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2015高中数学 第1部分 1.2.1正、余弦定理在实际中的应用课件 新人教A版必修5

2015高中数学 第1部分 1.2.1正、余弦定理在实际中的应用课件 新人教A版必修5


1.2 1.2.1

理解教材新知

知识点 题型一 题型二

第 一 章

正、 余弦 定理 在实 际中 的应 用

突破常考题型

跨越高分障碍 应用落 实体验 随堂即时演练

课时达标检测

1.2.1

正、余弦定理在实际中的应用

测量中的基本术语
[提出问题]
李尧出校门向南前进200米,再向东走了200米,回到 自己家中. 问题1:李尧家在学校的哪个方向?

提示:东南方向.

问题2:能否用角度再进一步确定其方位?
提示:可以,南偏东45° 或东偏南45° .

[导入新知]

实际测量中的有关名称、术语 名称 定义 图示

基线
仰角

在测量上,根据测量需要适当确定的线段叫做基线
在同一铅垂平面内,视线在水平线上

方时与水平线的夹角
在同一铅垂平面内,视线在水平线下 方时与水平线的夹角

俯角

名称 基线

定义

图示

在测量上,根据测量需要适当确定的线段叫做基线 从指定方向线到目标方向 南偏西60°(指 以正南方向为始 边,转向目标方 向线形成的角

方向角

线的水平角(指定方向线 是指正北或正南或正东或 正西,方向角小于90°)

从正北的方向线按顺时针
方位角 到目标方向线所转过的水 平角

[化解疑难]

解三角形实际问题的一般步骤,在弄清题意的基
础上作出示意图,在图形中分析已知三角形中哪些元 素,需求哪些量.用正、余弦定理解三角形是解题的 关键环节.

测量高度问题

[例1]

如图,为了测量河对岸的塔高AB,有

不同的方案,其中之一是选取与塔底B在同一水平 面内的两个测点C和D,测得CD=200米,在C点 和D点测得塔顶A的仰角分别是45° 和30° ,且∠ CBD=30° ,求塔高AB.

[ 解]

在Rt△ABC中,∠ACB=45° ,若设AB=h,

则BC=h;在Rt△ABD中,∠ADB=30° ,则BD= 3 h. 在△BCD中,由余弦定理可得 CD2=BC2+BD2-2· BC· BD· cos∠CBD, 3 即200 =h +( 3h) -2· h· 3h· , 2
2 2 2

所以h2=2002,解得h=200(h=-200舍去) 即塔高AB=200米.

[类题通法] 测量高度问题的要求及注意事项

(1)依题意画图是解决三角形应用题的关键,问题中,
如果既有方向角(它是在水平面上所成的角),又有仰(俯)角 (它是在铅垂面上所成的角),在绘制图形时,可画立体图形 和平面图形两个图,以对比分析求解; (2)方向角是相对于在某地而言的,因此在确定方向角

时,必须先弄清楚是哪一点的方向角.从这个意义上来说,
方向角是一个动态角,在理解题意时,应把它看活,否则 在理解题意时将可能产生偏差.

[活学活用] 1.如图, A、 B 是水平面上两个点, 相距 800 m, 在 A 点测得山顶 C 的仰角是 25° ,∠BAD=110° , 又在点 B 测得∠ABD=40° , 其中 D 点是点 C 在水 平面上的垂足.求山高 CD(精确到 1 m).

解:在△ABD中,∠ADB=180° -110° -40° =30° , ABsin B 800×sin 40° 由正弦定理得AD= = sin 30° sin∠ADB ≈1 028.5(m),在Rt△ACD中,CD=ADtan 25° ≈480(m). 答:山高约为480 m.

测量角度问题
[例2] 如图,在海岸A处,发现北偏东45° 方 3 -1)n mile的B处有一艘走私

向,距A处(

船,在A处北偏西75° 的方向,距离A处2 n mile 的C处的缉私船奉命以10 3 n mile/h的速度追 截走私船.此时,走私船正以10 n mile/h的速度从B处向北偏 东30° 方向逃窜,问缉私船沿着什么方向能最快追上走私船?

