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广东省揭阳一中、金山中学2015届高考数学联考试卷 理(含解析)

广东省揭阳一中、金山中学2015届高考数学联考试卷 理(含解析)


文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com

广东省揭阳一中、金山中学 2015 届高考数学联考试卷(理科)
一.选择题(本大题共 8 个小题;每小题 5 分,共 40 分) 1. (5 分)已知 i 是虚数单位,m 和 n 都是实数,且 m(1+i)=11+ni,则 A. i B. ﹣i C. 1+i D. 1﹣i =()

2. (5 分)已知| ﹣ |= A. 1

,| + |=

,则 ? =() C. 3 D. 5

B. 2

3. (5 分)数列{an}满足 an+1=

,若 a1= ,则 a2015=()

A.

B.

C.

D.

4. (5 分)已知某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是()

A.

B. 4

C.

D. 6

5. (5 分)甲、乙两所学校 2015 届高三级某学年 10 次联合考试的理科数学成绩平均分用茎叶 图如图所示,则甲乙两所学校的平均分 及方差 s 的大小关系为()
2

A.



,s 甲 >s 乙

2

2

B.



,s 甲 <s 乙

2

2

-1-

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com C. < ,s 甲 <s 乙
2 2

D.



,s 甲 >s 乙

2

2

6. (5 分)如图,矩形 OABC 内的阴影部分是由曲线 f(x)=sinx(x∈(0,π ) )及直线 x=a (a∈(0,π ) )与 x 轴围成,向矩形 OABC 内随机投掷一点,若落在阴影部分的概率为 ,则 a 的值是()

A.

B.

C.

D.

7. (5 分)下列命题中正确命题的个数是() ①“数列{an}既是等差数列,又是等比数列”的充要条件是“数列{an}是常数列”; ②不等式|x﹣1|+|y﹣1|≤1 表示的平面区域是一个菱形及其内部; x ③f(x)是(﹣∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,x>0 时的解析式是 f(x)=2 ,则 x<0 时 ﹣x 的解析式为 f(x)=﹣2 ; ④若两个非零向量 、 共线,则存在两个非零实数 λ 、μ ,使 λ A. 4 B. 3 C. 2 +μ D. 1 = .

8. (5 分)定义在,则输出的 S 的最大值与最小值的差为.

13. (5 分)抛物线 y =4x 的焦点为 F,过点 N(3,0)的直线与抛物线相交于 A,B 两点,与 抛物线的准线相交于 C,|BF|=3,则△BCF 与△ACF 的面积之比为.

2

(二)选做题(考生只能选做一题)

-2-

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 14. (5 分)极坐标系中,圆 ρ +2ρ sinθ =3 的圆心到直线 ρ sinθ +ρ cosθ ﹣1=0 的距离是. 15.如图,圆 O 的直径 AB=8,C 为圆周上一点,BC=4,过 C 作圆的切线 l,过点 A 作直线 l 的 垂线 AD,D 为垂足,AD 与圆 O 交于点 E,则线段 DE 的长度为.
2

三.解答题 16. (12 分)设函数 f(x)=cos(2x﹣ )﹣2 sinxcosx.

(Ⅰ)求 f(x)的最小正周期,并指出由 f(x)的图象如何变换得到函数 y=cos2x 的图象; (Ⅱ)△ABC 中角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 f(A﹣ )= ,b+c=2,求 a 的最小值.

17. (12 分)已知某校的数学专业开设了 A,B,C,D 四门选修课,甲、乙、丙 3 名学生必须 且只需选修其中一门. (Ⅰ)求这 3 名学生选择的选修课互不相同的概率; (Ⅱ)若甲和乙要选同一门课,求选修课 A 被这 3 名学生选修的人数 X 的分布列和数学期望. 18. (14 分)在如图所示的多面体 ABCDE 中,AB⊥平面 ACD,DE⊥平面 ACD,AC=AD=CD=DE=2, AB=1. (Ⅰ) 请在线段 CE 上找到点 F 的位置,使得恰有直线 BF∥平面 ACD,并证明; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求二面角 F﹣BE﹣A 的正弦值.

19. (14 分)设数列{an}是公比为正数的等比数列,a1=2,a3﹣a2=12,数列{bn}满足: bn=log3 +log3an.

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)求数列{bn}的前 n 项和 Sn;

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(Ⅲ)数列{cn}满足:cn=

,求证:c1+c2+?+cn< .

