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2017-2018学年高中数学第二章统计第2节第2课时用样本的数字特征估计总体的数字特征教学案新人教A版必修3

2017-2018学年高中数学第二章统计第2节第2课时用样本的数字特征估计总体的数字特征教学案新人教A版必修3

第 2 课时 用样本的数字特征估计总体的数字特征 [核心必知] 1.预习教材,问题导入 根据以下提纲,预习教材 P71~P78,回答下列问题. (1)众数、中位数、平均数各是什么样的数? 提示:见本课时[归纳总结,核心必记](1). (2)你能说出教材 P72 思考中样本的中位数与样本中位数估计值为什么不一样吗? 提示: 频率分布直方图已经损失了一些基本的信息, 因而通过频率分布直方图只能估计 样本的中位数,而不能得到样本的准确的中位数. (3)标准差和方差各指什么? 提示:见本课时[归纳总结,核心必记](2). 2.归纳总结,核心必记 (1)众数、中位数、平均数 ①众数:在一组数据中,出现次数最多的数叫做众数. ②中位数: 把一组数据按从小到大的顺序排列, 处在中间位置(或中间两个数的平均数) 的数叫做这组数据的中位数. ③平均数: 一组数据的总和除以这组数据的个数取得的商叫做这组数据的平均数, 一般 1 记为 x = (x1+x2+…+xn). n (2)标准差、方差 ①标准差:标准差是样本数据到平均数的一种平均距离,一般用 s 表示.假设样本数据 是 x1,x2,…,xn, x 表示这组数据的平均数, 则 s= 1 n x1- x 2 + x2- x 2 +…+ xn- x 2 ]. 1 2 2 2 2 ②方差:标准差的平方 s 即为方差, 则 s = [(x1- x ) + (x2 - x ) +…+ (xn - n x )2]. [问题思考] (1)一组数据的众数可以有多个吗?中位数是否也有相同的结论? 1 提示:一组数据的众数可能有一个,也可能有多个,但中位数有且只有一个. (2)在频率分布直方图中如何求众数、中位数、平均数? 提示:①在频率分布直方图中,众数是最高矩形中点的横坐标; ②中位数左边和右边的直方图的面积应该相等; ③平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横 坐标之和. [课前反思] 通过以上预习,必须掌握的几个知识点: (1)众数、中位数、平均数的概念: (2)标准差、方差的公式: ; . 现从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种产品中,各抽取 8 件产品,对其使用寿命进行跟 踪调查,其结果如下(单位:年) 甲:3, 4, 5, 6, 8, 8, 8, 10 乙:4, 6, 6, 6, 8, 9, 12, 13 丙:3, 3, 4, 7, 9, 10, 11, 12 [思考 1] 三家广告中都称其产品使用寿命为 8 年,你能说明为什么吗? 名师指津:三个厂家从不同的角度进行了说明,以宣传自己的产品.其中甲:众数为 8 年,乙:平均数为 8 年,丙:中位数为 8 年. [思考 2] 众数、中位数、平均数各有什么优缺点? 名师指津:三种数字特征的比较: 众数:优点是体现了样本数据的最大集中点,容易计算;缺点是只能表达样本数据中很 少的一部分信息,无法客观地反映总体的特征. 中位数:优点是不受少数几个极端数据(即排序靠前或靠后的数据)的影响,容易计算, 便于利用中间数据的信息;缺点是对极端值不敏感. 平均数:优点是代表性较好,是反映数据集中趋势的量,一般情况下可以反映出更多的 关于样本数据全体的信息; 缺点是任何一个数据的改变都会引起平均数的改变, 数据越“离 群”对平均值的影响越大. 讲一讲 2 1.某工厂人员及月工资构成如下: 人员 月工 资(元) 人数 合计 经理 管理 人员 2 500 6 15 000 高级 技工 2 200 5 11 000 工人 学徒 合计 22 000 1 22 000 2 000 10 20 000 1 000 1 1 000 29 700 23 69 000 (1)指出这个表格中月工资的众数、中位数、平均数; (2)这个表格中,平均数能客观地反映该工厂的月工资水平吗?为什么? [尝试解答] (1)由表格可知,众数为 2 000 元. 把 23 个数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列, 排在中间的数应是第 12 个数, 其值 为 2 200,故中位数为 2 200 元. 平均数为 69 000÷23=3 000(元). (2)虽然平均数为 3 000 元,但由表格中所列出的数据可见,只有经理的工资在平均数 以上,其余人的工资都在平均数以下,故用平均数不能客观真实地反映该工厂的工资水平. 对众数、中位数、平均数的几点说明 (1)如果样本平均数大于样本中位数,说明数据中存在较大的极端值.在实际应用中, 样本中位数和样本平均数可以使我们了解样本数据中的极端数据信息,帮助我们作出决策. (2)众数、中位数、平均数三者比较,平均数更能体现每个数据的特征,它是各个数据 的重心. 练一练 1.某校在一次考试中,甲、乙两班学生的数学成绩统计如下: 分数 甲班 人数 乙班 50 1 3 60 6 5 70 12 15 80 11 3 90 15 13 100 5 11 选用平均数与众数、中位数评估这两个班的成绩. 解:甲班平均数 79.6 分,乙班平均数 80.2 分,从平均分看成绩较好的是乙班; 甲班众数为 90 分,乙班众数为 70 分,从众数看成绩较好的是甲班; 按从高到低(或从低到高)的顺序排列之后,甲班的第 25 个和第 26 个数据都是 80,所 以中位数是 80 分, 同理乙班中位数也是 80 分, 但是甲班成绩在中位数以上(含中位数)的学 生有 31 人,占全班学生的 62%,同理乙班有 27 人,占全班学生的 54%,所以从中位数看成 3 绩较好的是甲班. 如果记 90 分以上(含 90 分)为优秀,甲班有 20 人,优秀率为 40%,乙班有 24 人,优秀 率为 48%,从优秀率来看成绩较好的是乙班.可见,一个班学生成绩的评估方法很多,需视 要求而定.如果不考虑优秀率的话,显然以中位数去评估比较合适. 甲、乙两名战士在相同条件下各射靶 10 次,每次命中的环数

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