[解]

设缉私船用t h在D处追上走私船,

则有CD=10 3t,BD=10t, 在△ABC中,∵AB= 3-1,AC=2,∠BAC=120° , ∴由余弦定理,得 BC2=AB2+AC2-2AB· ACcos ∠BAC =( 3-1)2+22-2· ( 3-1)· 2· cos 120° =6, ∴BC= 6, AC 2 3 2 且sin ∠ABC=BC· sin ∠BAC= · = . 2 6 2

∴∠ABC=45° . ∴BC与正北方向垂直. ∵∠CBD=90° +30° =120° , 在△BCD中,由正弦定理,得 BD· sin ∠CBD 10tsin 120° 1 sin ∠BCD= = = , CD 2 10 3t ∴∠BCD=30° . 即缉私船沿东偏北30° 方向能最快追上走私船.

[类题通法] 解决追及问题的步骤 (1)把实际问题转化为数学问题; (2)画出表示实际问题的图形,并在图中标出有关的角 和距离,这样借助于正弦定理或余弦定理,就容易解决问 题了; (3)最后把数学问题还原到实际问题中去.

[活学活用] 2.某货船在索马里海域航行中遭海盗袭击, 发出呼叫信号,如图,我海军护航舰在 A 处获悉 后,立即测出该货船在方位角为 45° ,距离为 10 海里的 C 处, 并测得货船正沿方位角为 105° 的方 向, 以 10 海里/小时的速度向前行驶, 我海军护航舰立即以 10 3海 里 / 小时的速度前去营救,求护航舰的航向和靠近货船所需的时 间.

解: 在△ABC 中, 根据余弦定理, 有 AB2=AC2+BC2-2AC· BCcos 120° , 可得(10 3t)2=102+(10t)2-2×10×10tcos 120° , 1 整理得 2t -t-1=0,解得 t=1 或 t=- (舍去). 2
2

舰艇需 1 小时靠近货船. 此时 AB=10 3,BC=10, 又 AC=10,所以∠CAB=30° , 所以护航舰航行的方位角为 75° .

1.探究距离测量问题

测量距离问题分为三种类型:两点间不可通又不可视,两 点间可视但不可达,两点都不可达.解决此问题的方法是:选 择合适的辅助测量点,构造三角形,将问题转化为求某个三角 形的边长问题,从而利用正、余弦定理求解.

【角度一】

两点不相通的距离

如图所示,要测量一水塘两侧 A、B 两点 间的距离,其方法先选定适当的位置 C,用 经纬仪测出角 α,再分别测出 AC,BC 的长 b,a,则可求出 A,B 两点间的距离. 即 AB= a2+b2-2abcos α. 若测得 CA=400 m,CB=600 m,∠ACB=60° ,试计算 AB 长.

解:在△ABC 中,由余弦定理得 AB2=AC2+BC2-2AC· BCcos∠ACB, ∴AB2=4002+6002-2×400×600cos 60° =280 000. ∴AB=200 7 m. 即 A、B 两点间的距离为 200 7 m.

【角度二】

两点间可视但有一点不可到达

如图所示,A,B 两点在一条河的两岸,测 量者在 A 的同侧,且 B 点不可到达,要测出 AB 的距离,其方法在 A 所在的岸边选定一点 C,可以测出 AC 的距离 m,再借助仪器,测出∠ACB=α,∠ CAB=β,在△ABC 中,运用正弦定理就可以求出 AB. 若测出 AC=60 m,∠BAC=75° ,∠BCA=45° ,则 A、B 两点间的距离为________.