20. (14 分)已知点 P 是椭圆 动点 Q 满足 = + .

+y =1 上的任意一点,F1,F2 是它的两个焦点,O 为坐标原点,

2

(Ⅰ)求动点 Q 的轨迹 E 的方程; (Ⅱ)若与坐标轴不垂直的直线 l 交轨迹 E 于 A,B 两点且 OA⊥OB,求三角形 OAB 面积 S 的取 值范围.

21. (14 分)已知函数 f(x)=x﹣ .g(x)=2ln(x+m) , (Ⅰ)当 m=0 时,存在 x0∈(e 为自然对数的底数) ,使 x0f(x0)≥g(x0) ,求实数 a 的取值 范围; (Ⅱ)当 a=m=1 时, (1)求最大正整数 n,使得对任意 n+1 个实数 xi(i=1,2?,n+1) ,当 xi∈(e 为自然对数 的底数)时,都有 f(xi)<2015g(xn+1)成立;

(2)设 H(x)=xf(x)+g(x) ,在 H(x)的图象上是否存在不同的两点 A(x1,y1) ,B(x2, y2) (x1>x2>﹣1) ,使得 H(x1)﹣H(x2)=H′( ) (x1﹣x2) .

广东省揭阳一中、金山中学 2015 届高考数学联考试卷(理科) 参考答案与试题解析 一.选择题(本大题共 8 个小题;每小题 5 分,共 40 分) 1. (5 分)已知 i 是虚数单位,m 和 n 都是实数,且 m(1+i)=11+ni,则 A. i B. ﹣i C. 1+i D. 1﹣i =()

考点: 复数相等的充要条件;复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 由复数相等的条件求出 m,n 的值,代入 得答案. 解答: 解:由 m(1+i)=11+ni,得 m=n=11, ∴ = . 后利用复数代数形式的乘除运算化简

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 故选:A. 点评: 本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数相等的条件,是基础题.

2. (5 分)已知| ﹣ |= A. 1

,| + |=

,则 ? =() C. 3 D. 5

B. 2

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 计算题;平面向量及应用. 分析: 运用向量的数量积的性质:向量的平方即为模的平方,再运用完全平方公式,两式 相减即可得到所求值. 解答: 解:由| ﹣ |=
2 2

,| + |=



则( ﹣ ) =6, ( + ) =10, 即 ﹣2 + =6, +2 =1. + =10,

上面两式相减可得

故选:A. 点评: 本题考查向量数量积的性质,主要考查向量的平方即为模的平方,考查运算能力, 属于基础题.

3. (5 分)数列{an}满足 an+1=

,若 a1= ,则 a2015=()

A.

B.

C.

D.

考点: 专题: 分析: 解答:

数列递推式. 点列、递归数列与数学归纳法. 根据数列的递推关系得到数列为周期数列即可得到结论 解:由递推数列可得,

a1= ,a2=2a1﹣1=2× ﹣1= , a3=2a2﹣1=2× ﹣1= , a4=2a3=2× = , a5=2a4=2× = , ? ∴a5=a1,

-5-

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 即 an+4=an, 则数列{an}是周期为 4 的周期数列, 则 a2015=a503×4+3=a3= , 故选:A 点评: 本题主要考查递推数列的应用, 根据递推关系得到数列{an}是周期为 4 的周期数列是 解决本题的关键 4. (5 分)已知某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是()

A.

B. 4

C.

D. 6

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 根据四棱台的三视图,得出该四棱台的结构特征是什么,由此计算它的体积即可. 解答: 解:根据四棱台的三视图,得:该四棱台是上、下底面为正方形,高为 2 的直四棱 台, 且下底面正四边形的边长为 2,上底面正四边形的边长为 1; ∴该四棱台的体积为 V 四棱台= ×(1 +
2

+2 )×2=

2



故选:C. 点评: 本题利用空间几何体的三视图求几何体的体积的应用问题,是基础题目. 5. (5 分)甲、乙两所学校 2015 届高三级某学年 10 次联合考试的理科数学成绩平均分用茎叶 图如图所示,则甲乙两所学校的平均分 及方差 s 的大小关系为()
2

A.



,s 甲 >s 乙

2

2

B.



,s 甲 <s 乙

2

2

-6-

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com C. < ,s 甲 <s 乙
2 2

D.



