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南方新课堂2016

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归纳与整理

专题一

专题二

专题一 集合的运算 集合运算是本章的重点内容,也是本章考试的主体内容,同学们 必须熟练掌握.对于较简单的集合运算问题,可直接利用交集、并 集和补集的定义;对于较复杂的集合运算问题,可借助数轴、Venn 图.另外同学们还要掌握已知集合运算的结果求集合中参数的值或 范围的问题.

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【例1】 已知集合A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},C={x|x<a}.(导 学号51790024) (1)求A∪B,(?RA)∩B; (2)若A∩C≠?,求a的取值范围. 思路分析借助数轴求解. 解(1)A∪B={x|2<x<10}. ∵?RA={x|x<3,或x≥7}, ∴(?RA)∩B={x|2<x<3,或7≤x<10}. (2)如图,得a的取值范围是{a|a>3}. 品思感悟解含不等式的集合的交集、并集、补集运算时,一定要 借助数轴,利用其直观性求解,特别要注意含参问题中等号的取舍.

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专题二 本章主要数学思想 数学思想是数学的灵魂,是形成良好认知结构的纽带,是由知识 转化为能力的桥梁.在集合问题中蕴含着丰富的数学思想,同学们 在解题时不能仅仅满足答案的获得,还应该总结提炼,体会问题所 蕴含的数学思想,从而促进自己知识水平和能力水平的飞跃. 1.数形结合思想 数形结合思想,其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起 来,使抽象思维和形象思维结合,通过数形的转化,可以培养思维的 灵活性、形象性,使问题化难为易、化抽象为具体.通过“形”往往可 以解决用“数”很难解决的问题.集合中常用的方法是数轴法和Venn 图法.

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【例2】 已知全集 U={x|x2<50,x∈N},L∩(?UM)={1,6},M∩(?UL)={2,3},?U(M∪L)={0, 5},求集合M和L. (导学号51790025) 思路分析可借助于Venn图解决. 解全集U={x|x2<50,x∈N}={0,1,2,3,4,5,6,7},将 L∩(?UM)={1,6},M∩(?UL)={2,3},?U(M∪L)={0,5}中的元素在Venn 图中依次定位如下. ∵U={0,1,2,3,4,5,6,7},∴A∩B={4,7}. ∴M={2,3,4,7},L={1,4,6,7}. 品思感悟集合问题大都比较抽象,解题时要尽可能借助Venn图、 数轴等工具利用数形结合思想将抽象问题直观化、形象化、明朗 化,从而使问题获解.

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2.分类讨论思想 分类讨论思想,就是当问题所给的对象不能进行统一研究时,就 需要对研究对象按某个标准进行分类,然后对每一类分别研究得出 每一类的结论,最后综合各类结果得到整个问题的解.使用分类讨 论思想解题需注意三个方面:一是需要讨论时再讨论,不一定是解 题的第一步就讨论;二是分类的标准要统一,分类要做到不重不漏; 三是分类后要进行总结.

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【例3】 已知集合P={x|x2-3x+b=0,x∈R},Q={x|(x+1)(x2+3x4)=0,x∈R}. (导学号51790026) (1)若b=4,存在集合M,使得P?M?Q,求出这样的集合M; (2)P能否成为Q的一个子集?若能,求b的取值或取值范围;若不能, 请说明理由. 思路分析第(1)问要求的集合M有两个限制条件:P?M且M?Q,可 用列举法写出集合M;第(2)问实质是一个存在性问题,解决这类问 题的一般方法是先假设存在性成立,然后从已知出发,进行运算化 简或推理论证,若出现矛盾,则存在性不成立,否则存在性成立.

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综上可知,b 的取值范围为 >

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3.等价转化思想 等价转化思想就是通过不断地转化、变形,把不熟悉、复杂的问 题转化为熟悉、简单的问题,从而便于问题的解决. 【例4】 已知集合A={x|x2-ax+a2-19=0},B={x|x25x+6=0},C={x|x2+2x-8=0}. (导学号51790027) (1)若A∩B=B∪A,求a的值; (2)若??A∩B,A∩C=?,求a的值. 思路分析对于(1),必须理解A∩B=A∪B的意义.即由 A?A∩B=A∪B?B,可知A?B;又由A?A∪B=A∩B?B,可知A?B,从而 知A=B.对于(2),关键是抓住空集这个特殊集合,理解它的意义和性 质,即由A∩B??,得出A∩B≠?的结论.

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解(1)由已知,得B={2,3}, ∵A∩B=A∪B,∴A=B. ∴2,3是一元二次方程x2-ax+a2-19=0的两个根. 2 + 3 = , 由壭达定理知 2 × 3 = 2 -19,

解得a=5. (2)由已知,得B={2,3},C={2,-4}, 由??A∩B,A∩C=?, 得3∈A,2?A,-4?A, 由3∈A,得32-3a+a2-19=0, 解得a=5,或a=-2, 当a=5时,A={x|x2-5x+6=0}={2,3},与2?A矛盾; 当a=-2时,A={x|x2+2x-15=0}={3,-5},符合题意.故a=-2.

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品思感悟研究集合问题,首先要明确集合中的元素是什么.解决 本题的关键是利用重要结论“由A∩B=A∪B,得A=B”及空集的特征, 另外对求出的结果要检验,即是否满足集合中元素的特性.


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