B.

3

sin 5.在 ? A B C 中 , A ? sin B ? cos A ? cos B , 则这个三角形的形状是

(A)锐角三角形 (C)直角三角形

(B)钝角三角形 (D)等腰三角形

6.把函数 y=cosx 的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半(纵坐标不变),然后把图象向左 平移 A. y C.
? 4
? cos( 1 2 y ? cos( 1 2 x? ? 4 x? ? 8 ) )

个单位,则所得图形对应的函数解析式为( B. D.
y ? cos( 2 x ? y ? cos( 2 x ? ? 4 ? 2 ) )



7.已知 P(4,?9),Q(?2,3),y 轴与线段 PQ 的交点为 M,则 M 分 PQ 所成的比为( A.
1 3

? ? ?



B.
?? ?? ?

1 2

C.2
? ??

D.3
?? ? ? ?? ?? ?

8.己知 e1 , e 2 是夹角为 6 0 ? 的两个单位向量,则 a ? 2 e1 ? e 2 与 b ? ? 3 e1 ? 2 e 2 的夹角的余弦值是 (A)
1 2
? ?

(B) ?

1 2

(C)
?

3 2

(D) ? ”是“ | a ?
? ?

3 2

9.若 a , b 均为非零向量,则“ a A.充要条件 C.充分不必要条件

? b

?

b | ? | a ? b | ”的(

?

?



B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

10.若函数 f (x)=sinax+cosax(a>0)的最小正周期为 1,则它的图像的一个对称中心为( A. ( ?
? 8 ,0 )

B.(0,0)

C.( ?
用心

1 8

,0

)
专心

D. (

1 8

,0 )

爱心

?

11.设向量 a A.
2

? (cos 25 , sin 25 ), b ? (sin 20 , cos 20 ) ,若 c ? a ? t b
o o o o

?

?

?

?

(t?R),则 | c | 的最小值为( D.
1 2

?



B.1
? ? , ) 2 2

C.

2 2

12.已知函数 f (x)=f (??x),且当 x ? ( ?

时,f (x)=x+sinx,设 a=f (1),b=f (2),c=f (3),则(



A.a<b<c B.b<c<a C.c<b<a D.c<a<b 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 3 分,共 12 分,把最简单结果填在题后的横线上. 13. tan 80 ? ? tan 40 ? ? 3 tan 80 ? tan 40 ? 的值等于
?

14.设 a

?

(?sin15o,cos15o),则 a 与 O X 的夹角为________________.
? k? 2

?

????

15.已知 sin?+2sin(2?+?)=0,且 ? 则 3tan(?+?)+tan?=_______. 16.下面有四个命题: (1)函数 y=sin(
2 3

,?

???

? 2

? k?

(k?Z),

x+

?
2

)是偶函数;
? ? , ] 上是增函数; 2 2

(2)函数 f (x)=|2cos2x?1|的最小正周期是?; (3)函数 f (x)=sin(x+
? 4

)在 [ ?

(4)函数 f (x)=asinx?bcosx 的图象的一条对称轴为直线 x=

? 4

,则 a+b=0.

其中正确命题的序号是_____________________. 三.解答题(本大题共 6 小题,52 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(8 分)已知向量 a
? ? (co s 3x 2 , sin 3x ? x x ? ? ), b ? (co s , ? sin ), | a ? b | ? 1, x ? [0, ? ] ,求 x。 2 2 2

18.(8 分)在 ? R tA B C 中 , | A B |?

??? ???? ? 0 ? 2, ? B A C ? 60 , ? B ? 9 0 ,G 是 ? A B C 的重心,求 G B ?G C .

A E G C

F B

用心

爱心

专心

19.(8 分) 已知函数 f ( x ) ? 2 cos x (sin x ? cos x ) ? 1 . (1)求函数 f ( x ) 的最小正周期、最小值和最大值; (2)画出函数 y ? f ( x ) 区间 [ 0 , ? ] 内的图象.

20.(8 分)已知在直角坐标系中(O 为坐标原点), OA (Ⅰ)若 A、B、C 可构成三角形,求 x 的取值范围; (Ⅱ)当 x=6 时,直线 OC 上存在点 M,且 MA
? ?? ? ??

? ? ?

? ( 2 , 5 ) , OB ? ( 3 ,1), OC ? ( x , 3 )

? ??

? ??

.

? MB

,求点 M 的坐标.

21.(10 分) 已知函数

f ( x ) ? 2 cos x ? sin( x ?

? 3

)?

3 sin

2

x ? sin x ? cos x

.

(Ⅰ)求函数 f (x)的单调递减区间; (Ⅱ) 将函数 f (x)的图象按向量 a 小正值.
?

? ( m , 0 ) 平移后得到

g(x)的图象, 求使函数 g(x)为偶函数的 m 的最

22.(10 分)已知 a (Ⅰ)若

?

? (1 ? cos x , 2 sin 1 4
? ?

x 2

), b ? (1 ? cos x , 2 cos

?

x 2

)

f ( x ) ? 2 ? sin x ?

| a? b | ,
2



f ( x)

的表达式;

(Ⅱ)若函数 f (x)和函数 g(x)的图象关于原点对称,求函数 g(x)的解析式; (Ⅲ)若 h ( x ) ?
g ( x) ? ?f ( x) ? 1 在[?
? ? , ] 上是增函数,求实数?的取值范围. 2 2

用心

爱心

专心

参考答案 一、 选择题 CDBAB DC BAC 二、 填空题 13. 三、
? 3

CD 14.105o 15.0 16. (1)(4)

解答题
? ? 3x 2
x
2

17. 解: a ? b ? (co s
? (co s

? co s

x 2

) ? (sin
2

3x 2

? sin
x 2

x 2

)

2

3x 2

? co s

) ? (sin ? x 2 ) =1

3x 2

? sin

) =1

2

整理

2+2 co s(

2 3x 2

? cos 2 x =1

? x ? ? 0, ?
? 2x ? ?x? 2? 3

?