,s 甲 >s 乙

2

2

考点: 茎叶图. 专题: 概率与统计. 分析: 根据茎叶图中数据的分布情况,结合平均数与方差的概念,即可得出正确的结论. 解答: 解:根据茎叶图中的数据,得; 甲学校数学成绩多分布在 81~99 之间,乙学校数学成绩多分布在 90~96 之间, ∴甲的平均数应大于乙的平均数; 又甲学校数学成绩更分散些,乙学校数学成绩更集中些, ∴甲的方差应大于乙的方差; 即 < , > .

故选:D. 点评: 本题利用茎叶图考查了数据的平均数与方差的估算问题,若需精确计算,用平均数 与方差的公式计算即可,是基础题目. 6. (5 分)如图,矩形 OABC 内的阴影部分是由曲线 f(x)=sinx(x∈(0,π ) )及直线 x=a (a∈(0,π ) )与 x 轴围成,向矩形 OABC 内随机投掷一点,若落在阴影部分的概率为 ,则 a 的值是()

A.

B.

C.

D.

考点: 几何概型. 专题: 计算题. 分析: 由题意可得,是与面积有关的几何概率,分别求出构成试验的全部区域是矩形 OACB a a 的面积,构成事件 A 的区域即为阴影部分面积为∫0 sinxdx=﹣cosx|0 =1﹣cosa,代入几何概 率的计算公式可求 解答: 解:由题意可得,是与面积有关的几何概率 构成试验的全部区域是矩形 OACB,面积为:a× 记“向矩形 OABC 内随机投掷一点,若落在阴影部分”为事件 A,则构成事件 A 的区域即为阴 影部分 a a 面积为∫0 sinxdx=﹣cosx|0 =1﹣cosa 由几何概率的计算公式可得 P(A)=

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com a= 故选 B 点评: 本题是与面积有关的几何概率的计算,求解需要分别计算矩形的面积及阴影部分的 面积,考查了利用积分计算不规则图象的面积. 7. (5 分)下列命题中正确命题的个数是() ①“数列{an}既是等差数列,又是等比数列”的充要条件是“数列{an}是常数列”; ②不等式|x﹣1|+|y﹣1|≤1 表示的平面区域是一个菱形及其内部; x ③f(x)是(﹣∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,x>0 时的解析式是 f(x)=2 ,则 x<0 时 ﹣x 的解析式为 f(x)=﹣2 ; ④若两个非零向量 、 共线,则存在两个非零实数 λ 、μ ,使 λ A. 4 B. 3 C. 2 +μ D. 1 = .

考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 简易逻辑. 分析: ①不正确,举例:常数列:0,0,0,?,0,是等差数列,但是不是等比数列; ②不等式|x﹣1|+|y﹣1|≤1 表示的平面区域如图所示,即可判断出正误; ③利用奇函数的定义及其性质,即可判断出正误; ④利用向量共线定理,即可判断出正误. 解答: 解:①不正确,举例:常数列:0,0,0,?,0,是等差数列,但是不是等比数列, 因此数列{an}既是等差数列,又是等比数列”的必要不充分条件是“数列{an}是常数列”; ②不等式|x﹣1|+|y﹣1|≤1 表示的平面区域如图所示:是一个菱形及其内部,正确; x ③f(x)是(﹣∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,x>0 时的解析式是 f(x)=2 , ﹣x 则 x<0 时,﹣x>0,∴f(x)=﹣f(﹣x)=﹣2 ,因此正确; ④若两个非零向量 、 共线,则存在两个非零实数 λ 、μ ,使 λ +μ = ,正确.

点评: 本题考查了等差数列与等比数列的性质、 不等式|x﹣1|+|y﹣1|≤1 表示的平面区域、 奇函数的定义及其性质、向量共线定理、简易逻辑的判定,考查了推理能力与计算能力,考查 了数形结合的思想方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 8. (5 分)定义在 点评: 本题考查了,分段函数的最值,运用了化归思想,属于中档题.