解析:∠ABC=180° -75° -45° =60° , AB AC 所以由正弦定理得, = , sin C sin B AC· sin C 60×sin 45° ∴AB= = =20 6(m). sin B sin 60° 即 A、B 两点间的距离为 20 6 m.
答案:20 6 m

【角度三】

两点都不可到达

如图,A,B 两点在河的同侧,且 A,B 两点均 不可到达,测出 AB 的距离,其方法测量者可以 在河岸边选定两点 C,D,测得 CD=a,同时在 C,D 两点分别测得∠BCA=α,∠ACD=β,∠CDB=γ,∠BDA =δ.在△ADC 和△BDC 中,由正弦定理分别计算出 AC 和 BC, 再在△ABC 中,应用余弦定理计算出 AB. 3 若测得 CD= km,∠ADB=∠CDB=30° ,∠ACD=60° , 2 ∠ACB=45° ,求 A,B 两点间的距离.

解:∵∠ADC=∠ADB+∠CDB=60° ,∠ACD=60° , ∴∠DAC=60° , 3 ∴AC=DC= . 2 在 △BCD 中 , ∠ DBC = 45°, 由 正 弦 定 理 , 得 BC = 3 2 DC 6 · sin∠BDC= · sin 30° = . sin 45° 4 sin∠DBC

在△ABC 中,由余弦定理,得 AB2=AC2+BC2-2AC· BCcos 45° 3 3 3 6 2 3 = + -2× × × = . 4 8 2 4 2 8 6 ∴AB= (km). 4 6 ∴A,B 两点间的距离为 km. 4

[随堂即时演练]
1.若 P 在 Q 的北偏东 44° 50′方向上,则 Q 在 P 的( A.东偏北 45° 10′方向上 C.南偏西 44° 50′方向上 B.北偏东 45° 50′方向上 D.西偏南 45° 50′方向上 )

解析: 如图所示, 点 Q 在点 P 的南偏西 44° 50′的方向上.

答案: C

2.海上有 A、B 两个小岛相距 10 海里,从 A 岛望 C 岛和 B 岛成 60° 的视角, 从 B 岛望 C 岛和 A 岛成 75° 视角, 则 B、 C 间的距离是( A.10 3 海里 C.5 2 海里 ) 10 6 B. 海里 3 D.5 6 海里

解析:如图,C=180° -60° -75° =45° ,AB=10,由正弦 10 BC 定理得 = , sin 45° sin 60° ∴BC=5 6(海里),故选 D.

答案:D

3.如图,线段 AB、CD 分别表示甲、乙两楼,AB ⊥BD,CD⊥BD,从甲楼顶部 A 处测得乙楼顶 部 C 处的仰角为 α=30° ,测得乙楼底部 D 的俯 角 β=60° ,已知甲楼高 AB=24 米,则乙楼高 CD=________米. 解析:过 A 作 AE⊥CD,垂足为 E,ED=AB=24 米,则 AE
ED 24 = = =8 3(米) tan 60° 3 3 在 Rt△ACE 中,CE=AE· tan 30° =8 3· =8(米) 3 ∴CD=CE+ED=8+24=32(米)

答案:32

4.如图,为了测量河的宽度,在一岸边选 定两点 A、B,望对岸的标记物 C,测得 ∠ CAB = 45° ,∠ CBA = 75° , AB = 120 米,则河的宽度为________.

解析:如图∠ACB=180° -45° -75° =60° , AB BC 在△ABC 中, = . sin∠ACB sin∠CAB sin 45° 120 2 ∴BC=120· = , sin 60° 3

答案:20( 3+3)米

120 2 河宽为 BCsin∠CBA= sin 75° =20( 3+3)米. 3

5.如图所示,货轮在海上以 40 km/h 的速度由 B 向 C 航行,航行的方位角是 140° .A 处有 一灯塔,其方位角是 110° ,在 C 处观察灯 塔 A 的方位角是 35° , 由 B 到 C 需航行半个 小时,求 C 到灯塔 A 的距离. 1 解:在△ABC 中,BC=40× =20(km), 2

∠ABC=140° -110° =30° , ∠ACB=(180° -140° )+35° =75° ,

∴∠BAC=75° . AC BC 由正弦定理,得 = , sin 30° sin 75° BCsin 30° 10 ∴AC= = sin 75° sin 45° cos 30° +cos 45° sin 30° 40 = =10( 6- 2)(km). 6+ 2 答:C 到灯塔 A 的距离为 10( 6- 2) km.


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