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江苏省泰兴市高中数学第1章解三角形12余弦定理1教案苏教版必修5(数学教案)

江苏省泰兴市高中数学第1章解三角形12余弦定理1教案苏教版必修5(数学教案)


1.2 教学目标: 1. 掌握余弦定理及其证明方法; 2. 初步掌握余弦定理的应用; 余弦定理(1) 3. 培养学生推理探索数学规律和归纳总结的思维能力. 教学重点: 余弦定理及其应用; 教学难点: 用解析法证明余弦定理. 教学方法: 发现教学法. 教学过程: 一、问题情境 在上节中,我们通过等式 BC ? BA ? AC 的两边与 AD ( AD 为 ?ABC 中 BC 边上的 高)作数量积,将向量等式转化为数量关系,进而推出了正弦定理. a b c ? ? . sin A sin B sin C 探索 1 还有其他途径将向量等式 BC ? BA ? AC 数量化吗? 二、学生活动 向量的平方是向量数量化的一种手段. A 因为 BC ? BA ? AC (如图 1) ,所以 BC ? BC ? (BA ? AC ) ( ? BA ? AC ) ? BA ? 2 AC ? BA ? AC 2 2 B 图1 C ? BA ? 2 AC ? BA cos(180 ? ? A) ? AC ? c 2 ? 2cb cos A ? b 2 1 2 2 即 同理可得 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A , b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B , c 2 ? a 2 ? B 2 ? 2abcosC . 上述等式表明, 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的 余弦的积的两倍.引出课题——余弦定理. 三、建构数学 对任意三角形,有余弦定理: a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A , b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B , c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC . 探索 2:回顾正弦定理的证明,尝试用其他方法证明余弦定理. 师生共同活动,探索证明过程.经过讨论,可归纳出如下方法. 方法一:如图 2 建立直角坐标系,则 A(0,0), B(c cos A, c sin A), C (b,0) . 所以 a 2 ? ?c cos A ? b? ? ?c sin A? ? c 2 cos2 A ? c 2 sin 2 A ? 2bc cos A ? b 2 2 2 y B ? b ? c ? 2bc cos A . 2 2 同理可证: b ? a ? c ? 2ac cos B , 2 2 2 C A 图2 x c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC . 方法二:若 A 是锐角,如图 3,由 B 作 BD ? AC ,垂足为 D ,则 AD ? c cos A . 2 所以, a2 ? DC 2 ? BD2 ? (AC ? AD)2 ? BD2 ? AC2 ? AD2 ? 2AC ? AD ? BD2 ? AC 2 ? ( AD2 ? BD2 ) - 2 AC ? AD ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A , 即 a ? b ? c ? 2bc cos A , 2 2 2 类似地,可以证明当 A 是钝角时,结论也成立,而当 A 是直角时,结论显然成立. 同理可证 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B , c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC . 方法三:由正弦定理,得 a ? 2R sin A ? 2R sin(B ? C ) . 所以 a 2 ? 4R 2 sin 2 ( B ? C) ? 4R 2 (sin 2 B cos2

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