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二.填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分) (一)必做题(9~13 题) 9. (5 分)函数 y=lg 范围为. 考点: 集合的包含关系判断及应用;对数函数的定义域. 专题: 计算题;函数的性质及应用;集合. 分析: 解 而解得. 解答: 解:由 >0 解得, >0 求函数的定义域,从而确定集合 A,再由 B? A 可得﹣1≤a<a+1≤1,从 的定义域为集合 A,集合 B=(a,a+1) .若 B? A,则实数 a 的取值

﹣1<x<1; 故 A=(﹣1,1) ; 故(a,a+1)? (﹣1,1) ; 故﹣1≤a<a+1≤1; 解得,﹣1≤a≤0; 故答案为: . 点评: 本题考查了函数的定义域的求法及集合的求法,属于基础题. 10. (5 分)在(1+x)+(1+x) +?+(1+x) 的展开式中含 x 项的系数为 35; (用数字作答) 考点: 二项式系数的性质. 专题: 二项式定理. 分析: 由条件利用二项展开式的通项公式可得含 x 项的系数为 二项式系数的性质求得结果. 解答: 解: (1+x) + (1+x)+?+ (1+x) 的展开式中含 x 项的系数为
2 6 2 2 2 6 2

+

+

+

+

, 再利用

+

+

+

+

=35,

故答案为:35. 点评: 本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,二项式系数的性质,属 于基础题. 11. (5 分)观察式子:1+ ,1+ ,1+ ,?,则可归纳出式

子为 1+

?+



, (n≥2) . .

考点: 归纳推理. 专题: 综合题;压轴题. 分析: 根据题意,由每个不等式的左边的最后一项的通项公式,以及右边式子的通项公式, 可得答案.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 解答: 解:根据题意,1+ 第 n 个式子的左边应该是: 右边应该是: ,并且 n 满足不小于 2 ,1+ , ,1+ ,?,

所以第 n 个式子为:1+

?+

, (n≥2) .

故答案为:1+

?+

, (n≥2) .

点评: 本题考查了归纳推理,培养学生分析问题的能力.归纳推理的一般步骤是: (1)通 过观察个别情况发现某些相同性质; (2) 从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题 (猜想) . 12. (5 分)定义某种运算⊕,a⊕b 的运算原理如图所示,设 S=1⊕x,x∈,则输出的 S 的最 大值与最小值的差为 2.

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 由已知中的程序算法可知:该程序的功能是利用条件结构计算并输出变量 S 的值, 模拟程序的运行过程,可得答案. 解答: 解:由已知中的程序算法可知:该程序的功能是利用条件结构计算并输出变量 S 的 值, 由程序构图可得:a⊕b= ,

∴S=1⊕x=



故当 x=﹣2 时,S 取最大值 2, 当 x=0 时,S 取最小值 0,

- 10 -

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 故 S 的最大值与最小值的差为 2, 故答案为:2 点评: 本题考查了程序框图的应用问题,解题时应模拟程序框图的运行过程,以便得出正 确的结论,是基础题. 13. (5 分)抛物线 y =4x 的焦点为 F,过点 N(3,0)的直线与抛物线相交于 A,B 两点,与 抛物线的准线相交于 C,|BF|=3,则△BCF 与△ACF 的面积之比为 .
2

考点: 抛物线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 如图所示,F(1,0) ,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) .由|BF|=3,可得 x2+1=3,解得 x2, 代入抛物线方程可得 y2.直线 AB 的方程为: ,与抛物线方程联立可得

x1.利用△BCF 与△ACF 的面积之比= 解答: 解:如图所示, F(1,0) ,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) . 由|BF|=3,可得 x2+1=3, 解得 x2=2,代入抛物线方程可得: ∴B 直线 AB 的方程为: .

=

即可得出.

=4×2,y2<0,解得 y2=﹣2



,化为



联立 ∴x1x2=9, 解得 x1= .

,化为 2x ﹣13x+18=0,

2

∴△BCF 与△ACF 的面积之比=

=

=

=



故答案为:



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点评: 本题考查了抛物线的定义及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根 与系数的关系、三角形的面积计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. (二)选做题(考生只能选做一题) 2 14. (5 分) 极坐标系中, 圆 ρ +2ρ sinθ =3 的圆心到直线 ρ sinθ +ρ cosθ ﹣1=0 的距离是



考点: 简单曲线的极坐标方程. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: 把极坐标方程化为直角坐标方程,再利用点到直线的距离公式即可得出. 2 2 2 2 2 解答: 解:圆 ρ +2ρ sinθ =3 化为 x +y +2y=3,配方为 x +(y+1) =4,可得圆心 C(0,﹣ 1) . 直线 ρ sinθ +ρ cosθ ﹣1=0 化为 x+y﹣1=0, ∴圆心到直线 ρ sinθ +ρ cosθ ﹣1=0 的距离 d= = .