? 2x ? ? 0 ,? ? 2
4? 3

或2x ?

?
3

或x ?

2?

3 ??? ? 2 ??? ? 2 ? 1 ? ???? 2 ??? ? 2 ? 1 ? 18.解: G B ? E B ? ( a ? b ), G C ? F C ? ( b ? a ) 3 3 2 3 3 2 ??? ???? 2 ? 1 ? 2 ? 1 ? ? ? G B ?G C ? ( a ? b ) ? ( b ? a ) 3 2 3 2 4 ? ? 1 2 1 2 1 ? ? = ( a ?b ? a ? b ? b ?a ) 9 2 2 4 4 5 ? ? 1 2 1 2 = ( a ?b ? a ? b ) 9 4 2 2 ? ? 4 5 1 1 5 = ( a b co s 6 0 ? ? ? 1 2 ? ? 2 2 ) ? ? 9 4 2 2 9

19. 解: f ( x ) ? 2 cos x (sin x ? cos x ) ? 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ?

2 sin( 2 x ?

?
4

)

(1)函数 f ( x ) 的最小正周期、最小值和最大值分别是 ? , ? 2 , 2 ; (2)列表,图像如下图示

x
2x ?

0
?
4 ?

?
8

3? 8

5? 8

7? 8 3? 2

?
7? 4

?
4

0 0

?
2

?

f (x)

-1

2

0

- 2
专心

-1

用心

爱心

20.解:(1)∵A、B、C 可构成三角形∴A、B、C 三点不共线,即 而
? ??

? ? ?

AB

与 BC 不共线

? ? ?

AB ? (1, ? 4 ), BC ? ( x ? 3 , 2 ) 则有

? ??

1?2+4?(x?3)?0

即 x 的取值范围是 x?R 且 x?
? ? ? ? ? ?

5 2
? ? OC ? ( 6 ? , 3 ? )
? ??

(2)∵ OM 与 OC 共线,故设 OM 又∵ MA 即 45 ? 2 ∴ OM
? ? ?

? ??

? ??

? MB , ? MA ? MB ? 0

? ??

? ??

? ??

? 48 ? ? 11 ? 0
? ? ?

,解得 ?

?

1 3

或?

?

11 15

? ( 2 ,1) 或 OM ? (

22 11 , ) 5 5

∴点 M 坐标为(2,1)或( 21.解: = 2 cos

22 11 , 5 5 ? 3

)
)? 3 sin
2 2

f ( x ) ? 2 cos x ? sin( x ? ? 3 ? cos x sin

x ? sin x cos x

x (sin x cos

? 3

)?

3 sin ? 3

x ? sin x cos x

=2sinxcosx+ (1) 令
? 2

3 cos 2 x

= 2 sin( 2 x ?
? 3? 2 ? ? 2 k?

) ? 12 7? 12 ? k? ? x ? 7? 12 ? k ? ]( k ? Z ) ? k?, k ? Z

? 2 k? ? 2 x ?

? 3

,解得
? k?,
?

所以 f (x)的单调递减区间是 [

12

(2)将函数 f (x)的图象按向量 a
g ( x ) ? 2 sin[ 2 ( x ? m ) ? ? 3

? ( m , 0 ) 平移后的解析式为:
? 3 ) ? 2 (k ? Z )

] ? 2 sin( 2 x ? 2 m ? ? ? 3

要使函数 g(x)为偶函数,则 ? 2 m

? k? ?

又因为 m>0,所以 k= ?1 时,m 取得最小正值

5? 12

.

用心

爱心

专心

22.解:(1)

f ( x ) ? 2 ? sin x ?

1 4

[ 4 cos

2

x ? 4 (sin

x 2

? cos

x 2

) ]

2

=2+sinx?cos2x?1+sinx=sin2x+2sinx (2) 设函数 y=f (x)的图象上任一点 M(x0,y0)关于原点的对称点为 N(x,y) 则 x0= ?x,y0= ?y ∵点 M 在函数 y=f (x)的图象上
? ? y ? sin
2

( ? x ) ? 2 sin( ? x )

,即 y= ?sin2x+2sinx

∴函数 g(x)的解析式为 g(x)= ?sin2x+2sinx (3) h ( x ) ? ? (1 ? ? ) sin 则有 h ( t ) ? ? (1 ? ? ) t 2
2

x ? 2 (1 ? ? ) sin x ? 1, 设 ? 2 (1 ? ? ) t ? 1

sinx=t,(?1≤t≤1)

( ? 1 ? t ? 1)

① 当 ? ? ? 1 时,h(t)=4t+1 在[?1,1]上是增函数,∴λ= ?1 ② 当? ⅰ)
? ? 1 时,对称轴方程为直线 t ?

1? ? 1? ?

.

? ? ? 1 时,

1? ? 1? ?

? ? 1 ,解得 ? ? ? 1 ? 1 ,解得 ? 1 ? ? ? 0

ⅱ)当 ? ? ? 1 时, 综上, ? ? 0 .

1? ? 1? ?

用心

爱心

专心


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