故答案为: . 点评: 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式,属于基础题. 15.如图,圆 O 的直径 AB=8,C 为圆周上一点,BC=4,过 C 作圆的切线 l,过点 A 作直线 l 的 垂线 AD,D 为垂足,AD 与圆 O 交于点 E,则线段 DE 的长度为 2.

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 立体几何. 分析: 连接 BE,OC,OC∩BE=F,证明四边形 EFCD 是矩形,△OBC 是等边三角形,即可得出 结论. 解答: 解:连接 BE,OC,OC∩BE=F,则 OC⊥l, ∵AD⊥l, ∴AD∥OC, ∵AB 是圆 O 的直径, ∴AD⊥BE,

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com ∵AD⊥l, ∴l∥BE, ∴四边形 EFCD 是矩形, ∴DE=CF, ∵圆 O 的直径 AB=8,BC=4, ∴△OBC 是等边三角形, ∴CF=2, ∴DE=2, 故答案为:2.

点评: 本题考查圆的切线的性质,考查学生的计算能力,属于中档题. 三.解答题 16. (12 分)设函数 f(x)=cos(2x﹣ )﹣2 sinxcosx.

(Ⅰ)求 f(x)的最小正周期,并指出由 f(x)的图象如何变换得到函数 y=cos2x 的图象; (Ⅱ)△ABC 中角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 f(A﹣ )= ,b+c=2,求 a 的最小值.

考点: 三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象. 专题: 三角函数的图像与性质;解三角形. 分析: (I)由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得 f(x)=cos(2x+ 据周期公式即可求 f(x)的最小正周期 T.根据正弦函数的平移规律可得 y=cos(2x+ 图象向右平移 个单位长度得到函数 y=cos2x. )= ,由 A∈(0,π ) ,可得 A,由 b+c=2 及余弦定 ) ,根 )的

(II)由已知及(I)可得 cos(2A﹣ 理,得 a =4﹣3bc,又 bc≤(
2 2

) =1 即可求得 a 的最小值. sin2x﹣ sin2x= cos2x﹣ sin2x=cos(2x+ )

解答: 解: (I)∵f(x)= cos2x+ (3 分) ∴f(x)的最小正周期 T= 由 y=cos(2x+

=π ,?(4 分) 个单位长度得到函数 y=cos2x;?(6 分)

)的图象向右平移

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com (II)由 f(A﹣ )=cos(2A﹣
2 2 2

)= ,A∈(0,π ) ,可得 A=
2

.?(8 分)

由 b+c=2 及余弦定理,得 a =b +c ﹣2bccos 又 bc≤(
2

=(b+c) ﹣3bc=4﹣3bc,?(10 分)

) =1 仅当 b=c=1 时 bc 取最大值,此时 a 取最小值 1.?(12 分)

点评: 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象,基本不等式的应用, 属于基本知识的考查. 17. (12 分)已知某校的数学专业开设了 A,B,C,D 四门选修课,甲、乙、丙 3 名学生必须 且只需选修其中一门. (Ⅰ)求这 3 名学生选择的选修课互不相同的概率; (Ⅱ)若甲和乙要选同一门课,求选修课 A 被这 3 名学生选修的人数 X 的分布列和数学期望. 考点: 离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列. 专题: 概率与统计. 分析: (Ⅰ)根据古典概型的概率公式即可求这 3 名学生选择的选修课互不相同的概率; (Ⅱ)求出随机变量的概率,即可求出对应的分布列和期望. 3 解答: 解: (I) 3 名学生选择的选修课所有不同选法有 4 =64 种; ?(2 分) 各人互不相同的选法有 种,互不相同的概率: ; ?(4 分)

(II) 选修课 A 被这 3 名学生选修的人数 X:0,1,2,3,?(5 分) P(x=0)= = ,P(x=1)= = P(x=2)= = ,P(x=3)= = ,?(9 分)

所以 X 的分布列为 X 0 P ?(10 分) 数学期望 EX=0× +1×

1

2

3

+2×

+3×

= .?(12 分)

点评: 本题主要考查古典概率的计算以及随机变量的分布列和期望的计算,考查学生的计 算能力. 18. (14 分)在如图所示的多面体 ABCDE 中,AB⊥平面 ACD,DE⊥平面 ACD,AC=AD=CD=DE=2, AB=1. (Ⅰ) 请在线段 CE 上找到点 F 的位置,使得恰有直线 BF∥平面 ACD,并证明; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求二面角 F﹣BE﹣A 的正弦值.

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考点: 二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定. 专题: 空间位置关系与距离;空间向量及应用. 分析: 以 D 点为原点建立如图所示的空间直角坐标系,使得 x 轴和 z 轴的正半轴分别经过 点 A 和点 E, 则各点的坐标为 D (0, 0, 0) , A (2, 0, 0) , E (0, 0, 2) , B (2, 0, 1) , C (I)点 F 应是线段 CE 的中点.设 F 是线段 CE 的中点,则点 F 的坐标为 = ,可得 ∥与平面 xoy 平行,即可证明. . ,

(II) 设平面 BCE 的法向量为 =(x,y,z) ,由

,可得 ,而平面 AEB 的一个法

向量为 =(0,1,0) ,利用

=

,设二面角 F﹣BE﹣A 的平面角为 θ ,

则 sinθ =



解答: 解:以 D 点为原点建立如图所示的空间直角坐标系,使得 x 轴和 z 轴的正半轴分别 经过点 A 和点 E,则各点的坐标为 D(0,0,0) ,A(2,0,0) ,E(0,0,2) ,B(2,0,1) , C . (I)点 F 应是线段 CE 的中点,下面证明: 设 F 是线段 CE 的中点,则点 F 的坐标为 ∴ ∥与平面 xoy 平行, ,∴ = ,

又 BF?平面 ACD, ∴BF∥平面 ACD. (II) 设平面 BCE 的法向量为 =(x,y,z) , = 则 ,∴ . , = ,

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不妨设 y=

,解得 x=1,z=2,即 =



而平面 AEB 的一个法向量为 =(0,1,0) , ∴ = = = ,

设二面角 F﹣BE﹣A 的平面角为 θ ,则 sinθ = ∴所求角的正弦值为 .

=



点评: 本题考查了线面平行与垂直的判定与性质定理,考查了通过建立空间直角坐标系利 用线面垂直的性质定理、向量垂直与数量积的关系及平面的法向量的夹角求出二面角的方法, 考查了空间想象能力,考查了推理能力与计算能力. 19. (14 分)设数列{an}是公比为正数的等比数列,a1=2,a3﹣a2=12,数列{bn}满足: bn=log3 +log3an.

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)求数列{bn}的前 n 项和 Sn; (Ⅲ)数列{cn}满足:cn= ,求证:c1+c2+?+cn< .

考点: 数列的求和;数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)设出数列{an}的公比为 q,由已知列式求出公比,则数列{an}的通项公式可求; (Ⅱ)把数列{an}的通项公式代入 利用等差数列的前 n 项和求得答案; (Ⅲ)由(Ⅰ) (Ⅱ)有 求和后证得答案. ,放缩得到 ,利用等比数列 ,化简后可得数列{bn}是等差数列,

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 解答: (Ⅰ)解:设数列{an}的公比为 q,由 a1=2,a3﹣a1=12, 2 2 得 2q ﹣2q﹣12=0,即 q ﹣q﹣6=0. 解得 q=3 或 q=﹣2, ∵q>0, ∴q=﹣2 不合舍去, ∴ (Ⅱ)解:由 = ∴数列{bn}是首项 b1=1,公差 d=2 的等差数列, ∴ ; , ; ,得 ,

(Ⅲ)证明:由(Ⅰ) (Ⅱ)有 ∵n≥1 时,3 ≥1, n n﹣1 ∴3 ﹣1≥2×3 , ∴ ,
n﹣1



=



∴原不等式成立. 点评: 本题考查了等比数列的通项公式,考查了等差数列和等比数列的前 n 项和,训练了 放缩法证明数列不等式,是中档题.

20. (14 分)已知点 P 是椭圆 动点 Q 满足 = + .

+y =1 上的任意一点,F1,F2 是它的两个焦点,O 为坐标原点,

2

(Ⅰ)求动点 Q 的轨迹 E 的方程; (Ⅱ)若与坐标轴不垂直的直线 l 交轨迹 E 于 A,B 两点且 OA⊥OB,求三角形 OAB 面积 S 的取 值范围. 考点: 轨迹方程;椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 分析: (I)设 Q(x,y) ,动点 Q 满足 = + .又 ,可得 P 点的

坐标,代入椭圆方程即可得出; (II)当 OA 斜率不存在或为零时,直接计算即可;当 OA 斜率存在且不为零时,设 OA:y=kx (k≠0) ,代入椭圆方程可得 A 点坐标,可得|OA| =
2

,利用 OA⊥OB,可得|OB| ,

2

利用 S = |OA| |OB| =

2

2

2

,再利用基本不等式的性质即可得出.

解答: 解: (I)动点 Q 满足 又 设 Q(x,y) ,则 ∵点 P 在椭圆上, 则 , =﹣

=

+



=﹣ (x,y)=



,即



(II) 当 OA 斜率不存在或为零时, S= =2 ,
2 2

当 OA 斜率存在且不为零时,设 OA:y=kx(k≠0) ,代入 x +2y =8, 得 ∵OA⊥OB, 以﹣ 代换 k,同理可得 , , ,∴|OA| =x +y =
2 2 2



∴S = |OA| |OB| =

2

2

2

=

=8

=8







=4,当且仅当 k=±1 时等号成立.

而 k=±1 时,AB 与 x 轴或 y 轴垂直,不合题意.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com ∴ ∴ ∈(4,+∞) ,∴ . . ,

因此三角形 OAB 面积 S 的取值范围为

点评: 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到交 点坐标、 向量垂直与数量积的关系、 向量的坐标运算及其平行四边形法则、 基本不等式的性质, 考查了分类讨论思想方法,考查了推理能力与计算能力,属于难题

21. (14 分)已知函数 f(x)=x﹣ .g(x)=2ln(x+m) , (Ⅰ)当 m=0 时,存在 x0∈(e 为自然对数的底数) ,使 x0f(x0)≥g(x0) ,求实数 a 的取值 范围; (Ⅱ)当 a=m=1 时, (1)求最大正整数 n,使得对任意 n+1 个实数 xi(i=1,2?,n+1) ,当 xi∈(e 为自然对数 的底数)时,都有 f(xi)<2015g(xn+1)成立;

(2)设 H(x)=xf(x)+g(x) ,在 H(x)的图象上是否存在不同的两点 A(x1,y1) ,B(x2, y2) (x1>x2>﹣1) ,使得 H(x1)﹣H(x2)=H′( ) (x1﹣x2) .

考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性. 专题: 计算题;导数的综合应用. 分析: (I)x0f(x0)≥g(x0)可化为
2

﹣a≥2lnx0,从而可得 a≤

﹣2lnx0,令 h(x)

=x ﹣2lnx,从而化简函数的最大值问题,由导数求单调性,再求最大值即可. (II) (1) 而求解即可; (2)化简 H(x)=xf(x)+g(x)=x +2ln(x+1)﹣1,求导 H′(x)=
2

f(xi)<2015g(xn+1)恒成立可化为 max<min;从而化为函数的最值问题,从

+2x;再化简

=

ln

+(x1+x2) ;从而可得 H′(

)=

+

- 19 -

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(x1+x2) ;即 ln

=2

,令

=t, (t∈(1,+∞) ) ,从而化为

lnt=2(1﹣

) ,再构造函数 u(t)=lnt+

﹣2,从而求导确定函数的单调性及取值即可. ﹣a≥2lnx0,

解答: 解: (I)x0f(x0)≥g(x0)可化为 即 a≤ ﹣2lnx0,
2

令 h(x)=x ﹣2lnx, 则 h′(x)=2x﹣ = ∴当 x∈时,h′(x)>0; 又∵h( )=
2

, (x>0)

+2<h(e)=e ﹣2,

2

∴hmax(x)=e ﹣2, 2 则 a≤e ﹣2; (II) (1) f(xi)<2015g(xn+1)恒成立可化为 max<min;

∵f(x) ,g(x)均为增函数, ∴max=n(2﹣ )= ,min=2015×2=4030;

∴ n<4030,即 n<2686+ ; ∴n 的最大值为 2686. 2 (2)H(x)=xf(x)+g(x)=x +2ln(x+1)﹣1, H′(x)= +2x;

=

ln

+(x1+x2) ;

H′(

)=

+(x1+x2) ;

故可化为

ln

=



即 ln

=2





=t, (t∈(1,+∞) ) ,

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com ①式可化为 lnt=2(1﹣ 令 u(t)=lnt+ ﹣2, ) ,

u′(t)= ﹣

=

>0,

∴u(t)在(1,+∞)上是增函数; ∴u(t)>u(1)=0; ∴u(t)无零点, 故 A、B 两点不存在. 点评: 本题考查了导数的综合应用,同时考查了恒成立问题及存在性问题,属于难题.

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